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1、高等数学微分方程高等数学微分方程 制作人：时间：2024年X月目录目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 一阶微分方程一阶微分方程第第3 3章章 高阶微分方程高阶微分方程第第4 4章章 常见的偏微分方程常见的偏微分方程第第5 5章章 数值解与应用数值解与应用第第6 6章章 总结总结 0101第第1章章 简简介介 课程简介课程简介课程简介课程简介本课程旨在介绍微分方程的基本概念、分类和解法，以及本课程旨在介绍微分方程的基本概念、分类和解法，以及微分方程在实际应用中的作用。微分方程是数学中研究变微分方程在实际应用中的作用。微分方程是数学中研究变化率与数量关系的重要分支，广泛应用于物理、工程以及
2、化率与数量关系的重要分支，广泛应用于物理、工程以及自然科学的许多领域。自然科学的许多领域。微分方程概述微分方程概述微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的方程。它广泛应用于工程、物理、生物学、经济学等领域的实际问题中，如弹性力学、电路理论、天体物理学、心脏病学、经济学中的价格变化、人口增长等。微分方程的求解，不仅有助于掌握自然景观、科技发展、经济变化等实际问题的规律，而且对于培养学生的科学研究能力有着很好的促进作用。常见的应用场景常见的应用场景运动学、热力学、光学、电磁学等物理学物理学生态学、生化动力学、遗传学等生物学生物学价格变化、市场策略等经济学经济学自动化控制、生产过程控制等工程
3、学工程学常微分方程常微分方程描述和研究变化率，以及未知函数的导数定义和基本形定义和基本形式式一阶常微分方程、二阶常微分方程、欧拉公式、变量分离法、积分因子法等分类和求解方分类和求解方法法机械振动、RC电路、天体物理学、人口增长等实例分析实例分析 分类和求解方法分类和求解方法分类和求解方法分类和求解方法一阶偏微分方程、二阶线性偏一阶偏微分方程、二阶线性偏微分方程、非线性偏微分方程、微分方程、非线性偏微分方程、数值方法等数值方法等实例分析实例分析实例分析实例分析热传导方程、波动方程、电磁热传导方程、波动方程、电磁场方程等场方程等应用场景应用场景应用场景应用场景天气预报、地震预警、医学影天气预报、地
4、震预警、医学影像处理、金融分析等像处理、金融分析等偏微分方程偏微分方程定义和基本形式定义和基本形式定义和基本形式定义和基本形式描述未知函数的偏导数而不是描述未知函数的偏导数而不是导数导数可以描述更加复杂的自然现象可以描述更加复杂的自然现象和工程问题和工程问题描述状态量关于时间的导数关系常微分方程常微分方程0103未知函数是线性的线性微分方程线性微分方程02描述连续介质中关于时间和空间坐标的导数关系偏微分方程偏微分方程 0202第第2章章 一一阶阶微分方程微分方程 一阶微分方程的一阶微分方程的一阶微分方程的一阶微分方程的基本概念基本概念基本概念基本概念一阶微分方程是关于函数及其导数的方程。它的基
5、本形式一阶微分方程是关于函数及其导数的方程。它的基本形式为：为：yf(x,y)yf(x,y)，其中，其中yy表示表示y y的导数。常微分方程的求解的导数。常微分方程的求解思路是将导数作为未知函数，直接对微分方程进行积分求思路是将导数作为未知函数，直接对微分方程进行积分求解。接着通过初值条件来确定积分常数。解。接着通过初值条件来确定积分常数。可分离变量方程可分离变量方程指形如g(y)dy=f(x)dx的微分方程概念概念将g(y)和f(x)分别移到等式两边并积分求解思路求解思路解y=xy，首先移项，得到dy=ydx，两边同时积分得到y=e(x2/2+C)，其中C为常数例题分析例题分析 求解思路求解
6、思路求解思路求解思路令令y=uxy=ux，可得到一个新的微分，可得到一个新的微分方程方程化简后可以直接分离变量求解化简后可以直接分离变量求解例题分析例题分析例题分析例题分析解解y=x/(y-x)y=x/(y-x)，令，令u=y/xu=y/x，得到，得到u+xdu/dx=1/u-1u+xdu/dx=1/u-1将变量分离求得将变量分离求得u u和和x x的关系，的关系，然后解得然后解得y y特殊情况特殊情况特殊情况特殊情况当当F(y/x)=f(y/x)/x F(y/x)=f(y/x)/x 时，时，可以直接用可分离变量方程的可以直接用可分离变量方程的方法求解方法求解齐次方程齐次方程概念概念概念概念指
7、形如指形如y=F(y/x)y=F(y/x)的微分方程的微分方程具有自变量与因变量比值的对具有自变量与因变量比值的对称形式称形式指形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程概念概念0103解y+xy=x3，首先求出积分因子u=e(x2/2)，然后将两边同时乘u，再使用可分离变量方程来求解例题分析例题分析02通过乘以积分因子，将其转化为可积分的形式求解思路求解思路总结总结一阶微分方程是微积分中的重要内容之一，也是应用最广泛的微分方程类型之一。通过学习可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程等基本类型，可以奠定进一步研究微分方程的基础。0303第第3章章 高高阶阶微分方程微分方程 齐次线性高阶微齐次线
8、性高阶微齐次线性高阶微齐次线性高阶微分方程分方程分方程分方程齐次线性高阶微分方程是指形如齐次线性高阶微分方程是指形如$y(n)+P_1(x)y(n-1)+.+P_n(x)y0$y(n)+P_1(x)y(n-1)+.+P_n(x)y0$的微分的微分方程，其中方程，其中$P_1(x),P_2(x),.,P_n(x)$P_1(x),P_2(x),.,P_n(x)$为为$x$x$的连续的连续函数。求解齐次线性高阶微分方程的思路是求出它的通解，函数。求解齐次线性高阶微分方程的思路是求出它的通解，然后根据初值条件求出特解。然后根据初值条件求出特解。齐次线性高阶微分方程求解思路齐次线性高阶微分方程求解思路可
9、用特征方程法、欧拉方程法、幂级数法等求解求出齐次线性求出齐次线性微分方程的通微分方程的通解解待定系数的选取要根据非齐次项的形式进行设特解为通解设特解为通解乘以待定系数乘以待定系数解出待定系数后，将通解和特解相加即可得到非齐次微分方程的通解代入微分方程代入微分方程求解待定系数求解待定系数 非齐次线性高阶非齐次线性高阶非齐次线性高阶非齐次线性高阶微分方程微分方程微分方程微分方程非齐次线性高阶微分方程是指形如非齐次线性高阶微分方程是指形如$y(n)+P_1(x)y(n-1)+.+P_n(x)y=f(x)$y(n)+P_1(x)y(n-1)+.+P_n(x)y=f(x)$的的微分方程，其中微分方程，其
10、中$f(x)$f(x)$为为$x$x$的连续函数。求解非齐次线的连续函数。求解非齐次线性高阶微分方程的思路是求出它的通解和一个特解，将它性高阶微分方程的思路是求出它的通解和一个特解，将它们相加得到非齐次微分方程的通解。们相加得到非齐次微分方程的通解。非齐次线性高阶微分方程求解思路非齐次线性高阶微分方程求解思路可用特征方程法、欧拉方程法、幂级数法等求解求出齐次线性求出齐次线性微分方程的通微分方程的通解解可用待定系数法、常数变易法等方法求解求出一个特解求出一个特解将求出的通解代入微分方程检验通解通解=齐次通齐次通解解+特解特解 常系数线性高阶常系数线性高阶常系数线性高阶常系数线性高阶微分方程微分方
11、程微分方程微分方程常系数线性高阶微分方程是指形如常系数线性高阶微分方程是指形如$y(n)+a_1y(n-$y(n)+a_1y(n-1)+.+a_ny=f(x)$1)+.+a_ny=f(x)$的微分方程，其中的微分方程，其中$a_1,a_2,.,a_n$a_1,a_2,.,a_n$为常数。求解常系数线性高阶微分方为常数。求解常系数线性高阶微分方程的思路是先求出它的齐次线性微分方程的通解，然后求程的思路是先求出它的齐次线性微分方程的通解，然后求非齐次线性微分方程的一个特解，最后将它们相加得到非非齐次线性微分方程的一个特解，最后将它们相加得到非齐次微分方程的通解。齐次微分方程的通解。常系数线性高阶微
12、分方程求解思路常系数线性高阶微分方程求解思路可用特征方程法、欧拉方程法、幂级数法等求解求出齐次线性求出齐次线性微分方程的通微分方程的通解解可用待定系数法、常数变易法等方法求解求出一个特解求出一个特解将求出的通解代入微分方程检验通解通解=齐次通齐次通解解+特解特解 变系数线性高阶变系数线性高阶变系数线性高阶变系数线性高阶微分方程微分方程微分方程微分方程变系数线性高阶微分方程是指形如变系数线性高阶微分方程是指形如$y(n)+p_1(x)y(n-1)+.+p_n(x)y=f(x)$y(n)+p_1(x)y(n-1)+.+p_n(x)y=f(x)$的的微分方程，其中微分方程，其中$p_1(x),p_2
13、(x),.,p_n(x)$p_1(x),p_2(x),.,p_n(x)$为为$x$x$的的连续函数。求解变系数线性高阶微分方程的思路是用变易连续函数。求解变系数线性高阶微分方程的思路是用变易法求出它的一个特解，然后将特解代入通解中得到非齐次法求出它的一个特解，然后将特解代入通解中得到非齐次微分方程的通解。微分方程的通解。变系数线性高阶微分方程求解思路变系数线性高阶微分方程求解思路变易法是一种将待定系数法推广而来的方法用变易法求出用变易法求出一个特解一个特解得到非齐次微分方程的通解特解代入齐次特解代入齐次通解中通解中 0404第第4章章 常常见见的偏微分方程的偏微分方程 热传导方程热传导方程描述
14、物体内部温度变化规律的偏微分方程概念概念一维热传导方程：u_t k*u_xx基本形式基本形式分离变量法、变换法等求解思路求解思路 热传导方程热传导方程热传导方程热传导方程热传导方程描述了物体内部温度变化的规律，它是一种偏热传导方程描述了物体内部温度变化的规律，它是一种偏微分方程。如果我们知道物体内部各点的温度分布，就可微分方程。如果我们知道物体内部各点的温度分布，就可以通过热传导方程来计算它们之间的热传导。以通过热传导方程来计算它们之间的热传导。波动方程波动方程描述波在介质中的传播规律的偏微分方程概念概念一维波动方程：u_tt=c2*u_xx基本形式基本形式分离变量法、变换法等求解思路求解思路
15、 如弹性介质中的声波波的传播速度与介质性质有关波的传播速度与介质性质有关0103如横波和纵波的传播速度不同波的传播速度与传播方向有关波的传播速度与传播方向有关02波长越长，频率越小，传播速度越慢波的传播速度与波长、频率有关波的传播速度与波长、频率有关扩散方程扩散方程描述物质在介质中扩散的偏微分方程概念概念一维扩散方程：u_t=k*u_xx基本形式基本形式分离变量法、变换法等求解思路求解思路 扩散方程扩散方程扩散方程可以用来描述化学物质在水中、气中的扩散规律，也可以用来描述人群中病毒的传播。广义解和初边值问题广义解和初边值问题广义解是指不满足初值或边值条件的解概念概念给定某些边界条件和初始条件，
16、求解偏微分方程的解初边值问题初边值问题分别求出齐次方程和非齐次方程的解，并用叠加原理得到初边值问题的解求解思路求解思路 变换法变换法变换法变换法将原方程通过某种变量替换化将原方程通过某种变量替换化简为已知的形式简为已知的形式根据已知形式的解求出原方程根据已知形式的解求出原方程的解的解特征线法特征线法特征线法特征线法通过变量代换将偏微分方程化通过变量代换将偏微分方程化为常微分方程组为常微分方程组根据常微分方程组的通解求出根据常微分方程组的通解求出偏微分方程的解偏微分方程的解格林函数法格林函数法格林函数法格林函数法通过格林函数求出偏微分方程通过格林函数求出偏微分方程的通解的通解根据边界条件求出特定
17、的解根据边界条件求出特定的解常见偏微分方程的求解思路常见偏微分方程的求解思路分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法将多元函数表示为一元函数的将多元函数表示为一元函数的积的形式积的形式通过分类讨论求出常数和相应通过分类讨论求出常数和相应的一元函数的一元函数 0505第第5章章 数数值值解与解与应应用用 数值解基础数值解基础介绍数值解的基本概念和方法，包括误差分析和数值稳定性等内容数值解的基本数值解的基本概念和方法概念和方法简述常见的数值解算法，包括欧拉法和龙格库塔法等常见的数值解常见的数值解算法算法通过实例分析，深入理解数值解的应用和实现例题分析例题分析 数值差分方法数值差分方法介绍数值差分方
18、法的概念和基本原理，包括前向差分和后向差分等数值差分方法数值差分方法的概念和基本的概念和基本原理原理讲解数值差分方法的求解思路，包括如何选取差分步长和求解公式等数值差分方法数值差分方法的求解思路的求解思路通过实例分析，深入理解数值差分方法的应用和实现例题分析例题分析 举例说明微分方程在物理学中的应用，包括经典力学和电磁学等物理物理0103举例说明微分方程在生物学中的应用，包括生长模型和神经元模型等生物学生物学02举例说明微分方程在经济学中的应用，包括经济增长和金融工程等经济学经济学解析解解析解解析解解析解适用于简单问题适用于简单问题通常是精确解通常是精确解难以求解复杂问题难以求解复杂问题区别和
19、联系区别和联系区别和联系区别和联系数值解的精度受限，但计算速数值解的精度受限，但计算速度快度快解析解的精度高，但计算量大解析解的精度高，但计算量大两者可以相互验证两者可以相互验证 数值解和解析解的比较数值解和解析解的比较数值解数值解数值解数值解适用于复杂问题适用于复杂问题需要选择适当的算法和求解步需要选择适当的算法和求解步长长计算机实现，精度受限计算机实现，精度受限总结总结数值解是微分方程研究中的重要分支，可以通过计算机实现对复杂问题的求解。数值差分方法是数值解的基础，应用领域广泛。学生需要深入理解数值解的理论和方法，熟练掌握数值差分方法的求解思路，掌握将所学知识运用到实际问题中的能力。数值解
20、可以通过计算机实现对微分方程的求解求解微分方程求解微分方程0103数值解可以通过优化算法进行优化设计，包括控制系统设计和流体力学仿真等优化设计优化设计02数值解可以通过误差分析计算误差，提高计算精度计算误差计算误差数值解的发展历程数值解的发展历程欧拉和拉格朗日等学者提出微分方程数值解的思想和方法1919世纪末世纪末-20-20世纪初世纪初龙格库塔等学者提出用多级法求解微分方程的方法2020世纪世纪4040年代年代-50-50年代年代出现了Runge-Kutta-Merson等高精度算法2020世纪世纪6060年代年代-70-70年代年代随着计算机技术的发展，数值解和数值优化成为研究热点2020
21、世纪世纪8080年代年代-90-90年代年代 0606第第6章章 总结总结 本课程总结本课程总结在本课程中，我们学习了微分方程的基本概念和理论，掌握了解微分方程的方法和技巧。通过大量的实例演练，我们不仅提高了解微分方程的能力，还学会了如何应用微分方程去解决实际问题。本节课的重点在于总结本课程的收获，并指出学生需要继续深入探究微分方程的理论和应用方面。微分方程的未来微分方程的未来随着科技的飞速发展，微分方程的应用前景非常广阔。未来，微分方程将在许多方面有着广泛的应用，例如：信号处理、图像处理、控制理论、经济学、物理学等领域。同时，微分方程在教学和研究方面也有着重要的地位。因此，我们需要继续深入探
22、究微分方程的理论和应用，以应对未来的挑战。物理学、化学、生物学等领域自然科学自然科学0103经济学、管理学、社会学等领域社会科学社会科学02控制理论、电子电气、机械工程等领域工程技术工程技术微分方程的解法微分方程的解法一阶常微分方程、高阶常微分方程、变系数常微分方程等常微分方程常微分方程一阶偏微分方程、高阶偏微分方程、椭圆型偏微分方程等偏微分方程偏微分方程欧拉法、龙格库塔法、梯形法等数值解法数值解法分离变量法、常系数线性微分方程解法、变系数一阶线性微分方程解法等解析解法解析解法参考文献参考文献参考文献参考文献本课程中使用的主要参考文献包括：本课程中使用的主要参考文献包括：1.1.微积分与边值问
23、题微积分与边值问题by Dennis G.Zillby Dennis G.Zill2.2.常微分方程教程常微分方程教程by by 吴文俊、吴大同吴文俊、吴大同3.3.数学物理方程数学物理方程by George B.Arfkenby George B.Arfken、Hans J.Hans J.WeberWeber4.4.偏微分方程偏微分方程by Fritz Johnby Fritz John5.5.数值解微分方程数值解微分方程by Endre Sliby Endre Sli、David F.David F.MayersMayers以上参考文献可以为学生提供微分方程相关领域的深入研以上参考文献可以为学生提供微分方程相关领域的深入研究和学习资料。究和学习资料。工程技术工程技术工程技术工程技术热传导问题中的热平衡热传导问题中的热平衡控制理论中的控制理论中的PIDPID控制器控制器生命科学生命科学生命科学生命科学癌细胞增长模型癌细胞增长模型人口增长模型人口增长模型社会科学社会科学社会科学社会科学收入分配的最优化模型收入分配的最优化模型经济增长的数学模型经济增长的数学模型微分方程的应用举例微分方程的应用举例物理学物理学物理学物理学电路问题中的电路问题中的RCRC电路和电路和RLRL电路电路对于自由落体问题对于自由落体问题THANKSTHANKS 谢谢观看！