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1、函数极限的判定 制作人：制作者PPT时间：2024年X月目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 函数极限的求解方法函数极限的求解方法第第3 3章章 函数极限的判定方法函数极限的判定方法第第4 4章章 函数极限的应用函数极限的应用第第5 5章章 函数极限的误差分析函数极限的误差分析第第6 6章章 总结总结 0101第1章 简介 什么是函数极限什么是函数极限函数极限是指当自变量无限靠近某一点时，对应的函函数极限是指当自变量无限靠近某一点时，对应的函数值趋近于某一确定的数。例如，当数值趋近于某一确定的数。例如，当x x无限靠近无限靠近1 1时，时，y y趋近于趋近于2 2，那么我们就说，那么我们
2、就说y y等于等于2 2是在是在x x等于等于1 1时这个函时这个函数的极限。数的极限。函数极限的意义例如在工程学中的弹性变形等方面实际应用如证明某个极限存在等数学意义例如微积分学中的重要概念基础学科表示当自变量从左边靠近某一点时，对应的函数值趋近于某一确定的数左极限0103表示当自变量无限趋近于正无穷或负无穷时，对应的函数值趋近于某一确定的数无穷极限02表示当自变量从右边靠近某一点时，对应的函数值趋近于某一确定的数右极限左极限左极限的数学表示为lim(f(x),x-a-)，表示当x从a的左侧逼近时，f(x)的值趋近于一个确定的数L。右极限右极限仅与仅与a a的右侧相关的右侧相关不一定存在不一
3、定存在可能和左极限不同可能和左极限不同总结总结左右极限不一定相同左右极限不一定相同只有左右极限相等才有极限只有左右极限相等才有极限不存在左右极限的函数没有极不存在左右极限的函数没有极限限 比较左右极限左极限左极限仅与仅与a a的左侧相关的左侧相关不一定存在不一定存在可能和右极限不同可能和右极限不同如果一个函数在一个点的左右两侧夹住了一个具有相同极限的函数，那么这个点也有和这个函数相同的极限夹逼定理0103如果一个函数的极限存在，那么这个函数可以在极限点的某个邻域内被一个有理式替代。洛必达法则02如果一个函数在某个无限趋近的点附近单调且有界，那么这个点也有极限单调有界原理 0202第2章 函数极
4、限的求解方法 代数方法加减乘除代数运算法则加减乘除的极限运算极限四则运算法则几何方法函数图像的极限图像法曲线面积的极限面积法数学分析方法逼近原理极限的夹逼定理单调性定理极限的单调有界性定理应用极限的方法解决实际问题实战练习010302结合实际案例演示极限的求解过程示范演示代数方法代数方法代数方法是一种求解函数极限的常见方法，主要运用代数方法是一种求解函数极限的常见方法，主要运用代数运算法则和极限四则运算法则。通过代数方法，代数运算法则和极限四则运算法则。通过代数方法，可以对函数进行简化或变形，从而得到更容易求解的可以对函数进行简化或变形，从而得到更容易求解的极限值。极限值。面积法面积法优点：优
5、点：-可以计算面积、体积等其他可以计算面积、体积等其他数学量数学量-可以拓展到多元函数的求解可以拓展到多元函数的求解中中-可以代替图像法求解部分函可以代替图像法求解部分函数数缺点：缺点：-需要一定的几何知识需要一定的几何知识-不一定适用所有函数不一定适用所有函数 图像法 vs 面积法图像法图像法优点：优点：-直观、形象直观、形象-可以帮助理解函数的性质和可以帮助理解函数的性质和行为行为-适用范围广适用范围广缺点：缺点：-需要准确的图像和函数定义需要准确的图像和函数定义-无法对所有函数都适用无法对所有函数都适用极限的夹逼定理对于函数f(x),g(x)和h(x)，如果存在一个数c，使得当x趋近于c
6、时，有f(x)g(x)h(x)，且limf(x)limh(x)=L，那么有limg(x)=L。实战练习实战练习假设有一函数：假设有一函数：f(x)=x2/(ex-1)f(x)=x2/(ex-1)，试求，试求limf(x)(x-limf(x)(x-0)0)。极限四则运算法则两个函数极限相加或相减时的运算法则加减法则两个函数极限相乘时的运算法则乘法法则两个函数极限相除时的运算法则除法法则几何方法几何方法-优点：图像直观优点：图像直观-缺点：适用范围小缺点：适用范围小数学分析方法数学分析方法-优点：理论严谨优点：理论严谨-缺点：适用范围小缺点：适用范围小综合运用综合运用-优点：综合了多种方法，适优点
7、：综合了多种方法，适用范围广用范围广-缺点：需要综合运用多种方缺点：需要综合运用多种方法，难度较大法，难度较大不同方法的优缺点代数方法代数方法-优点：适用范围广优点：适用范围广-缺点：需要较强的代数运算缺点：需要较强的代数运算能力能力 0303第3章 函数极限的判定方法 夹逼准则设函数f(x),g(x),h(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，且满足f(x)g(x)h(x)，则有当x趋于x_0时，f(x)和h(x)的极限均为L，则g(x)的极限也是L。定理可以用来证明确界存在，以及求一些极限值应用夹逼准则中的夹逼函数要比待求函数简单，好计算，比如常数函数注意单调有界准则单调有界数列必有极限定
8、理用于证明无穷级数的收敛性应用单调有界准则只适用于实数数列注意极限比较法设有两个函数f(x)和g(x)，且在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果当x趋于x_0时，f(x)和g(x)的极限都存在，且f(x)g(x)，则有limf(x)limg(x)定理可以用于求复杂极限的上下界应用极限比较法只适用于正函数注意极限比值法设有两个函数f(x)和g(x)，且在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果当x趋于x_0时，f(x)和g(x)的极限都存在且不为0，则有limf(x)/g(x)A，则A的取值范围是0+定理可以用于求复杂极限的上下界及确定极限的存在性应用极限比值法只适用于正函数注意函数极限的替换方法当
9、涉及阶乘、指数函数等复杂函数的极限时，可以使用泰勒级数、洛必达法则等方法进行简化计算复杂函数极限的简化对于某些难以计算的函数，可以用等价无穷小替换，如sinx与x在x趋于0时等价数学函数的等价性实战练习实战练习现在，我们来做一道练习题：现在，我们来做一道练习题：已知已知lim(x-0)(sinx)/x=1lim(x-0)(sinx)/x=1，求，求lim(x-0)(1-lim(x-0)(1-cosx)/(x2)cosx)/(x2)实战练习-解答先将(1-cosx)/(x2)化简，得到lim(x-0)(1-cosx)/(x2)=lim(x-0)(1-cosx)/(x2*sinx/sinx)=li
10、m(x-0)(1-cosx)/(x2*sinx)*sinx/sinx=lim(x-0)(1-cosx)/(x2*sinx)*lim(x-0)sinx/sinx=lim(x-0)(1-cosx)/(x2*sinx)*1=lim(x-0)2*(sin(x/2)2/(x2*sinx)=lim(x-0)(x/2)2/(x2*sin(x/2)2)*lim(x-0)2*(sin(x/2)2/(x/2)2=1/2*2=1解答本题需要涉及到函数极限的比较、替换等方法注意示范演示示范演示现在，我们通过一个函数极限的示例来演示函数极限现在，我们通过一个函数极限的示例来演示函数极限的判定方法。的判定方法。已知函数已
11、知函数f(x)=(3x+5)/(2x-1)f(x)=(3x+5)/(2x-1)，求，求lim(x-1)f(x)lim(x-1)f(x)的的极限。极限。示范演示-解答将f(x)展开得到：lim(x-1)f(x)=lim(x-1)(3x+5)/(2x-1)=lim(x-1)(3*(x-1)+8)/(2*(x-1)+1)=11/3故lim(x-1)f(x)的极限为11/3 0404第4章 函数极限的应用 极限与导数的关系极限的定义及概念导数定义的极限形式等价无穷小比较极限存在的充分条件极限的无穷小比较无穷小的定义及性质无穷小与渐进线极限计算的重要工具洛必达法则极限与积分的关系定义及性质积分定义的极限
12、形式计算方法及注意事项积分与极限的先后顺序无穷小与渐进线无穷小与渐进线无穷小是函数极限中一个重要的概念，它描述的是函无穷小是函数极限中一个重要的概念，它描述的是函数在某一点的局部变化情况。而渐进线则是描述整个数在某一点的局部变化情况。而渐进线则是描述整个函数趋势的一条线，它可以用来分析函数的长远行为。函数趋势的一条线，它可以用来分析函数的长远行为。这两个概念是密切相关的，掌握它们对于理解极限具这两个概念是密切相关的，掌握它们对于理解极限具有重要意义。有重要意义。求函数f(x)sin(x)/x在x趋近于0时的极限例题10103利用洛必达法则计算lim(x-0)(cos(x)-1)/x2例题302
13、证明lim(x-)1/x=0例题2应用应用2 2求函数求函数f(x)=(ax-f(x)=(ax-bx)/x(x2+1)bx)/x(x2+1)在在x x趋近于趋近于0 0时的极限时的极限分子可以转化为分子可以转化为(a/b)x-1(a/b)x-1，用，用小角度定理即可得到极限小角度定理即可得到极限应用应用3 3计算计算lim(x-0)(1-sin(ax)/x3lim(x-0)(1-sin(ax)/x3，其中，其中a a为常数为常数利用利用sin(ax)axsin(ax)ax，可以将原式，可以将原式化为常数极限化为常数极限应用应用4 4证明证明lim(x-0)sinx/x=1lim(x-0)sin
14、x/x=1利用两角公式利用两角公式sin2x=2sinx*cosxsin2x=2sinx*cosx，化简即可，化简即可综合运用应用应用1 1求函数求函数f(x)=x2/(x+1)f(x)=x2/(x+1)在在x x趋近趋近于于时的极限时的极限分母系数较小，可以采用除法分母系数较小，可以采用除法取整法取整法极限存在的充分条件设f(x)在x0的某个邻域内有定义，且xx0时f(x)有限，那么f(x)在x0处有极限的充分必要条件是：对于任意0，存在0，当0|x-x0|时，有|f(x)-A|)1/x=0示例2利用洛必达法则计算lim(x-0)(cos(x)-1)/x2示例3 0505第5章 函数极限的误
15、差分析 极限的误差定义极限的误差定义在数学中，在数学中，“极限误差极限误差”通常表示一个函数在某个点通常表示一个函数在某个点处向另一个点趋近时的误差。极限误差一般由两个方处向另一个点趋近时的误差。极限误差一般由两个方面的问题组成，即极限的定义和极限的计算方法。面的问题组成，即极限的定义和极限的计算方法。极限误差的计算方法使用近似公式计算导数差分近似法使用泰勒公式展开函数泰勒公式法使用拉格朗日余项展开拉格朗日余项法数值逼近法使用函数值的符号判定二分法使用切线的交点迭代牛顿迭代法使用割线的交点迭代割线法极限的近似求法极限的近似求法在数值计算中，极限的近似求法通常包括数值逼近法在数值计算中，极限的近
16、似求法通常包括数值逼近法和蒙特卡罗法。数值逼近法是通过一些数学公式或算和蒙特卡罗法。数值逼近法是通过一些数学公式或算法近似计算极限值，而蒙特卡罗法是利用随机数和概法近似计算极限值，而蒙特卡罗法是利用随机数和概率统计的方法来估计极限值。率统计的方法来估计极限值。统统计计方方法法的的误误差差控控制制估计误差和置信区间估计误差和置信区间样本容量和置信度的影响样本容量和置信度的影响采样误差的控制采样误差的控制 极限的误差控制计计算算机机算算法法的的误误差差控制控制截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差浮点数运算的精度控制浮点数运算的精度控制增加运算次数的误差控制增加运算次数的误差控制使用极限的定义和计算
17、方法计算函数极限0103使用极限和导数的概念绘制函数图像02使用极限的近似求法和误差控制解析函数极限示范演示在本次课件中，我们通过对函数极限的误差分析，理解了极限误差的概念和计算方法，学习了极限的近似求法和误差控制技术，以及综合运用这些知识进行实战练习和示范演示。希望大家能够掌握这些内容，提高数学能力。0606第6章 总结 连续性和间断点连续性和间断点函数在某个点连续，导数不存函数在某个点连续，导数不存在在左右极限不相等左右极限不相等判定方法判定方法夹逼法夹逼法单调有界单调有界 知识回顾函数极限的定义函数极限的定义数列趋于无穷，函数值趋于某数列趋于无穷，函数值趋于某个值个值无限接近但不等于某个
18、值无限接近但不等于某个值连续性和间断点连续性和间断点函数在某个点连续，导数不存函数在某个点连续，导数不存在在左右极限不相等左右极限不相等判定方法判定方法夹逼法夹逼法单调有界单调有界 重点总结函数极限函数极限数列趋于无穷，函数值趋于某数列趋于无穷，函数值趋于某个值个值无限接近但不等于某个值无限接近但不等于某个值后续学习建议如何求函数的导数深入学习极限运算微积分等相关知识拓宽数学知识面实际场景中的函数极限问题解决应用实践题目及解析求导综合练习0103题目及解析连续性判定02题目及解析函数极限计算难点问题解决方难点问题解决方法法函数极限中的难点问题通常在于如何判断函数的连续函数极限中的难点问题通常在于如何判断函数的连续性和间断点，可以通过画出函数的图像进行观察，也性和间断点，可以通过画出函数的图像进行观察，也可以使用夹逼法和单调有界原理进行简便判断。另外，可以使用夹逼法和单调有界原理进行简便判断。另外，可以通过练习题积累经验，多做多思考，逐渐提高解可以通过练习题积累经验，多做多思考，逐渐提高解题能力。题能力。常见问题解答Q:如何求函数的导数？A:使用求导公式，对函数求导即可。谢谢观看！下次再见