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1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算二、向量概念二、向量概念三、三、向量加减法向量加减法四、向量与数乘法四、向量与数乘法五、小结五、小结第1页横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴正方向符三个坐标轴正方向符合合右手系右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间点直角坐标、空间点直角坐标第2页面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限第3页空间点空间点有序数组有序数组特殊点表示特殊点表示:坐标轴上点坐标轴上点坐标面上点坐标面上点第4页2、空间两点间距离、空间两点间距离第5页空间两点间距
2、离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为第6页解解原结论成立原结论成立.第7页解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为第8页向量：向量：现有大小又有方向量现有大小又有方向量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1向量向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0向量向量.|向量模：向量模：向量大小向量大小.单位向量：单位向量：二、向量概念二、向量概念或或或或或或第9页自由向量：自由向量：不考虑起点位置向量不考虑起点位置向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同向量大小相等且方向相同向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反向量大小相等但方向相反向量.向径：向径：空间直角坐标
3、系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点组成向量组成向量.第10页1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）三、向量加减法三、向量加减法第11页向量加法符合以下运算规律：向量加法符合以下运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法第12页四、向量与数乘法四、向量与数乘法第13页数与向量乘积符合以下运算规律：数与向量乘积符合以下运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量平行关系两个向量
4、平行关系第14页证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得第15页按照向量与数乘积要求，按照向量与数乘积要求，上式表明：一个非零向量除以它模结果是一个上式表明：一个非零向量除以它模结果是一个与原向量同方向单位向量与原向量同方向单位向量.第16页例例1 1 化简化简解解第17页例例2 2 试用向量方法证实：对角线相互平分四试用向量方法证实：对角线相互平分四边形必是平行四边形边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.第18页 向量在向量在 轴上投影轴上投影 向量在向量在 轴上投影轴上投影 向量在向量在 轴上投影轴上投影第19页按基本单位向量按基本单
5、位向量坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上在三个坐标轴上分向量分向量：向量向量坐标坐标：向量向量坐标表示式坐标表示式：特殊地：特殊地：第20页向量加减法、向量与数乘法运算坐标表示式向量加减法、向量与数乘法运算坐标表示式第21页解解设设为直线上点，为直线上点，第22页由题意知：由题意知：第23页非零向量非零向量 方向角方向角：非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角.向量模与方向余弦坐标表示式向量模与方向余弦坐标表示式第24页由图分析可知由图分析可知向量方向余弦向量方向余弦方向余弦通惯用来表示向量方向方向余弦通惯用来表示向量方向.向量模长坐标表示式向量模长坐标
6、表示式第25页当当 时，时，向量方向余弦坐标表示式向量方向余弦坐标表示式第26页方向余弦特征方向余弦特征特殊地：单位向量方向余弦为特殊地：单位向量方向余弦为第27页解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或第28页解解第29页第30页解解第31页空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系（注意它与平面直角坐标系区分区分）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）六、小结六、小结第32页向量概念向量概念向量加减法向量加减法向量与数乘法向量与数乘法（注意与标量区分）（注意与标量区分）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后方向）（注意数乘后方向）向量坐标表示向量坐标表示第33页