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1、选修选修2-1第三章第三章空间向量与立体几何空间向量与立体几何 本章小结本章小结（1）复习目标：复习目标：1、回顾本章知识，了解本章知识结构，各知识点之间联系、回顾本章知识，了解本章知识结构，各知识点之间联系2、能利用向量方法解决必修、能利用向量方法解决必修2中常见题型，比较两种方法的优劣中常见题型，比较两种方法的优劣3、归纳总结本章常见题型的解题方法和策略、归纳总结本章常见题型的解题方法和策略知识网络建构知识网络建构热点专题剖析热点专题剖析一、空间向量的线性运算一、空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量
2、解决立体几何问题的基表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求复，直到所有向量都符合目标要求【评析】用已知向量表示未知向量，一定要结【评析】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键合图形，以图形为指导是解题的关键二、空间向量与线面位置关系二、空间向量与线面位置关系证明平
3、行问题，除了应用传统的线面平行的判定证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明明 证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法的方法【例例2】如如图图2，在在矩矩形形ABCD中中AB2BC，P、Q分别为线段分别为线段AB、CD的中点，的中点，EP 平面平面ABCD.(1)求证：求证：AQ 平面平面CEP；(2)求证：平面求证：平面AEQ 平面平面DEP.【分析】证明
4、线面平行问题，可以利用与平面【分析】证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证面面垂直可以利用向量垂直，也可用传统方法求证面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证同时，面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证同时，也可用两平面的法向量垂直求证也可用两平面的法向量垂直求证【证证法法一一】(1)EP矩矩形形ABCD所所在在的的平平面面，且且P、Q均均为为AB，DC的的中中点点，PQAB，故故以以P为为坐坐标标原原点点，以以PA，PQ，PE分分别别为为x轴轴，y轴轴，z轴轴建
5、建系系如如右右图图3.令令AB2，PEa，则，则A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，C(1,1,0)即即AQPD，AQPE，AQ面面EPD，AQ 面面AEQ，面面AEQ面面DEP.【证法二】传统法【证法二】传统法(1)在矩形在矩形ABCD中，中，APPB，DQQC，AP綊綊QC，四边形四边形AQCP为平行四边形，为平行四边形，CPAQ.CP 平面平面CEP，AQ 平面平面CEP，AQ平面平面CEP.(2)EP平面平面ABCD，AQ 平面平面ABCD，AQEP.AB2BC，P为为AB中点，中点，APAD.连结连结PQ，则，则ADQP为正方形，为正方形，AQDP.EPDPP，AQ
6、平面平面DEP.AQ 面面AEQ，面面AEQ面面DEP.三、空间向量与空间角三、空间向量与空间角1纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有不论在选择，还是填空中均有考查，而解答年都有不论在选择，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长点点 2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越性法求解更能体现解题的优越性【例【例
7、3】如图】如图4所示，在长方体所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB5，AD8，AA14，M为为B1C1上一点且上一点且B1M2，点，点N在线段在线段A1D上，上，A1D AN.【解】【解】(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系(如图如图5)【例例4】如如图图6，在在直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，平面平面A1BC 侧面侧面A1ABB1.(1)求证：求证：AB BC；(2)若若直直线线AC与与平平面面A1BC所所成成的的角角为为，二二面面角角A1BCA的大小为的大小为，试判断，试判断与与的的大小关系，并予以证明大小关系，并予以证明【解解】(1)证证明明：如如图图6，过过
8、点点A在在平平面面A1ABB1内内作作ADA1B于于D，则则由由平平面面A1BC侧侧面面A1ABB1，且且平平面面A1BC侧侧面面A1ABB1A1B，得得AD平平面面A1BC.又又BC 平面平面A1BC，ADBC.三三棱棱柱柱ABCA1B1C1是是直直三三棱棱柱柱，则则AA1底底面面ABC，AA1BC.又又AA1ADA，从从而而BC侧侧面面A1ABB1.又又AB 侧侧面面A1ABB1，故，故ABBC.(2)解：由解：由(1)知，以点知，以点B为坐标原点，以为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为所在的直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立如图轴，建立如图7所示所示的空间直角坐标系，的
9、空间直角坐标系，【评析】要建立空间直角坐标系，先要有三条【评析】要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于一点的直线互相垂直且交于一点的直线四、空间向量与空间距离四、空间向量与空间距离空间距离在高考中考查较多的是两点距和点面距空间距离在高考中考查较多的是两点距和点面距两点距主要利用向量的模即两点间的距离公式求解两点距主要利用向量的模即两点间的距离公式求解点面距利用平面的法向量代入公式求解有了向量，点面距利用平面的法向量代入公式求解有了向量，距离的求法也都公式化了距离的求法也都公式化了【例【例5】在长方体】在长方体OABCO1A1B1C1中，中，|OA|2，|AB|3，|AA1|2，E是是B
10、C的中点的中点(1)求直线求直线AO1与与B1E所成角的余弦值所成角的余弦值(2)作作O1DAC于于D，求点，求点O1到点到点D的距离的距离【解解】(1)以以O为为原原点点，分分别别以以、为为x轴轴、y轴轴、z轴的正方向，如图轴的正方向，如图8建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系|OA|2，|AB|3.|AA1|2，E是是BC的中点的中点A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，五、利用空间解决探索存在性问题五、利用空间解决探索存在性问题存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某个结存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某个结论这论这类题型常以适合某种条件的结论
11、类题型常以适合某种条件的结论“存在存在”、“不存在不存在”、“是否存在是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性【例例6】如如图图9所所示示，直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，底底面面是是以以 ABC为为直直角角的的等等腰腰直直角角三三角角形形，AC2a，BB13a，D是是A1C1的的中中点点，在在线线段段AA1上上是是否否存存在在点点F，使使CF 平平面面B1DF，若若存存在在，求求出出AF，若若不不存存在在，说明理由说明理由【分分析析】假假设设存存在在点点F，由由线线面面垂垂直直转转化化为为线线线线垂直，探求点垂直，探求点F的位置的位置【解解】(1)以以B为为坐坐标标原原点点，建建立立如如图图10所所示示的的空空间直角坐标系间直角坐标系Bxyz.假设存在假设存在F点，使点，使CF平面平面B1DF.不妨设不妨设AFb.