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1、1 平面图形面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线长4 定积分在物理学中应用第1页1 平面图形面积平面图形面积第2页 本章中我们将用前面学过定积分知识来本章中我们将用前面学过定积分知识来分析和处理一些几何、物理中问题，其目标分析和处理一些几何、物理中问题，其目标不但是建立计算这些几何、物理公式，而且不但是建立计算这些几何、物理公式，而且更主要还在于介绍利用元素法处理问题更主要还在于介绍利用元素法处理问题定积分分析方法。定积分分析方法。第3页考虑曲边梯形面积计算问题考虑曲边梯形面积计算问题一一 问题提出问题提出ab xyo第4页面积表示为定积分要经过以下步骤：面积表示为定积分要经过以下步骤：
2、（3）求和，得求和，得A A近似值近似值（4）求极限，得求极限，得A A准确值准确值第5页两式，我们发觉一个事实，左边极限式子与右边两式，我们发觉一个事实，左边极限式子与右边定积分表示式有很好对应。我们让定积分表示式有很好对应。我们让 要想得到一个定积分表示式，只要求出被积要想得到一个定积分表示式，只要求出被积表示式表示式这就是定积分元素法这就是定积分元素法第6页二二 定积分元素法（定积分元素法（Element Method）第7页元素法普通步骤元素法普通步骤第8页这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；平面图形面积；体积；平面曲线
3、弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等第9页l复习:定积分几何意义三、平面图形面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？第10页A-AA表示以y=f(X)为曲边曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA第11页2.假如f(x)在a,b上时正，时负，以下列图结论：几何意义abxyy=f(x)0第12页问题:试用定积分表示以下各图中影阴部分面积。0 xy=x22yy0 xy=f(x)y=g(x)abl讲授新课:直角坐标系第13页xyo曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积1 1 直角坐标系
4、情形直角坐标系情形穿针法或微元素法穿针法或微元素法被积函数上被积函数上-下、右下、右-左左第14页结论:普通地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形面积计算公式为第15页例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第16页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第17页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x
5、-1)2-1第18页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第19页解解 两曲线交点，两曲线交点，面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解方程组解方程组注注 被积函数为上被积函数为上-下，上为下，上为 下为下为第20页解解两曲线交点两曲线交点选选 为积分变量为积分变量注注 被积函数为被积函数为“右右-左左”右为直线，左为抛物线右为直线，左为抛物线第21页假如曲边梯形曲边为参数方程假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积曲边梯形面积第22页解解椭圆参数方程椭圆参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限
6、部分面积倍第一象限部分面积第23页面积元素面积元素曲边扇形面积曲边扇形面积2 2 极坐标系情形极坐标系情形第24页解解于是于是第25页解解利用对称性知利用对称性知第26页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积第27页第28页元素法提出、思想、步骤元素法提出、思想、步骤.（注意微元法本质）（注意微元法本质）四四 小结小结 思索题思索题微元法与定积分关系是什么？微元法与定积分关系是什么？平面图形面积计算方法平面图形面积计算方法（注直角坐标、参数方程、极坐标）（注直角坐标、参数方程、极坐标）第29页2 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积第30页 旋转体
7、就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做旋一条直线旋转一周而成立体这直线叫做旋转轴转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体体积旋转体体积一、一、空间立体体积空间立体体积第31页xyo旋转体体积为旋转体体积为第32页解解直线方程为直线方程为过原点过原点 及点及点第33页第34页第35页解解第36页第37页第38页利用公式利用公式，可知上例中可知上例中第39页2、平行截面面积为已知立体体积、平行截面面积为已知立体体积从计算旋转体体积过程能够看出：假如一个立从计算旋转体体积过程能够看出：假如一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定体不是
8、旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用定积分来计算定积分来计算.立体体积立体体积第40页解解建立坐标系建立坐标系，底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第41页解解建立坐标系建立坐标系，底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第42页3 平面曲线弧长平面曲线弧长第43页1、平面曲线弧长概念平面曲线弧长概念 平面曲线弧长平面曲线弧长第44页定理定理 光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长。介绍介绍 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都含有切线，且切线当曲线上每一点处都含有切线，且切线随切点移动而连
9、续转动，这么曲线称为随切点移动而连续转动，这么曲线称为光滑曲线。光滑曲线。第45页就是弧长元素就是弧长元素弧长弧长2 直角坐标情形由第三章弧微分公式知由第三章弧微分公式知第46页解解所以弧长为所以弧长为第47页设曲线弧为设曲线弧为弧长弧长3 3 参数方程情形参数方程情形第48页解解全长全长所以所以第49页曲线弧为曲线弧为弧长弧长4 4 极坐标情形极坐标情形第50页解解第51页1 1光滑曲线概念光滑曲线概念.四四 小结小结2 2平面曲线弧长概念平面曲线弧长概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下3 3 弧长公式弧长公式第52页4 定积分在物理学中应用定积分在物
10、理学中应用第53页一一 变力沿直线所作功变力沿直线所作功第54页第55页解解即功元素为即功元素为所求功为所求功为第56页解解建立坐标系如图建立坐标系如图5m3m第57页这一薄层水重力为这一薄层水重力为功元素为功元素为(千焦千焦)3m5m第58页二二 水压力水压力第59页解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图第60页第61页解解 建立坐标系如图建立坐标系如图L则斜边所在直线方程则斜边所在直线方程第62页由定义域内驻点唯一知当由定义域内驻点唯一知当时所受压力最大时所受压力最大。第63页三、引力三、引力第64页解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将经典小段近似看成质点将经典小段近似看成质点小段质量为小段质量为第65页小段与质点距离为小段与质点距离为引力引力水平方向分力元素水平方向分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为第66页利用利用“元素法元素法”求求（1 1）变力作功（）变力作功（2 2）水压力（）水压力（3 3）引力）引力等物理问题等物理问题（注意熟悉相关物理知识）（注意熟悉相关物理知识）四四 小结小结重点是用微元法建立微元，然后积分重点是用微元法建立微元，然后积分第67页五五 思索与判断题思索与判断题吸水作功吸水作功“作功微元作功微元”实际上是对实际上是对“微元微元”部分克服重力作功。部分克服重力作功。第68页