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1、数学必修数学必修2 2 空间中两直线的位置关系赵赵 金金 才才复习引入复习引入1、平面的表示方法、平面的表示方法2、平面的画法、平面的画法3、点线面之间的位置关系及图形文、点线面之间的位置关系及图形文 字符号语言的转化字符号语言的转化4、平面性质中的三个公理及其、平面性质中的三个公理及其 符号语言符号语言问题问题1：在平面几何中，两直线的位置在平面几何中，两直线的位置关系如何？关系如何？讲授新课讲授新课abcd问题问题2：没有公共点的直线一定平行吗？没有公共点的直线一定平行吗？问题问题3：没有公共点的两直线一定在同没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？一平面内吗？生生活活数数学学地铁线条与柱子
2、线条地铁线条与柱子线条水流线条与桥面线条水流线条与桥面线条在正方体的面在正方体的面ABCD中，中，AB与与AD相交，相交，AB与与CD平行平行.AB和和CC的位置关系是平行还是的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？相交还是两者都不是？两者都不是两者都不是定义：定义：不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线 叫做叫做异面直线异面直线.空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：共面直线共面直线异面直线异面直线相交直线相交直线平行直线平行直线不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，有且只有一个公共点同一
3、平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；异面直线的画法：异面直线的画法：为了体现不共面的特点采用平面衬托法为了体现不共面的特点采用平面衬托法 两条异面直线指：两条异面直线指：A.空间中不相交的两条直线；空间中不相交的两条直线；B.某平面内的一条直线和这平面外的直线；某平面内的一条直线和这平面外的直线；C.分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线；D.不在同一平面内的两条直线；不在同一平面内的两条直线；E.不同在任一平面内的两条直线；不同在任一平面内的两条直线；F.分别在两个不同平面内的两条直线；分别在两个不同平面内的两条直线；H.空间没有公共点的两条直线；空间没有公共点的两条
4、直线；I.既不相交，又不平行的两条直线既不相交，又不平行的两条直线.(E,I )练习练习1A1B1C1D1CBDA练习练习2 如图所示：正方体的棱所在的直线如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线中，与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？练习练习3 下图是一个正方体的展开图，如果下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几这四条线段所在直线是异面直线的有几对？对？HGFEDCBA三对三对AB与与CDAB与与GHEF与与GHa与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线a
5、bM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，它们可能异面，可能相交，也可能平行。也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab深化认识深化认识异面直线的判定定理异面直线的判定定理连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线面内不经过此点的直线是异面直线知识延伸知识延伸证明：证明：点点点点直线直线直线直线异面异面如何判断两条直线是异面直线？如何判断两条直线是异面直线？2.2.空间两平行直线空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第提出问题：在同一平面内，
6、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？间中，是否有类似的规律？平行吗平行吗?中中,观察观察：如图长方体如图长方体与与那么那么DD AABB AA公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间，在平面、空间这个性质都适用。这个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条直线平行的依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为
7、a,b,c,若若想一想想一想:空间中空间中,如果两条直线都与第三条直如果两条直线都与第三条直线垂直线垂直,是否也有类似的规律是否也有类似的规律?练习练习4：如图，点如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线在棱的中点，则直线PQ与与RS是异面直线的一个是是异面直线的一个是 .例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析：欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只需证只需证EHF
8、G且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需证：需证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD变式一：变式一：在例在例2中，如果再加上条件中，如果再加上条
9、件AC=BD，那，那么四边形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2的基础上的基础上我们只需要证明平行四我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。边形的两条邻边相等。菱形菱形3.3.等角定理等角定理提出问题提出问题:在平面上在平面上,我们容易证明我们容易证明“如果一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补”。在空间中。在空间中,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这
10、两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？关系如何？3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐那么这两条直线所成的锐角角(或直角或直角)相等相等.夹角夹角在在平面内两直线相交成四个角，平面内
11、两直线相交成四个角，不大于不大于90的角成为夹角的角成为夹角。ab夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过程度，异面直线通过异面直线所称的角异面直线所称的角来刻画。来刻画。OO异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线a/a,b/b，我们把我们把a与与b所成的锐角（或直所成的锐角（或直角）叫做角）叫做异面直线异面直线a与与b所成的角（或夹角）所成的角（或夹角）。为简便，为简便，O点常取点常取在某一直线上在某一直线上想一想想一想:a:a与与bb所成角的大小所成角的大小与点与
12、点O O的位置有关吗的位置有关吗?如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直两条直线相互垂直记作：记作：思想方法思想方法：异面直线异面直线相交直线相交直线平移平移异面直线所成的角异面直线所成的角空间图形空间图形问题问题平面图形平面图形问题问题 （1）在长方体）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两条中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？棱所在的直线是相互垂直的异面直线？有，如有，如AB和和CC，AB和和DD。垂直垂直 （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与
13、这条直线垂直？垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线的垂直相交直线的垂直异面直线的垂直异面直线的垂直（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如图，若如图，若c，则，则c垂直于垂直于内所有直线，内所有直线，而而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。是相交。不一定不一定例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线B
14、ABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判）由异面直线的判定方法可知，与直线定方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）
15、由 可知，可知，等于异面直线等于异面直线与与 的夹角的夹角,所以异面直线所以异面直线 与与 的夹角为的夹角为45450 0。(3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.练习反馈：练习反馈：1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条有两条.（）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两
16、边平）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（行，那么这两个角相等（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）专题专题 异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法:典例剖析典例剖析例例1 1：如图正方体：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角的所成角的大小大小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角的所成角的大小大小 D1D1CB1A
17、1ADD1BC1分析分析 1、做异面直线的平行线、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求、把角放到平面图形中求解解 解解:CC CC1 1/BB/BB1 1 ABAB1 1和和BBBB1 1所成的锐角是异面直线所成的锐角是异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成的所成的角角 在在ABBABB1 1中，中，ABAB1 1和和BBBB1 1所成的角是所成的角是45450 0 异面直线异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成的角是所成的角是45450 0。异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法:典例剖析典例剖析例例1 1：如图正方体
18、：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角的所成角的大小大小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角的所成角的大小大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析分析 1、做异面直线的平行线、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求、把角放到平面图形中求解解 在四边形在四边形A A1 1B B1 1CDCD中，中，A A1 1B B1 1 CD CD A A1 1D/BD/B1 1C C ABAB1 1和和B B1 1C C所成的锐角是异面直线所成的锐角是异面直线ABAB1 1和和
19、A A1 1D D所成的角所成的角 在在ABAB1 1C C中，中，ABAB1 1和和CCCC1 1所成的角是所成的角是60600 0 异面直线异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成的角是所成的角是60600 0。DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,P为为BB1的中点的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线如图画出下面各题中指定的异面直线P异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线表示异面直线所成的角是它的补角所成的角是它的补角.D
20、B1A1D1C1ACB以第三幅图为例，设正方体的棱长为以第三幅图为例，设正方体的棱长为1，求异面直线的夹角求异面直线的夹角FE1EF1如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。练习练习 如图在正方体中，如图在正方体中，E E，F F分别为分别为 的中点，求的中点，求AEAE，BFBF所成角的余弦值。所成角的余弦值。EF例例4.4
21、.如图如图,三棱锥三棱锥A ABCDBCD中中，AB=CDAB=CD且且ABAB与与CDCD所所成角为成角为3030，E E、F F分别为分别为BCBC、ADAD的中点，求的中点，求EFEF与与ABAB所成角的大小。所成角的大小。B DCAEFM求异面直线所成角的步骤：求异面直线所成角的步骤：作：作：证：证：求：求：例例5 5、如图所示，在正三棱柱、如图所示，在正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，D D是是ACAC的中点，的中点，AAAA1 1 ABAB，求异面直线，求异面直线ABAB1 1与与BDBD所所成角的余弦值成角的余弦值MAFEDCB 如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分分别是棱别是棱ADAD，BCBC上的点上的点,且且已知已知AB=CD=3AB=CD=3，,求异面直线求异面直线ABAB和和CDCD所成的角所成的角.M