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1、定定积分的概念分的概念课件件2 2北北师大大选修修(5)(5)单击此处添加副标题汇报人：目录01定积分的定义02定积分的计算方法03定积分的性质和定理04定积分的应用05定积分的扩展知识01定定积分的定分的定义积分和定积分的概念添加添加标题添加添加标题添加添加标题添加添加标题定积分：将函数在某一区间上的值进行求和，得到该区间上的积分值，并取极限积分：将函数在某一区间上的值进行求和，得到该区间上的积分值定积分的定义：设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上的定积分为(a到b)f(x)dx定积分的应用：计算面积、体积、弧长等定积分的几何意义定积分是函数在某一区间上的积分和定积分的几何意义可以
2、用于计算不规则图形的面积定积分的几何意义可以用于计算旋转体的体积定积分的几何意义是表示函数在某一区间上的面积定积分的性质线性性：定积分具有线性性质，即两个函数积分的和等于它们的积分和单调性：定积分具有单调性，即如果函数在区间上单调递增，则积分值也递增连续性：定积分具有连续性，即如果函数在区间上连续，则积分值也连续可加性：定积分具有可加性，即如果函数在区间上可加，则积分值也可加02定定积分的分的计算方法算方法微积分基本定理微积分基本定理是微积分学的基本定理之一，它描述了微积分的基本思想。微积分基本定理包括两个部分：积分和微分。积分是求函数在某一区间上的面积，微分是求函数在某一点的切线斜率。微积分
3、基本定理将积分和微分联系起来，使得我们可以用积分的方法来计算微分。牛顿-莱布尼兹公式牛 顿-莱 布 尼 兹公式是定积分计算的基本公式公 式 形 式：f(x)dx=F(x)+C，其 中 F(x)是f(x)的原函数，C是常数牛 顿-莱 布 尼 兹公式的证明：通过极限和导数的关系进行证明牛 顿-莱 布 尼 兹公式的应用：用于求解定积分，以及解决实际问题中的积分问题定积分的换元法换元法的基本思想：通过引入新的变量，将复杂的积分转化为简单的积分换元法的步骤：选择适当的换元函数，进行换元，然后进行积分换元法的应用：适用于解决一些复杂的积分问题，如三角函数积分、有理函数积分等换元法的注意事项：选择合适的换元
4、函数，注意换元后的积分范围和积分限的变化定积分的分部积分法添加添加标题添加添加标题添加添加标题添加添加标题适用条件：被积函数为两个函数的乘积，且其中一个函数易于积分基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于计算计算步骤：选择适当的u和v，将原函数转化为u和v的乘积，然后分别对u和v进行积分注意事项：选择适当的u和v，避免出现积分困难或积分结果复杂的情况03定定积分的性分的性质和定理和定理定积分的性质线性性质：定积分的线性性质是指定积分的线性运算性质，即定积分的线性组合等于线性组合的定积分。添加添加标题单调性：定积分的性质之一是单调性，即如果函数f(x)在区间a,b上单调递增，那么定积分f(x)d
5、x在区间a,b上的值也单调递增。添加添加标题可加性：定积分的可加性是指定积分的加法运算性质，即定积分的加法等于加法的定积分。添加添加标题连续性：定积分的连续性是指定积分的连续运算性质，即定积分的连续组合等于连续组合的定积分。添加添加标题定积分的定理添加添加标题积分换元定理：如果f(x)在a,b上连续，则(ab)f(x)dx=(ab)f(g(t)g(t)dt添加添加标题积分中值定理：如果f(x)在a,b上连续，则存在(a,b)，使得(ab)f(x)dx=f()(b-a)添加添加标题积分极限定理：如果f(x)在a,b上连续，则lim(n)(ab)f(x)dx=f(b)-f(a)添加添加标题积分分部
6、积分定理：如果f(x)和g(x)在a,b上连续，则(ab)f(x)g(x)dx=f(x)g(x)|(ab)-(ab)g(x)f(x)dx定积分的极限定理定理应用：在计算定积分时，可以利用极限定理进行简化极限定理：定积分的极限存在，且等于被积函数的极限定理证明：通过极限的定义和积分的定义进行证明定理推广：极限定理可以推广到多元函数积分和曲线积分中04定定积分的分的应用用平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积定积分的定义：对于函数f(x)在区间a,b上的定积分，表示为(a到b)f(x)dx定积分的计算方法：使用积分公式或积分表进行计算定积分的应用实例：计算三角形、矩形、圆等平面图形的面积曲
7、线的长度定积分可以用来计算曲线的长度计算方法：将曲线分割成若干个小段，然后计算每个小段的长度，最后求和应用实例：计算抛物线y=x2在区间0,1上的长度定积分的定义：对函数f(x)在区间a,b上的积分函数的平均值定积分的定义：积分上限和下限之间的函数值之差定积分的应用：计算函数的平均值计算方法：将函数在区间a,b上的定积分除以区间长度应用实例：计算抛物线y=x2在区间0,1上的平均值物理应用计算物体的质量计算物体的转动惯量计算物体的体积计算物体的重心05定定积分的分的扩展知展知识变限积分变限积分的定义：积分上限和下限都是变量的积分变限积分的性质：积分上限和下限可以互换，积分值不变变限积分的应用：
8、解决实际问题，如物理、工程等领域变限积分的求解方法：积分换元法、积分部分分式法等广义积分广义积分的定义：对函数f(x)在区间a,b上的积分，其中a和b可以是无穷大广义积分的分类：无穷积分和瑕积分无穷积分：当a或b为无穷大时的积分瑕积分：当f(x)在a,b上有瑕点时，需要进行瑕积分计算广义积分的应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如计算曲线长度、曲面面积等无穷区间上的积分无穷区间上的积分应用：无穷区间上的积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，如计算物体的质量、能量、速度等物理量，计算工程的成本、利润等经济指标。无穷区间上的积分与有限区间上的积分的区别：无穷区间上的积分是对函数在无穷区间上的极限值的计算，而有限区间上的积分是对函数在有限区间上的积分值的计算。无穷区间上的积分定义：对于函数f(x)，如果存在一个常数C，使得对任意的0，都存在一个0，使得当|x-a|时，|f(x)-C|，则称C为函数f(x)在无穷区间上的积分。无穷区间上的积分性质：无穷区间上的积分是函数在无穷区间上的极限值，具有连续性、可导性、可积性等性质。感谢观看Thank you汇报人：