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1、3.1 3.1 离散傅里叶变换定义离散傅里叶变换定义 3.2 3.2 离散傅里叶变换基本性质离散傅里叶变换基本性质3.3 3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT3.4 DFT应用举例应用举例第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)第1页第三章第三章 学习目标学习目标u了解了解Fourier变换几个形式；变换几个形式；u了解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、圆周了解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、圆周共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及二者之间共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及二者之间关系；关系；u了解频域采样理论；了解频域采样理论；u了解频谱分析过程。了解频
2、谱分析过程。第2页周期延拓周期延拓取主值取主值周期延拓周期延拓取主值取主值DFTIDFTDFSIDFSDFTDFT即即DFSDFS，只不过时、频域各取一个主值而已，只不过时、频域各取一个主值而已第3页DFT定义式定义式时、频域各取一个主值区间时、频域各取一个主值区间第4页例：例：x(n)=R4(n)，求，求x(n)8 8点和点和1616点点DFT DFT 解：设变换区间解：设变换区间N=8，则则第5页设变换区间设变换区间N=16，则则第6页三三.DFT和和Z变换关系变换关系设序列设序列x(n)长度为长度为N，其其Z变换和变换和DFT分别为：分别为：比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式第
3、7页 表明表明 是是Z Z平面单位圆上幅角为平面单位圆上幅角为 点点，也也即即将将Z Z平平面面单单位位圆圆N N等等分分后后第第k k点点，所所以以X X(k k)也就是对也就是对X X(z z)在在Z Z平面单位圆上平面单位圆上N N点等间隔采样值。点等间隔采样值。DFT DFT与序列傅里叶变换关系为与序列傅里叶变换关系为 第8页FT变换与Z变换关系，与S变换关系？S变换与Z变换关系？第9页已知已知x(n)是长度为是长度为N有限长度序列，有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，令令 ，试求，试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间关系。之间关系。例题：例题：第10页解：解：第11页3.
4、2 离散傅里叶变换基本性质离散傅里叶变换基本性质一一.线性性质线性性质x x1 1(n)(n)和和x x2 2(n)(n)是两个有限长序列，是两个有限长序列，长度分别为长度分别为N N1 1和和N N2 2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、b为常数，为常数，即即NmaxN1,N2，则则y(n)N点点DFT为：为：Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)N点点DFT。第12页二二.圆周移位（循环移位）圆周移位（循环移位）1.1.定义定义 一个长度为一个长度为N有限长序列有限长序列x(n)圆
5、周移位定义为圆周移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n)第13页2.2.时域圆周移位定理时域圆周移位定理设设x(n)是长度为是长度为N有限长序列，有限长序列，y(n)为为x(n)圆周移位，即圆周移位，即 则圆周移位后则圆周移位后DFTDFT为为 这这表表明明，有有限限长长序序列列圆圆周周移移位位在在离离散散频频域域中中引引入入一一个个和和频频率率成成正正比比线线性性相相移移 ，而而对对频频谱谱幅幅度度没没有影响有影响幅度谱平移不变性幅度谱平移不变性。第14页 3.3.频域圆周移位定理频域圆周移位定理调制特征调制特征 对对于于频频域域有有限限长长序序列列X(k)，也也可可看看成成是是分分布
6、布在在一一个个N N等等分分圆圆周周上上，所所以以对对于于X(k)圆圆周周移移位位，利利用用频频域域与与时时域域对对偶偶关关系系，能够证实以下性质：能够证实以下性质：这就是调制特征这就是调制特征时域序列调制等效于频域圆周移位。时域序列调制等效于频域圆周移位。第15页第16页第17页第18页1 1、圆周共轭对称与圆周共轭反对称、圆周共轭对称与圆周共轭反对称 设设有有限限长长序序列列x(n)长长度度为为N点点，则则它它圆圆周周共共轭轭对对称称分分量量xep(n)和圆周共轭反对称分量和圆周共轭反对称分量xop(n)分别被重新定义为分别被重新定义为:nN-1 nN-1 三三.圆周共轭对称性圆周共轭对称
7、性4213第19页第20页第21页x(n)=xep(n)+xop(n)0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n)=xep(n)-xop(n)0nN-1 第22页复序列对称性分析复序列对称性分析序列序列DFT第23页复序列对称性分析复序列对称性分析序列序列DFT第24页实序列对称性分析实序列对称性分析序列序列DFT为零为零为零为零第25页实序列频谱含有圆周共实序列频谱含有圆周共轭对称性轭对称性第26页实偶序列对称性分析实偶序列对称性分析序列序列为零为零为零为零第27页DFT：实偶序列频谱含有实偶对称性实偶序列频谱含有实偶对称性第28页x(n)X(K)实偶函数实偶函数实偶函
8、数实偶函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数第29页补充作业：补充作业：设实序列设实序列x(n)，N=14，其，其14点点DFT为为X(k)，已知前，已知前8点点值为：值为：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10试确定试确定1）X(k)在其它频率点值；在其它频率点值；2）不经过计算）不经过计算IDFTX(k)，确定以下值：，确定以下值：x(0)x(7)第30页四四.圆周卷积圆周卷积 1、时域圆周（循环）卷积定理时域圆周（
9、循环）卷积定理有有限限长长序序列列x1(n)和和x2(n)，长长度度分分别别为为N1和和N2，N=max N1,N2。x1(n)和和x2(n)N点点DFT分别为分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)若若Y(k)=X1(k)X2(k)y(n)=IDFTY(k)？第31页NN圆周卷积结果为有限长序列，是周期卷积主值序列圆周卷积结果为有限长序列，是周期卷积主值序列第32页将将x2(m)周期化，形成周期化，形成x2(m)N；再再 反反 转转 形形 成成 x2(-m)N，取取 主主 值值 序序 列列 则则 得得 到到 x2(-m)NRN(m)，通常称之为，通常称之为x2(m)圆
10、周反转圆周反转；对对x2(m)圆周反转序列圆周右移圆周反转序列圆周右移n，形成，形成x2(n-m)NRN(m)；当当n=0,1,2,N-1时时，分分别别将将x1(m)与与x2(n-m)NRN(m)相相乘乘，并并在在m=0 到到N-1 区区间间内内求求和和，便便得得到到圆圆周周卷卷积积y(n)。第33页2 2、频域圆周（循环）卷积定理、频域圆周（循环）卷积定理x1(n)，x2(n)皆为皆为N点有限长序列，点有限长序列，y(n)Ny(n)N点点DFTDFT为为 时域序列相乘，乘积时域序列相乘，乘积DFTDFT等于各个等于各个DFTDFT圆周卷积再乘以圆周卷积再乘以1/1/N N。N)()(1)()
11、()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl=-=-=-=-=第34页时间反转且线性移位时间反转且线性移位循环作时间反转且相对第循环作时间反转且相对第一个序列循环移位一个序列循环移位3 3、有限长序列线性卷积与圆周卷积关系、有限长序列线性卷积与圆周卷积关系第35页 （2）x1(n)与与x2(n)圆周卷积。圆周卷积。进进行行N点点圆圆周周卷卷积积，讨讨论论N取取何何值值时时，圆圆周周卷卷积积才才能能代代表线性卷积？表线性卷积？Nmax NmaxN N1 1,N,N2 2N第36页N圆周卷积正是周期卷积取主值序列圆周卷积
12、正是周期卷积取主值序列圆周卷积等于线性卷积以圆周卷积点数圆周卷积等于线性卷积以圆周卷积点数N N为周期周期延为周期周期延拓序列主值序列拓序列主值序列NN1+N2-1，圆周卷积等于线性卷积圆周卷积等于线性卷积；NN1+N2-1，线性卷积延拓发生混叠线性卷积延拓发生混叠，二者部分相等二者部分相等（N1+N2-1-NnN-1），），部分不等部分不等；第37页4 4、快速卷积、快速卷积用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积DFTDFTIDFTyc(n)x1(n)x2(n)用用DFTDFT计算圆周卷积计算圆周卷积X1(k)X2(k)第38页x1(n)*x2(n)用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积
13、补补N-N1个零个零补补N-N2个零个零N点点DFTN点点DFTN点点IDFTx1(n)x2(n)x1(n)0,1,2,N1-1,.,N-1x2(n)0,1,2,N2-1,.,N-1NN1+N2-1第39页当计算线性卷积两序列长度相差很大时候，当计算线性卷积两序列长度相差很大时候，用上述框图所表示方法直接计算线性卷积会用上述框图所表示方法直接计算线性卷积会产生什么问题？产生什么问题？短序列补很多零，长序列需全部输入后才能计算短序列补很多零，长序列需全部输入后才能计算存放容量大存放容量大运算时间长，处理延时很大，难于实时处理运算时间长，处理延时很大，难于实时处理怎么处理？怎么处理？块卷积块卷积思
14、索问题：思索问题：第40页例例 ：一个有限长序列为：一个有限长序列为（1 1）计算序列计算序列x(n)1010点离散傅里叶变换。点离散傅里叶变换。（2 2）若序列若序列y(n)DFT为为 式中，式中，X(k)是是x(n)1010点离散傅里叶变换，求序列点离散傅里叶变换，求序列y(n)。第41页 解解：（1）y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8)（2 2）X(k)乘乘以以一一个个WNkm形形式式复复指指数数相相当当于于是是x(n)圆圆周周移移位位m点点。本题中本题中m=-2,x(n)向左圆周移位了向左圆周移位了2 2点，点，就有就有 第42页（3 3）若）若1010点序
15、列点序列y(n)1010点离散傅里叶变换是点离散傅里叶变换是 式中式中,X(k)是序列是序列x(n)1010点点DFT，W(k)是序列是序列w(n)1010点点DFT 0n6 其它其它 求序列求序列y(n)。第43页五五.DFT.DFT形式下帕塞伐定理形式下帕塞伐定理 证：证：令令x(n)=y(n)第44页DFTDFT性质表性质表(序列长皆为序列长皆为点点)第45页一、频域采样一、频域采样一个任意绝对可和非周期序列一个任意绝对可和非周期序列x(n)，其，其Z变换为：变换为：对对X(z)在单位圆上进行在单位圆上进行N点等间隔采样：点等间隔采样：第46页第47页其值为其值为1 1x(n)=xN(n
16、)第48页第49页内插函数零极点内插函数零极点 零极点对消零极点对消恢复时，本采样点值仅由恢复时，本采样点值仅由自己决定，不受其它采样自己决定，不受其它采样点值影响。点值影响。第50页xa(t)Xa(j)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽样抽样t=nTs截短截短周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷积卷积抽样抽样0=/N周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDTFTDFSDFT一、一、用用DFT对连续信号作谱分析基本步骤对连续信号作谱分析基本步骤信号频谱分析：计算
17、信号傅立叶变换信号频谱分析：计算信号傅立叶变换第51页T0=NT=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs/N第52页第53页二、谱分析误差及参数选择二、谱分析误差及参数选择1、混叠失真、混叠失真抽样造成误差抽样造成误差时域抽样：时域抽样：fs2fh，fs限制谱分析范围限制谱分析范围频域抽样：频域抽样：F0=1/T0，F0为频谱分辨率为频谱分辨率第54页若想同时提升最高频率与频率分辨率，必须若想同时提升最高频率与频率分辨率，必须N第55页2、截短效应（降低频谱分辨率截短效应（降低频谱分辨率 混叠失真）混叠失真）第56页3、第57页u 能量泄漏与栅栏效应关系能量泄漏与栅栏效应关系 频频谱谱离离散散
18、取取样样造造成成了了栅栅栏栏效效应应，谱谱峰峰越越尖尖锐锐，产生误差可能性就越大。产生误差可能性就越大。比如，余弦信号频谱为线谱。当信号频率与比如，余弦信号频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应误差为无穷频谱离散取样点不等时，栅栏效应误差为无穷大。大。第58页 实际应用中，因为信号截断原因，产生了能量实际应用中，因为信号截断原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量一个近似值。也能得到该频率分量一个近似值。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害。假如没有信号截
19、断产生能量泄漏，频谱离散取样假如没有信号截断产生能量泄漏，频谱离散取样造成栅栏效应误差将是不能接收。造成栅栏效应误差将是不能接收。第59页 能能量量泄泄漏漏分分主主瓣瓣泄泄漏漏和和旁旁瓣瓣泄泄漏漏，主主瓣瓣泄泄漏漏能能够够减减小小因因栅栅栏栏效效应应带带来来谱谱峰峰幅幅值值预预计计误误差差，有其好一面，而旁瓣泄漏则是完全有害。有其好一面，而旁瓣泄漏则是完全有害。第60页第61页第62页为使频率分辨率提升一倍，为使频率分辨率提升一倍，F0=5 Hz，要求要求只有经过增加信号有效连续时间只有经过增加信号有效连续时间T0来增加采来增加采样点数样点数N才能得到才能得到高分辨率谱高分辨率谱；经过后补零使
20、经过后补零使N N增加得到增加得到高密度谱高密度谱。第63页第64页高分辨率谱和高密度谱差异比较高分辨率谱和高密度谱差异比较高密度谱是在原有序列后插零；高密度谱是在原有序列后插零；高分辨谱是增加采样点；高分辨谱是增加采样点；高密度谱呈许多谱线型高密度谱呈许多谱线型,而且当补充而且当补充0越多越多,谱线也越密集；谱线也越密集；高分辨率谱则在取样点到达一定程度后，高分辨率谱则在取样点到达一定程度后，谱线一定了，也没有那种密集度。谱线一定了，也没有那种密集度。第65页例：例：第66页第67页x(n)为周期序列，周期为周期序列，周期N=14所以抽样点数最少为所以抽样点数最少为14点点。或者因为频率分量分别为或者因为频率分量分别为500、600、700HZ；得得F0=100HZ最大条约数最大条约数N=fs/F0=1400/100=14所以最少统计点数所以最少统计点数N=14。第68页