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1、理学差分方程理学差分方程PPTPPT课件课件 制作人：时间：2024年X月CATALOGUE目目录录第第1 1章章 理学差分方程简介理学差分方程简介第第2 2章章 常系数差分方程常系数差分方程第第3 3章章 变系数差分方程变系数差分方程第第4 4章章 差分方程建模差分方程建模第第5 5章章 差分方程的数值解法差分方程的数值解法第第6 6章章 总结与展望总结与展望CATALOGUE 0101第第1章章 理学差分方程理学差分方程简简介介 课程概述课程概述课程概述课程概述理学差分方程是研究离散量之间变化关系的数学工具，应理学差分方程是研究离散量之间变化关系的数学工具，应用广泛。本课程旨在介绍差分方程
2、的基本概念、求解方法用广泛。本课程旨在介绍差分方程的基本概念、求解方法和应用领域，并通过例题体验差分方程在物理学和工程学和应用领域，并通过例题体验差分方程在物理学和工程学中的实际应用。中的实际应用。差分方程的基本概念差分方程的基本概念递推式和初值条件定义和表示方定义和表示方式式离散量的变化与微分方程的与微分方程的区别区别寻求特定解初值问题和边初值问题和边值问题值问题 差分方程的求解方法差分方程的求解方法近似解和准确解数值解和解析数值解和解析解的区别解的区别特征方程和通解常系数差分方常系数差分方程的解法程的解法变量分离，变形和求和变系数差分方变系数差分方程的解法程的解法 放射性物质的衰变指数衰减
3、模型的应用指数衰减模型的应用0103种群生态系统的模拟生态学模型的应用生态学模型的应用02电容电感电路的模拟电路模拟的应用电路模拟的应用课程目标和安排本课程旨在让学生掌握差分方程的基本概念，了解差本课程旨在让学生掌握差分方程的基本概念，了解差分方程的求解方法，熟悉差分方程在物理学和工程学分方程的求解方法，熟悉差分方程在物理学和工程学中的应用。学习时间为中的应用。学习时间为1010周，每周授课周，每周授课2 2小时，需要学小时，需要学生预习课本、课堂笔记和课后作业。考核方式为期末生预习课本、课堂笔记和课后作业。考核方式为期末闭卷考试和学生的课堂表现。闭卷考试和学生的课堂表现。微分方程微分方程微分
4、方程微分方程连续变量和连续时间连续变量和连续时间微分方程和边值条件微分方程和边值条件解析方法和数值方法解析方法和数值方法共同点共同点共同点共同点表述自然现象的数学工具表述自然现象的数学工具具有预测、解释和控制的功能具有预测、解释和控制的功能分析和研究现代科学问题分析和研究现代科学问题 差分方程与微分方程的比较差分方程与微分方程的比较差分方程差分方程差分方程差分方程离散变量和离散时间离散变量和离散时间递推式和初值条件递推式和初值条件有限差分近似求解有限差分近似求解本章小结本章介绍了理学差分方程的基本概念、求解方法和应本章介绍了理学差分方程的基本概念、求解方法和应用领域，学习差分方程对工程、自然科
5、学和社会科学用领域，学习差分方程对工程、自然科学和社会科学都有很大作用，学生需要熟悉差分方程的特性、求解都有很大作用，学生需要熟悉差分方程的特性、求解方法和应用领域，为后续的学习和应用打下坚实基础。方法和应用领域，为后续的学习和应用打下坚实基础。CATALOGUE 0202第第2章章 常系数差分方程常系数差分方程 二阶常系数差分方程二阶常系数差分方程欧拉公式和特征根的求法特征方程的求特征方程的求解解常数变易法以及齐次方程和非齐次方程的解析解和通解的区别齐次线性差分齐次线性差分方程和非齐次方程和非齐次线性差分方程线性差分方程的解法比较的解法比较给出一些具体的例子初值问题和边初值问题和边值问题的解
6、法值问题的解法 高阶常系数差分方程高阶常系数差分方程多项式特征方程和特征根的计算特征方程的求特征方程的求解解常数变易法以及齐次方程和非齐次方程的解析解和通解的区别齐次线性差分齐次线性差分方程和非齐次方程和非齐次线性差分方程线性差分方程的解法比较的解法比较给出一些具体的例子初值问题和边初值问题和边值问题的解法值问题的解法 常系数线性差分方程组常系数线性差分方程组线性代数的相关概念矩阵表示和特矩阵表示和特征值的求解征值的求解常数变易法以及齐次方程组和非齐次方程组的解析解和通解的区别齐次线性差分齐次线性差分方程组和非齐方程组和非齐次线性差分方次线性差分方程组的解法比程组的解法比较较给出一些具体的例子
7、初值问题和边初值问题和边值问题的解法值问题的解法 常系数线性递推方程常系数线性递推方程递推方程的基本形式和一些重要的概念递推方程的定递推方程的定义和表示方式义和表示方式线性递推方程和非线性递推方程的通解的求法递推方程的解递推方程的解法法孪生素数序列的构造、黄金分割数的计算等递推方程在数递推方程在数学中的应用学中的应用 欧拉公式和特征欧拉公式和特征欧拉公式和特征欧拉公式和特征根的求法根的求法根的求法根的求法欧拉公式是解决二阶线性常系数非齐次差分方程的一个重欧拉公式是解决二阶线性常系数非齐次差分方程的一个重要公式。它的原理是利用指数函数的性质，将非齐次项分要公式。它的原理是利用指数函数的性质，将非
8、齐次项分解成两个指数函数的和，然后再根据特征根的不同情况来解成两个指数函数的和，然后再根据特征根的不同情况来求得通解。特征根的求解是差分方程求解的关键。对于一求得通解。特征根的求解是差分方程求解的关键。对于一般的齐次线性差分方程，其特征方程的解即为特征根。特般的齐次线性差分方程，其特征方程的解即为特征根。特征根的数量和重复现象决定了通解的形式。征根的数量和重复现象决定了通解的形式。解析解解析解解析解解析解解析解是由特征根和初值唯一解析解是由特征根和初值唯一确定的一类解，通常用于齐次确定的一类解，通常用于齐次线性差分方程的求解。解析解线性差分方程的求解。解析解的优点是方便实用，通常有多的优点是方
9、便实用，通常有多种不同形式，可以根据需要来种不同形式，可以根据需要来选择。缺点是不能涵盖所有的选择。缺点是不能涵盖所有的情况，比如对于非齐次线性差情况，比如对于非齐次线性差分方程，解析解的求解比较复分方程，解析解的求解比较复杂。杂。常数变易法和解析解的区别常数变易法和解析解的区别常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法实质上是一种特解常数变易法实质上是一种特解求法，通过对非齐次线性差分求法，通过对非齐次线性差分方程的非齐次项进行变形，然方程的非齐次项进行变形，然后得到一个假设的特解，最后后得到一个假设的特解，最后通过待定系数的求解得到特解通过待定系数的求解得到特解的实际表达式。常数变
10、易法的的实际表达式。常数变易法的优点是操作简单，特别适用于优点是操作简单，特别适用于非齐次项为多项式函数的情况。非齐次项为多项式函数的情况。递推公式f(n)f(n-1)+f(n-2)斐波那契数列斐波那契数列0103递推公式phi(n+1)=1+1/phi(n)黄金分割数黄金分割数02递推公式C(n+1)=sum(C(i)C(n-i)(i=0n)卡特兰数列卡特兰数列线性代数的相关概念常系数线性差分方程组的求解涉及到一些线性代数的常系数线性差分方程组的求解涉及到一些线性代数的基本概念，比如向量、矩阵、特征值和特征向量等。基本概念，比如向量、矩阵、特征值和特征向量等。其中，矩阵表示是常系数线性差分方
11、程组的一种常见其中，矩阵表示是常系数线性差分方程组的一种常见形式，它可以简化问题的复杂度，从而更方便地求解。形式，它可以简化问题的复杂度，从而更方便地求解。特征值和特征向量则可以用于描述矩阵的特性，方便特征值和特征向量则可以用于描述矩阵的特性，方便我们判断矩阵的性质和依据问题的特点来选取不同的我们判断矩阵的性质和依据问题的特点来选取不同的解法。解法。CATALOGUE 0303第第3章章 变变系数差分方程系数差分方程 一阶变系数差分一阶变系数差分一阶变系数差分一阶变系数差分方程方程方程方程一阶变系数差分方程是指微分方程中的系数发生变化，其一阶变系数差分方程是指微分方程中的系数发生变化，其求解方
12、法需要应用变量分离法，同时需要进行初值问题和求解方法需要应用变量分离法，同时需要进行初值问题和边值问题的解法。下面通过具体例子来介绍一阶变系数差边值问题的解法。下面通过具体例子来介绍一阶变系数差分方程的求解过程。分方程的求解过程。一阶变系数差分方程的求解一阶变系数差分方程的求解将未知函数分离出来应用变量分离应用变量分离法法代入公式，进行变量替换求解过程求解过程使用初值条件求解初值问题的解初值问题的解法法 二阶变系数差分二阶变系数差分二阶变系数差分二阶变系数差分方程方程方程方程二阶变系数差分方程是指微分方程中的二阶导数的系数发二阶变系数差分方程是指微分方程中的二阶导数的系数发生变化，需要应用变量
13、分离法来进行求解。下面通过具体生变化，需要应用变量分离法来进行求解。下面通过具体例子来介绍二阶变系数差分方程的求解过程。例子来介绍二阶变系数差分方程的求解过程。二阶变系数差分方程的求解二阶变系数差分方程的求解将未知函数分离出来应用变量分离应用变量分离法法代入公式，进行变量替换求解过程求解过程使用初值条件求解初值问题的解初值问题的解法法 通过行列式的求解来得到解法行列式表示法行列式表示法0103使用初值条件求解初值问题的解法初值问题的解法02通过消元法来得到解法消元法消元法递推方程递推方程递推方程递推方程2 2 2 2递推公式递推公式1 1递推公式递推公式2 2递推公式递推公式3 3递推方程递推
14、方程递推方程递推方程3 3 3 3递推公式递推公式1 1递推公式递推公式2 2递推公式递推公式3 3递推方程递推方程递推方程递推方程4 4 4 4递推公式递推公式1 1递推公式递推公式2 2递推公式递推公式3 3变系数线性递推方程的求解变系数线性递推方程的求解递推方程递推方程递推方程递推方程1 1 1 1递推公式递推公式1 1递推公式递推公式2 2递推公式递推公式3 3递推方程的应用递推方程在数学中有很多应用，如在数值计算中常用递推方程在数学中有很多应用，如在数值计算中常用递推法解微分方程，递推公式也被广泛应用于社会科递推法解微分方程，递推公式也被广泛应用于社会科学、自然科学中的统计分析、时间
15、序列分析等领域。学、自然科学中的统计分析、时间序列分析等领域。CATALOGUE 0404第第4章章 差分方程建模差分方程建模 差分方程建模的差分方程建模的差分方程建模的差分方程建模的基本方法基本方法基本方法基本方法差分方程是通过建立数学模型，研究离散时间的函数值随差分方程是通过建立数学模型，研究离散时间的函数值随时间变化的规律的一个工具。建模的基本方法包括建立数时间变化的规律的一个工具。建模的基本方法包括建立数学模型、设定初始条件、利用差分方程求解等。在实例分学模型、设定初始条件、利用差分方程求解等。在实例分析中，人口增长模型、化学反应速率模型和传染病传播模析中，人口增长模型、化学反应速率模
16、型和传染病传播模型是常见的案例。型是常见的案例。弹簧振动模型弹簧振动模型弹簧的弹性特性和振动方程弹簧振动的原弹簧振动的原理理简谐振动的基本概念和求解方法一阶弹簧振动一阶弹簧振动模型模型振动的耗能和自由振动、强迫振动、共振等概念二阶弹簧振动二阶弹簧振动模型模型 生态学模型生态学模型Lotka-Volterra方程种群增长模型种群增长模型Lotka-Volterra方程的求解和分析草食动物和食草食动物和食草动物的生态草动物的生态平衡平衡带时滞项的Lotka-Volterra方程捕食者繁殖速捕食者繁殖速率的调节作用率的调节作用 差分方程在金融差分方程在金融差分方程在金融差分方程在金融中的应用中的应用
17、中的应用中的应用差分方程在金融领域中的主要应用包括股票期权定价模型、差分方程在金融领域中的主要应用包括股票期权定价模型、隐含波动率估计、风险管理等。其中，股票期权定价模型隐含波动率估计、风险管理等。其中，股票期权定价模型主要有布莱克主要有布莱克-斯科尔斯模型和托马斯模型。斯科尔斯模型和托马斯模型。流行病学模型流行病学模型流行病学模型流行病学模型SIRSIR模型和模型和SEIRSEIR模型模型流感疫苗接种策略的优化流感疫苗接种策略的优化疫情的预测和控制疫情的预测和控制药物分布模型药物分布模型药物分布模型药物分布模型药物在体内的分布动力学模型药物在体内的分布动力学模型药物治疗的最优方案药物治疗的最
18、优方案药物不良反应的预测药物不良反应的预测肿瘤模型肿瘤模型肿瘤模型肿瘤模型肿瘤生长模型和药物治疗模型肿瘤生长模型和药物治疗模型肿瘤大小预测和治疗方案选择肿瘤大小预测和治疗方案选择肿瘤扩散的模拟和预测肿瘤扩散的模拟和预测差分方程在医学中的应用差分方程在医学中的应用心脏疾病的模拟心脏疾病的模拟心脏疾病的模拟心脏疾病的模拟电生理过程的数学模拟电生理过程的数学模拟心脏病变的建模心脏病变的建模心脏起搏器的建模心脏起搏器的建模风险分析模型风险分析模型Kaplan-Meier生存分析模型生命保险模型生命保险模型Merton模型和Black-Karasinski模型信用风险模型信用风险模型二元差分方程模型和A
19、RIMA模型气象灾害预测气象灾害预测模型模型 总结差分方程的建模方法和应用广泛，可以用于解决各种差分方程的建模方法和应用广泛，可以用于解决各种实际问题。在差分方程的求解和模拟过程中，需要注实际问题。在差分方程的求解和模拟过程中，需要注意模型的合理性和精度，并结合实际情况进行修正和意模型的合理性和精度，并结合实际情况进行修正和完善。完善。CATALOGUE 0505第第5章章 差分方程的数差分方程的数值值解法解法 常系数差分方程的数值解法常系数差分方程的数值解法一阶欧拉法欧拉法欧拉法二阶改进欧拉法改进的欧拉法改进的欧拉法经典四阶龙格库塔法龙格库塔法龙格库塔法 变系数差分方程的数值解法变系数差分方
20、程的数值解法一阶欧拉法欧拉法欧拉法二阶改进欧拉法改进的欧拉法改进的欧拉法经典四阶龙格库塔法龙格库塔法龙格库塔法 差分方程组的数值解法差分方程组的数值解法改进欧拉法与龙格库塔法比较龙格库塔法龙格库塔法当初值问题中存在差分方程时常微分方程数常微分方程数值解法的适用值解法的适用性比较性比较优点是简单易用；缺点是不适用于大规模计算差分方程数值差分方程数值解法的优缺点解法的优缺点 数值解法的误差分析数值解法的误差分析截断误差指数值解法与微分方程的精确解之差；舍入误差指数值解法中涉及到的小数位数有限而引入的误差截断误差和舍截断误差和舍入误差的概念入误差的概念数值误差的来源主要有截断误差和舍入误差，数值误差
21、的分类有绝对误差和相对误差数值误差的来数值误差的来源和分类源和分类数值误差的控制和减少有以下方法：提高计算精度、减少截断误差、选择合适的步长等数值误差的控数值误差的控制和减少制和减少 一阶欧拉法一阶欧拉法0103 四阶龙格库塔法四阶龙格库塔法02 二阶改进欧拉法二阶改进欧拉法改进的欧拉法改进的欧拉法改进的欧拉法改进的欧拉法精度有所提高精度有所提高适用于中等步长适用于中等步长龙格库塔法龙格库塔法龙格库塔法龙格库塔法精度更高精度更高适用于大步长适用于大步长 数值解法比较数值解法比较欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法简单易懂简单易懂适用于小步长适用于小步长数值解法的应用范围和限制数值解法适用于大多数的差分方程
22、问题，但是对于一数值解法适用于大多数的差分方程问题，但是对于一些特殊问题，比如边值问题和固定区域问题，数值解些特殊问题，比如边值问题和固定区域问题，数值解法往往无法得到准确的结果。法往往无法得到准确的结果。截断误差与舍入截断误差与舍入截断误差与舍入截断误差与舍入误差误差误差误差截断误差指数值解法与微分方程的精确解之差，它是由于截断误差指数值解法与微分方程的精确解之差，它是由于数值解法采用的近似方法而引入的。舍入误差则是由于计数值解法采用的近似方法而引入的。舍入误差则是由于计算机在表示实数时，只能采用有限位数的二进制来存储，算机在表示实数时，只能采用有限位数的二进制来存储，因此引入误差。因此引入
23、误差。CATALOGUE 0606第第6章章 总结总结与展望与展望 差分方程的应用前景差分方程的应用前景电磁学、热力学、波动学物理学物理学期权定价、风险管理、投资分析金融学金融学人口模型、生态系统动力学、神经元模型生物学生物学 差分方程理论的发展差分方程理论的发展欧拉、拉格朗日、泊松等人的贡献发展历史发展历史非线性差分方程的解法、高阶差分方程的性质理论难点和未理论难点和未解决问题解决问题差分方程与人工智能、量子计算等结合未来发展趋势未来发展趋势 变变变变系系系系数数数数差差差差分分分分方方方方程程程程特特特特征方程求解征方程求解征方程求解征方程求解求解一阶、二阶和三阶变系数求解一阶、二阶和三阶
24、变系数线性差分方程线性差分方程掌握特征根的求法和分类讨论掌握特征根的求法和分类讨论理解特征方程根与解的关系理解特征方程根与解的关系差差差差分分分分方方方方程程程程组组组组和和和和递递递递推推推推方方方方程解法程解法程解法程解法求解二元线性差分方程组和三求解二元线性差分方程组和三元线性差分方程组元线性差分方程组掌握递推方程的构造和解法掌握递推方程的构造和解法了解差分方程组的应用领域了解差分方程组的应用领域差分方程数值解法差分方程数值解法差分方程数值解法差分方程数值解法欧拉法、龙格欧拉法、龙格-库塔法的原理和库塔法的原理和误差分析误差分析了解变步长法和自适应步长法了解变步长法和自适应步长法的实现的
25、实现理解数值解法的应用场景理解数值解法的应用场景知识回顾知识回顾常常常常系系系系数数数数差差差差分分分分方方方方程程程程特特特特征方程求解征方程求解征方程求解征方程求解求解一阶、二阶和三阶常系数求解一阶、二阶和三阶常系数线性差分方程线性差分方程掌握特征根的求法和分类讨论掌握特征根的求法和分类讨论理解特征方程根与解的关系理解特征方程根与解的关系电荷移动、热传导、波动传播物理学物理学0103人口变化、生态平衡、神经元模拟生物学生物学02期权定价、风险管理、投资分析金融学金融学差分方程的基本思想差分方程是用差分近似代替微分，描述事件变化的方差分方程是用差分近似代替微分，描述事件变化的方法。将某一时刻
26、的值与前一个时刻的值之差称为差分，法。将某一时刻的值与前一个时刻的值之差称为差分，用其代替微分，得到形如用其代替微分，得到形如y(i+1)-y(i)f(y(i),i)y(i+1)-y(i)f(y(i),i)的方的方程，即差分方程。程，即差分方程。差分方程的求解方法差分方程的求解方法特征方程法、指数解法、待定系数法常系数差分方常系数差分方程程变量分离法、线性齐次方程组法、变量代换法变系数差分方变系数差分方程程消元法、递推关系法、特征方程法差分方程组差分方程组 差分方程的误差差分方程的误差差分方程的误差差分方程的误差分析分析分析分析差分方程数值解法存在一定误差，主要来源于时间步长和差分方程数值解法存在一定误差，主要来源于时间步长和数值方法的选择。欧拉法具有一阶精度，龙格数值方法的选择。欧拉法具有一阶精度，龙格-库塔法具有库塔法具有二阶或更高精度。当步长过大时，误差会变大，因此需要二阶或更高精度。当步长过大时，误差会变大，因此需要根据实际情况选择合适的步长。根据实际情况选择合适的步长。THANKS 感谢观看