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1、线性代数课件线性代数课件1-1-习题课习题课 制作人：时间：2024年X月CATALOGUE目目录录第第1 1章章 线性代数基础线性代数基础第第2 2章章 向量空间向量空间第第3 3章章 矩阵分解矩阵分解第第4 4章章 线性变换线性变换第第5 5章章 特殊矩阵及其应用特殊矩阵及其应用第第6 6章章 总结总结CATALOGUE 0101第第1章章 线线性代数基性代数基础础 课程简介课程简介 线性方程组线性方程组线性方程组表示形式线性方程组的线性方程组的定义定义初等矩阵初等变换与线初等变换与线性方程组的解性方程组的解高斯消元法线性方程组的线性方程组的典型例题典型例题 矩阵论基础矩阵论基础矩阵的类型
2、矩阵的定义矩阵的定义矩阵的性质矩阵的加减乘矩阵的加减乘除除行列式矩阵的性质与矩阵的性质与应用应用 矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的定义0103对角化特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的应用02特征方程特征值与特征向量求解的方法特征值与特征向量求解的方法线性代数的应用领域例如：物理学中的量子力学、工程学中的控制系统、例如：物理学中的量子力学、工程学中的控制系统、计算机科学中的图像处理等等。计算机科学中的图像处理等等。向量乘法向量乘法向量乘法向量乘法向量数量积的定义向量数量积的定义向量数量积的性质向量数量积的性质向量数量积的应用向量数量积的应用向量叉积向量叉积向量叉积向量叉
3、积向量叉积的定义向量叉积的定义向量叉积的性质向量叉积的性质向量叉积的应用向量叉积的应用向量混合积向量混合积向量混合积向量混合积向量混合积的定义向量混合积的定义向量混合积的性质向量混合积的性质向量混合积的应用向量混合积的应用向量的基本运算向量的基本运算向量加法向量加法向量加法向量加法向量加法的定义向量加法的定义向量加法的性质向量加法的性质向量加法的应用向量加法的应用矩阵的应用矩阵的应用矩阵的应用矩阵的应用在工程学和物理学中，经常会用到矩阵来描述各种现象和在工程学和物理学中，经常会用到矩阵来描述各种现象和运算。例如：用矩阵来描述光的传播或者电力传输中的电运算。例如：用矩阵来描述光的传播或者电力传输
4、中的电网。网。CATALOGUE 0202第第2章章 向量空向量空间间 线性组合的概念线性组合的概念线性组合的概念线性组合的概念线性组合是指将向量按照一定比例相加所得到的新向量。线性组合是指将向量按照一定比例相加所得到的新向量。向量的线性组合向量的线性组合指将向量按照一定比例相加所得到的新向量定义定义求解无解方程组、表示平面或空间、构造向量空间等应用应用线性组合的结果仍是向量空间中的向量性质性质 向量空间的基本性质向量空间的基本性质由一组向量组成的集合，满足一定的运算规律和运算封闭性定义定义任意向量可以表示为基向量的线性组合，基向量线性无关，基向量数量相同基本性质基本性质以实数域R上的所有n维
5、向量构成的集合为例例题例题 向量的线性无关性与维数向量的线性无关性与维数向量组中任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合线性无关性的线性无关性的概念概念向量组中线性无关向量的个数维数的定义维数的定义n个向量线性无关的充分必要条件是它们的维数是n线性无关性与线性无关性与维数的关系维数的关系 子空间与基子空间与基向量空间V的子集，满足子空间同样满足向量空间的运算封闭性和运算规律子空间的定义子空间的定义子空间中的一组线性无关向量，任意向量都可以表示为基向量的线性组合基的概念基的概念以实数域R上的所有n维向量的数量不变的子空间为例例题例题 CATALOGUE 0303第第3章章 矩矩阵阵分解分解 矩
6、阵的矩阵的矩阵的矩阵的LULULULU分解分解分解分解LULU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L L和一个上三角和一个上三角矩阵矩阵U U的过程。通过这种分解，可以简化矩阵的运算，例如的过程。通过这种分解，可以简化矩阵的运算，例如求逆矩阵、解线性方程组等。下面通过一个实例来说明求逆矩阵、解线性方程组等。下面通过一个实例来说明LULU分解的具体过程：分解的具体过程：假设有一个假设有一个3x33x3的矩阵的矩阵A A：|2 1 1|2 1 1|4 3 3|4 3 3|8 7 9|8 7 9|要求该矩阵的要求该矩阵的LULU分解。分解。LULU分解的实例分解的
7、实例选取主元素：Step1Step1第一次消元：Step2Step2第二次消元：Step3Step3得到L和U矩阵：Step4Step4LULU分解的应用分解的应用LU分解可以将线性方程组转化为两个方程组，从而简化求解过程。解线性方程组解线性方程组通过LU分解，可以方便地求出矩阵的逆矩阵。求逆矩阵求逆矩阵LU分解可以将矩阵转化为上三角矩阵，从而方便地求出矩阵的行列式。矩阵求行列式矩阵求行列式 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的QRQRQRQR分解分解分解分解QRQR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q Q和一个上三角矩和一个上三角矩阵阵R R的过程。通过这种分解，可以用
8、正交矩阵来描述矩阵的的过程。通过这种分解，可以用正交矩阵来描述矩阵的几何性质，例如旋转、镜像等。下面通过一个实例来说明几何性质，例如旋转、镜像等。下面通过一个实例来说明QRQR分解的具体过程：分解的具体过程：假设有一个假设有一个3x33x3的矩阵的矩阵A A：|1 2 3|1 2 3|4 5 6|4 5 6|7 8 9|7 8 9|要求该矩阵的要求该矩阵的QRQR分解。分解。QRQR分解的实例分解的实例选取主元素：Step1Step1第一次消元：Step2Step2第二次消元：Step3Step3得到Q和R矩阵：Step4Step4QRQR分解的应用分解的应用QR分解的一大应用是求解矩阵的特征
9、值和特征向量，这对于矩阵分析和线性代数共性很重要。基于基于QRQR分解的分解的特征值求解算特征值求解算法法Gram-Schmidt正交化算法是QR分解中的一项重要技术，可以将一组线性无关的向量转化为一组相互垂直的向量。Gram-SchmidtGram-Schmidt正交化方法正交化方法基于QR分解的最小二乘问题求解方法，能够在数值计算过程中有效减小计算误差。解最小二乘问解最小二乘问题题 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的SVDSVDSVDSVD分解分解分解分解SVDSVD分解是将一个矩阵分解成一个左奇异矩阵分解是将一个矩阵分解成一个左奇异矩阵U U、一个奇异、一个奇异值对角矩阵值对角矩阵和一个右奇异矩阵
10、和一个右奇异矩阵V V的过程。的过程。SVDSVD分解可以用分解可以用于数据降维、模式识别、信号处理等领域。下面通过一个于数据降维、模式识别、信号处理等领域。下面通过一个实例来说明实例来说明SVDSVD分解的具体过程：分解的具体过程：假设有一个假设有一个4x54x5的矩阵的矩阵A A：|1 2 3 4 5|1 2 3 4 5|2 3 4 5 6|2 3 4 5 6|3 4 5 6 7|3 4 5 6 7|4 5 6 7 8|4 5 6 7 8|要求该矩阵的要求该矩阵的SVDSVD分解。分解。SVDSVD分解的实例分解的实例求AA和AA的特征值和特征向量：Step1Step1得到矩阵U和V：St
11、ep2Step2求奇异值矩阵：Step3Step3得到SVD分解结果：Step4Step4SVDSVD分解的应用分解的应用基于SVD分解的图像压缩算法可以利用奇异值分解的性质减小图像数据的存储空间和传输带宽。图像压缩图像压缩SVD分解可以将用户评分矩阵分解为三个因素，从而可以预测用户对未来物品的评分，并为用户提供个性化的推荐。推荐系统推荐系统基于SVD分解的语音信号处理技术，可以在语音信号中提取出重要的声音特征，从而实现声音分离、分类和识别等功能。语音识别语音识别 推荐系统推荐系统推荐系统推荐系统基于协同过滤的推荐算法基于协同过滤的推荐算法基于隐语义模型的推荐算法基于隐语义模型的推荐算法基于矩
12、阵分解的推荐算法基于矩阵分解的推荐算法图像处理图像处理图像处理图像处理图像去噪图像去噪图像分割图像分割图像复原图像复原信号处理信号处理信号处理信号处理频率分析频率分析滤波器设计滤波器设计数字音频处理数字音频处理矩阵分解的综合应用矩阵分解的综合应用数据降维数据降维数据降维数据降维PCAPCA降维降维LLELLE降维降维TSNETSNE降维降维CATALOGUE 0404第第4章章 线线性性变换变换 线性变换的定义线性变换是一个将一个向量空间线性变换是一个将一个向量空间 V V 映射到另一个向量映射到另一个向量空间空间 W W 的线性映射。具有线性性质，即满足关于向量的线性映射。具有线性性质，即满
13、足关于向量加法和数乘运算的同构。线性变换的例题包括平移，加法和数乘运算的同构。线性变换的例题包括平移，旋转，缩放等。线性变换的基本性质包括零空间、核旋转，缩放等。线性变换的基本性质包括零空间、核空间、像空间等。空间、像空间等。线性变换的例题线性变换的例题向量加法平移平移正交变换旋转旋转数乘变换缩放缩放 矩阵对线性变换矩阵对线性变换矩阵对线性变换矩阵对线性变换的描述的描述的描述的描述矩阵可以对线性变换进行描述。变换矩阵是将一个向量空矩阵可以对线性变换进行描述。变换矩阵是将一个向量空间间 V V 中的向量映射到另一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间 W W 中的矩阵，使得中的矩阵，使得变换矩阵
14、与线性变换之间存在一一对应的关系。变换矩阵变换矩阵与线性变换之间存在一一对应的关系。变换矩阵的求解方法包括列向量法和行向量法。变换矩阵的应用包的求解方法包括列向量法和行向量法。变换矩阵的应用包括矩阵表示线性变换、求解线性变换的像空间和核空间等。括矩阵表示线性变换、求解线性变换的像空间和核空间等。变换矩阵的应用变换矩阵的应用转换为矩阵运算矩阵表示线性矩阵表示线性变换变换列空间求解线性变换求解线性变换的像空间的像空间零空间求解线性变换求解线性变换的核空间的核空间 线性变换的所有像向量构成的空间像空间的概念像空间的概念0103线性变换的所有零向量构成的空间核空间的概念核空间的概念02线性映射的值域是
15、像空间像空间与线性映射的关系像空间与线性映射的关系线性变换的综合应用线性变换的综合应用变换矩阵的应用计算机图形学计算机图形学中的应用中的应用傅里叶变换信号处理中的信号处理中的应用应用量子力学物理学中的应物理学中的应用用 计算机图形学中的应用计算机图形学中，线性变换可以描述几何变换和图形计算机图形学中，线性变换可以描述几何变换和图形变换，包括平移、旋转、缩放、投影等。通过变换矩变换，包括平移、旋转、缩放、投影等。通过变换矩阵对几何体进行变换，可以完成图形的绘制和处理。阵对几何体进行变换，可以完成图形的绘制和处理。相对论相对论相对论相对论洛伦兹变换洛伦兹变换时空坐标变换时空坐标变换能量能量-动量关
16、系动量关系热力学热力学热力学热力学熵的变换熵的变换流量的守恒流量的守恒温度的变化温度的变化力学力学力学力学牛顿运动定律牛顿运动定律运动的描述运动的描述力的平衡力的平衡线性变换在物理学中的应用线性变换在物理学中的应用量子力学量子力学量子力学量子力学量子态的演化量子态的演化量子态的自旋等效性量子态的自旋等效性量子哈密顿算子量子哈密顿算子CATALOGUE 0505第第5章章 特殊矩特殊矩阵阵及其及其应应用用 对称矩阵对称矩阵对称矩阵A的转置矩阵A等于本身对称矩阵的定对称矩阵的定义义特征值为实数，且对应的特征向量可以正交对称矩阵的特对称矩阵的特征值和特征向征值和特征向量量在结构力学和图像处理中有广泛
17、应用对称矩阵的应对称矩阵的应用用 正交矩阵正交矩阵矩阵的行向量或列向量互相正交且模长为1正交矩阵的定正交矩阵的定义义行列式为1或-1，逆矩阵等于转置矩阵正交矩阵的性正交矩阵的性质质在旋转变换和图像压缩中有广泛应用正交矩阵的应正交矩阵的应用用 带状矩阵带状矩阵仅有中心几条对角线上有非零元素带状矩阵的定带状矩阵的定义义可分解为三个矩阵的乘积，用于提高计算效率带状矩阵的分带状矩阵的分解解在有限元法和线性方程组求解中有广泛应用带状矩阵的应带状矩阵的应用用 特殊矩阵的综合应用特殊矩阵的综合应用用于计算结构的刚度矩阵和讨论结构的稳定性特殊矩阵在结特殊矩阵在结构力学中的应构力学中的应用用用于对图像进行变换和
18、压缩特殊矩阵在图特殊矩阵在图像处理中的应像处理中的应用用用于求解线性规划和最小二乘问题特殊矩阵在优特殊矩阵在优化问题中的应化问题中的应用用 对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵A A指的是其转置矩阵指的是其转置矩阵AA等于本身。对称矩阵的特征等于本身。对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以正交，具有很多重要的性值为实数，对应的特征向量可以正交，具有很多重要的性质和应用。质和应用。矩阵的行向量或列向量互相正交且模长为1正交矩阵的定义正交矩阵的定义0103在旋转变换和图像压缩中有广泛应用正交矩阵的应用正交矩阵的应用02行列式为1或-1，逆矩阵等于转置矩阵正交矩阵的性质正交矩阵的性质
19、带状矩阵分解带状矩阵分解带状矩阵分解带状矩阵分解带状矩阵可分解为三个矩阵的带状矩阵可分解为三个矩阵的乘积乘积其分解形式为其分解形式为ALUDALUD，其中，其中L L是下是下三角矩阵，三角矩阵，U U是上三角矩阵，是上三角矩阵，D D是对角线矩阵是对角线矩阵带状矩阵应用带状矩阵应用带状矩阵应用带状矩阵应用在有限元法和线性方程组求解在有限元法和线性方程组求解中有广泛应用中有广泛应用通过带状矩阵的分解可以提高通过带状矩阵的分解可以提高计算效率计算效率 带状矩阵带状矩阵带状矩阵定义带状矩阵定义带状矩阵定义带状矩阵定义带状矩阵是指仅有中心几条对带状矩阵是指仅有中心几条对角线上有非零元素的方阵角线上有非
20、零元素的方阵其它位置上元素均为其它位置上元素均为0 0特殊矩阵的综合应用特殊矩阵在结构力学、图像处理和优化问题中有广泛特殊矩阵在结构力学、图像处理和优化问题中有广泛应用。在结构力学中，用于计算结构的刚度矩阵和分应用。在结构力学中，用于计算结构的刚度矩阵和分析结构的稳定性；在图像处理中，用于对图像进行变析结构的稳定性；在图像处理中，用于对图像进行变换和压缩；在优化问题中，用于求解线性规划和最小换和压缩；在优化问题中，用于求解线性规划和最小二乘问题。二乘问题。CATALOGUE 0606第第6章章 总结总结 知识回顾知识回顾向量、矩阵、行列式、线性方程组线性代数的基线性代数的基本概念本概念线性空间
21、、线性变换、特征值与特征向量、内积空间线性代数的基线性代数的基本理论本理论信号处理、图像处理、机器学习、量子计算线性代数的应线性代数的应用领域用领域 知识拓展知识拓展欧拉、高斯、矩阵理论、向量空间线性代数的发线性代数的发展历程展历程压缩感知、稀疏表示、随机矩阵理论、张量计算线性代数的前线性代数的前沿研究领域沿研究领域量子算法、深度学习、大数据处理、人工智能线性代数的未线性代数的未来发展趋势来发展趋势 线性代数的应用线性代数的应用线性代数的应用线性代数的应用领域领域领域领域线性代数广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习和量线性代数广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习和量子计算等领域。在信号处理
22、中，线性代数帮助我们分析信子计算等领域。在信号处理中，线性代数帮助我们分析信号的频率、振幅和相位等特征。在图像处理中，线性代数号的频率、振幅和相位等特征。在图像处理中，线性代数可以实现图像去噪、图像增强和图像分割等任务。在机器可以实现图像去噪、图像增强和图像分割等任务。在机器学习中，线性代数是基础，可以用来建立模型、优化算法学习中，线性代数是基础，可以用来建立模型、优化算法和评估模型的性能。在量子计算中，线性代数则是必要工和评估模型的性能。在量子计算中，线性代数则是必要工具，可以处理大规模复杂问题，并加速计算过程。具，可以处理大规模复杂问题，并加速计算过程。线性变换线性变换线性变换线性变换线性
23、变换的定义和性质线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示线性变换的基变换线性变换的基变换矩阵的相似与对角化矩阵的相似与对角化特征值和特征向量特征值和特征向量内积空间内积空间内积空间内积空间内积的定义和性质内积的定义和性质正交基和施密特正交化正交基和施密特正交化最小二乘法和投影最小二乘法和投影二次型和矩阵的正定性二次型和矩阵的正定性傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换其它其它其它其它广义逆和伪逆广义逆和伪逆矩阵分解和应用矩阵分解和应用应用于微积分、偏微分方程和应用于微积分、偏微分方程和控制论控制论线性代数的基本理论线性代数的基本理论线性空间线性空间线性空间线性空间向量空间
24、向量空间子空间子空间线性相关与线性无关线性相关与线性无关基和维数基和维数坐标表示和坐标变换坐标表示和坐标变换量子状态和量子门，量子计算优于经典计算，应用于密码学、化学、天气预报等领域。量子算法量子算法0103海量数据的存储、索引、压缩、查询和分析，应用于商业智能、社交网络、日志分析等领域。大数据处理大数据处理02神经网络、卷积神经网络、循环神经网络，能够处理大规模复杂的数据分析和决策问题。深度学习深度学习线性代数未来的发展前景线性代数是数学的一支重要分支，在工程、科学、技线性代数是数学的一支重要分支，在工程、科学、技术等领域都有广泛的应用。随着人工智能、大数据、术等领域都有广泛的应用。随着人工智能、大数据、量子计算等技术的不断发展，线性代数的未来还有很量子计算等技术的不断发展，线性代数的未来还有很大的发展空间。未来的研究方向包括：大的发展空间。未来的研究方向包括：1 1）基于量子算）基于量子算法的高效计算方法；法的高效计算方法；2 2）基于深度学习的图像、语音、）基于深度学习的图像、语音、自然语言等非结构化数据处理方法；自然语言等非结构化数据处理方法；3 3）基于大数据的）基于大数据的分布式存储和计算方法；分布式存储和计算方法；4 4）基于人工智能的智能机器）基于人工智能的智能机器人、无人驾驶和智能城市等应用。人、无人驾驶和智能城市等应用。THANKS 感谢观看