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1、第二章第二章电阻电路的分析电阻电路的分析12.1 2.1 简单电阻电路的分析简单电阻电路的分析 2.2 2.2 等效电阻等效电阻2.3 2.3 实际电源模型的等效变换实际电源模型的等效变换2.4 2.4 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析 2 主要内容主要内容 电路等效变换的概念；电路等效变换的概念；电阻的串、并联；电阻的串、并联；电源的串、并联及其等效变换；电源的串、并联及其等效变换；线性电阻电路方程的建立方法；线性电阻电路方程的建立方法；电路图论的初步概念；电路图论的初步概念；支路电流法、网孔法、回路法和节点法。支路电流法、网孔法、回路法和节点法。32.12.1简单电阻电路的分析简单电阻
2、电路的分析 本节为简单电阻电路的分析计算，着重介绍等效变换的概念。本节为简单电阻电路的分析计算，着重介绍等效变换的概念。1.线性电路：线性电路：由时不变线性无源元件、线性受控源和独立由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电路。电源组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电路。2.线性电阻性电路：线性电阻性电路：如果构成电路的无源元件均为线性电如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为线性电阻性电路（或简称电阻电路）。阻，则称为线性电阻性电路（或简称电阻电路）。3.直流电路：直流电路：当电路中的独立电源都是直流电源时，这类当电路中的独立电源都是直流电源
3、时，这类电路简称为直流电路。电路简称为直流电路。42.1.1 电路的等效变换电路的等效变换1.对电路进行分析和计算时，可以把电路中某一部分对电路进行分析和计算时，可以把电路中某一部分简化，用一个较为简单电路替代原电路。简化，用一个较为简单电路替代原电路。例如，下图例如，下图(a)中虚线框内有几个电阻构成的电路，就中虚线框内有几个电阻构成的电路，就可以用一个电阻可以用一个电阻Req替代，如图替代，如图(b)所示，使整个电路得所示，使整个电路得以简化。以简化。(a)(b)52.用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，是变的
4、部分仅限于等效电路以外，是“对外等效对外等效”。替换条件：替换条件：端子端子ab 以右的部分具有相同的伏安特性。以右的部分具有相同的伏安特性。等效电阻等效电阻Req：取决于被替代的原电路中各电阻的值以取决于被替代的原电路中各电阻的值以及它们的联结方式。及它们的联结方式。(a)(b)62.1.2 2.1.2 电阻的串联及分压电阻的串联及分压电阻的串联（电阻顺次首尾相连）电阻的串联（电阻顺次首尾相连）1.特点：特点：I 相同相同(KCL)(KVL)(VCR)由由KVL可得：可得：等效电阻等效电阻7等效电阻消耗的功率等于串联电阻消耗的功率等效电阻消耗的功率等于串联电阻消耗的功率串联电阻可以用等效电阻
5、来代替，图串联电阻可以用等效电阻来代替，图(a)的等效电路如图的等效电路如图(b)所所示。示。2.分压公式：（串联的目的）分压公式：（串联的目的）图图(a)(a)图图(b)(b)81.特点：特点：U 相同相同(KVL)(KCL)(VCR)2.1.3 2.1.3 电阻的并联及分流电阻的并联及分流由由KCL可得：可得：等效电导等效电导或或电阻的并联（电阻一端联在一起，另一端也联在一起）电阻的并联（电阻一端联在一起，另一端也联在一起）92.分流公式：（并联的目的）分流公式：（并联的目的）并联电阻可以用等效电阻来代替，图并联电阻可以用等效电阻来代替，图(a)的等效电路如图的等效电路如图(b)所示。所示
6、。图图(a)图图(b)103.常见的情况：（两个电阻并联）常见的情况：（两个电阻并联）根据根据可得可得且有且有4.注意三个以上电阻并联时的等效电阻计算注意三个以上电阻并联时的等效电阻计算112.1.4 2.1.4 利用分压、分流分析电路利用分压、分流分析电路n分析简单电路的步骤：化简电路为一个等效电阻；利用KVL及欧姆定律计算；再利用串联电路分压、并联电路分流，计算出化简前原电路中各电阻的响应。n关键是，准确判断复杂电阻网络中，哪些电阻是串联，哪些电阻是并联。简单电路：简单电路：只有一个独立电源作用的电阻串并联电路，只有一个独立电源作用的电阻串并联电路，可以利用电阻串并联化简的方法，化电路为一
7、个等效可以利用电阻串并联化简的方法，化电路为一个等效电阻和电源组成的单回路。电阻和电源组成的单回路。12 例例 如图所示，电阻如图所示，电阻R1、R2和电压源和电压源Us已知，已知，RL为负载电阻，求输出电压为负载电阻，求输出电压Uo。解：电阻解：电阻R2和负载电阻和负载电阻RL并并联，等效电阻为联，等效电阻为R2/RL，利用，利用分压公式可得分压公式可得13例例 试求下图所示二端网络的等效电阻试求下图所示二端网络的等效电阻Rab。14 观察电路图可见，右边的两个电阻观察电路图可见，右边的两个电阻(4(4和和2)2)是串联关系，故第一步应先计算这两个电阻的串联。是串联关系，故第一步应先计算这两
8、个电阻的串联。Rb b4 42 266图图(a)解：对于这样问题，应先从电路的最右边入手。解：对于这样问题，应先从电路的最右边入手。图图(b)15得到图得到图(b)(b)，计算两个电阻，计算两个电阻33与与 6 6 的并联。的并联。图图(c)得到图得到图(c)(c)，再计算，再计算 R串串=2+2=4图图(d)如图如图(d)所示所示16解：图解：图(a)中无电阻的长导线缩成一点，则中无电阻的长导线缩成一点，则(a a)图可以改图可以改画成画成(b)图图（“并联并联”的定义）的定义）。则等效电阻为则等效电阻为例例 求下图所示电阻电路的等效电阻求下图所示电阻电路的等效电阻Rab。图(a)图(b)a
9、bW12ooW12W12W12W6W6W4W4172.2 2.2 等效电阻等效电阻n Wheatstone 电桥测量电阻；电桥测量电阻；n对称桥型电路等效电阻；对称桥型电路等效电阻；n对称电路等效电阻；对称电路等效电阻；n电阻的三角形联结与星形联结的等效变换。电阻的三角形联结与星形联结的等效变换。182.2.1 Wheatstone 电桥测量电阻电桥测量电阻其原理电路如图其原理电路如图 通过被测电阻与标准电阻进行比较通过被测电阻与标准电阻进行比较而获得测量结果。而获得测量结果。n一般Rb为可调电阻，适当调节其值，使B、D两点间的电位相等，从而使通过检流计的电流为零IG=0，n这时电桥达到平衡，
10、n未知电阻为 19证明：因为证明：因为 可以看作开路，可以看作开路，UBD=0可以看作短路。可以看作短路。所以所以B、D间既可以看作开路，也可看作短路。间既可以看作开路，也可看作短路。因为因为UBD=0，所以得证得证20例例 求图所示电阻电路的等效电阻求图所示电阻电路的等效电阻Rab。解解:图中右上角五个电阻构成一个平衡电桥，故图图中右上角五个电阻构成一个平衡电桥，故图可简化成右上方的图。可简化成右上方的图。则等效电阻为则等效电阻为2.2.2 含平衡电桥的等效电阻含平衡电桥的等效电阻21对称性（对称性（symmetry）：一个系统对某种操作状态不变一个系统对某种操作状态不变（等价），则该系统对
11、此操作具有对称性（等价），则该系统对此操作具有对称性（H.Weyl.1951），该操作称），该操作称对称操作（对称操作（symmetry operation）常见的对称操作：常见的对称操作：镜像对称、旋转对称等。镜像对称、旋转对称等。对称性原理：对称性原理：Pierre Curie首先提出，具体内容如下，首先提出，具体内容如下，原因中的对称性必反映在结果中，结果中的对称性原因中的对称性必反映在结果中，结果中的对称性至少有原因中的对称性一样多；至少有原因中的对称性一样多；结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性，结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少有结果中的不对称性一样
12、多。原因中的不对称性至少有结果中的不对称性一样多。2.2.3 对称电路的等效电阻对称电路的等效电阻22n对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理。界的一条基本原理。The diamond structureThe diamond structure23如图，对称轴为图中虚线，沿虚如图，对称轴为图中虚线，沿虚线左右对折，电路图重合，由于线左右对折，电路图重合，由于电路图结构及电阻值对称，对称电路图结构及电阻值对称，对称部分的响应相同，即部分的响应相同，即c c、d d两点电两点电势相同。势相同。ab两点间的等效电阻为两点间的等效电阻为对于较复杂电路
13、的等效电阻对于较复杂电路的等效电阻，如果存在对称性，如果存在对称性，可以不必详细求解，化复杂为简单，得到正确结果。可以不必详细求解，化复杂为简单，得到正确结果。24R Rab=?2.2.4 2.2.4 电阻的三角形联结与星形联结的等效电阻的三角形联结与星形联结的等效变换变换252.2.4 2.2.4 电阻的三角形联结与星形联结的等效电阻的三角形联结与星形联结的等效变换变换星形星形(Y)联结联结：三个电阻的一端联在一起，另一端分别三个电阻的一端联在一起，另一端分别接在电路的三个节点上。接在电路的三个节点上。三角形三角形()联结：联结：三个电阻首尾相接，联成一个三角形，三个电阻首尾相接，联成一个三
14、角形，其三个顶点是电路的三个节点。其三个顶点是电路的三个节点。26 形联结形联结一、一、星形联结变换成三角形联结星形联结变换成三角形联结Y形联结形联结(1)(2)(3)(4)图(a)图(b)27Y形联结形联结(1)(2)(3)(4)其中其中(3)式可写为式可写为，将其带入，将其带入(2)式中可得式中可得(5)将将(5)式两边同时乘以式两边同时乘以R2，可得，可得(6)将将(1)式两边同时乘以式两边同时乘以(R2+R3)，可得，可得(7)28将将带入带入(8)式，可得式，可得(6)(7)由由(6)式和式和(7)式可推出式可推出(8)Y形联结形联结(1)(2)(3)(4)(5)29同理可得同理可得
15、又因为又因为即即即即30二、二、三角形联结变换成星形联结三角形联结变换成星形联结1.因为因为 2.又有又有 3.则则 即即 同理同理 和和 31三、归纳三、归纳1.为了便于记忆，以上公式可归纳为：为了便于记忆，以上公式可归纳为：Y形电阻形电阻=形相邻电阻的乘积形相邻电阻的乘积 形电阻之和形电阻之和 形形电阻电阻=Y形形电阻两两乘积之和电阻两两乘积之和Y形不相邻电阻形不相邻电阻2.特殊情况特殊情况：（1）当星形三个电阻的大小相等）当星形三个电阻的大小相等(即即R1R2R3RY)时，时，等效变换成三角形后，三个电阻也相等等效变换成三角形后，三个电阻也相等(R12R13R23R)，则公式变为，则公式
16、变为 R3RY。（2）当三角形三个电阻的大小相等）当三角形三个电阻的大小相等(即即R12R13R23R)时，等效变换成星形后，三个电阻也相等时，等效变换成星形后，三个电阻也相等(R1R2R3RY)，则公式变为：，则公式变为：RY1/3 R32例例 已知如下图已知如下图(a)所示电路，试求电流所示电路，试求电流 I。解：该电路右边有三个解：该电路右边有三个33电阻是星形联结，对它们电阻是星形联结，对它们进行星形和三角形等效变换。得到三角形联结的三个进行星形和三角形等效变换。得到三角形联结的三个等值等值(99)电阻，如图电阻，如图(b)所示。所示。33此时再进行并联等效变换见图此时再进行并联等效变
17、换见图(c)所示。所示。于是可求得电流于是可求得电流I：最后变换成图最后变换成图(d)所示的最简电路所示的最简电路(单回路电路单回路电路)，34例例 求图示电阻电路的等效电阻求图示电阻电路的等效电阻Rab。（2）图）图(a)可改画成图可改画成图(c)，其中含有一个电阻平衡桥，则等效，其中含有一个电阻平衡桥，则等效电阻为电阻为图(a)图(b)图(c)解解（1）对图）对图(a)进行变换，可得图进行变换，可得图(b)。从图中可以看出，等。从图中可以看出，等效电阻为效电阻为12312335例例 求图求图(a)、(b)所示电阻电路的等效电阻所示电阻电路的等效电阻Rab。图(a)解：图解：图(a)中中8个
18、电阻是并联的，则其等效电阻为个电阻是并联的，则其等效电阻为图(b)36图(b)图(b1)解：图解：图(b)是由两节电阻平衡桥构成的，断去第二节电是由两节电阻平衡桥构成的，断去第二节电阻平衡桥，则得阻平衡桥，则得(b1)图。图。等效电阻为等效电阻为37n例2.2.5 求图2.2.5所示的无限长的电阻网络的等效电阻 。38n图2.2.4所示的十边形和正立方体，每边电阻均为1，求等效电阻 。39n理想电压源、电流源是实际电源的理想化模型；理想电压源、电流源是实际电源的理想化模型；n根据根据“等效电路等效电路”的对外等效含义，多个理想电的对外等效含义，多个理想电源的组合可用一个等效的理想电源替代；实际
19、中源的组合可用一个等效的理想电源替代；实际中的电源模型，一般来说，也有两种形式。的电源模型，一般来说，也有两种形式。2.3实际电源模型的等效变换实际电源模型的等效变换40一、电压源的串联：一、电压源的串联：1.不同源电压的电不同源电压的电压源可以串联，等压源可以串联，等效源电压等于各串效源电压等于各串联电压源源电压的联电压源源电压的代数和。代数和。2.不同源电压的电压源不允许并联不同源电压的电压源不允许并联（违反了（违反了KVL）。2.3.1 理想电压源、理想电流源的联接理想电压源、理想电流源的联接41根据根据KVL，端口处的电压，端口处的电压U为为 对外等效，只用电压源替代。对外等效，只用电
20、压源替代。3.3.电压源与任一部分电路并联电压源与任一部分电路并联，42二、电流源的并联：二、电流源的并联：1.不同源电流的电流源可以并联，等效源电流等于各不同源电流的电流源可以并联，等效源电流等于各并联电流源的源电流的代数和。并联电流源的源电流的代数和。2.2.不同源电流的电流源不允许串联不同源电流的电流源不允许串联（违反了（违反了KCL）。）。43根据根据KCL，端口处的电流为，端口处的电流为 对外等效，只用电流源替代。对外等效，只用电流源替代。3.3.电流源与任一部分电路串联电流源与任一部分电路串联 ，44n例例 求所示电路的最简等效电路。求所示电路的最简等效电路。解：原图涉及电流源串联
21、与并联解：原图涉及电流源串联与并联。2A电流源与电阻及电压源串联电流源与电阻及电压源串联的结果等效为的结果等效为2A的电流源的电流源，再利，再利用电流源的并联用电流源的并联，得到原图的最，得到原图的最简等效电路简等效电路5A的电流源的电流源。452.3.2实际电源模型的等效变换实际电源模型的等效变换一、实际电源模型：一、实际电源模型：1.实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。大时，端口电压会有所下降。2.实际电压源实测的端口伏安特性如图实际电压源实测的端口伏安特性如图(a)所示。而实际电流源实所示。
22、而实际电流源实测的端口伏安特性如图测的端口伏安特性如图(b)所示。所示。图图(a)图图(b)462.3.2实际电源模型的等效变换实际电源模型的等效变换一、实际电源模型：一、实际电源模型：1.实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。大时，端口电压会有所下降。2.实际电压源实测的端口伏安特性如图实际电压源实测的端口伏安特性如图(a)所示。而实际电流源实所示。而实际电流源实测的端口伏安特性如图测的端口伏安特性如图(b)所示。所示。图图(a)图图(b)47 3.实际电源都有内阻，所以实际电源可以用理想电压实际
23、电源都有内阻，所以实际电源可以用理想电压源源US串联电阻串联电阻R的模型或理想电流源的模型或理想电流源IS并联电阻并联电阻R的模的模型来表示。分别如图型来表示。分别如图(a)和图和图(b)所示。所示。图(a)图(b)48二、实际电源两种模型的等效变换：二、实际电源两种模型的等效变换：1.理想电压源理想电压源US、串联电阻串联电阻R模型模型，RI伏安特性曲线伏安特性曲线根据根据KVL和欧姆定律，端口的伏安关系方程为：和欧姆定律，端口的伏安关系方程为：UUSRI 492.理想电流源理想电流源IS S、并联电阻并联电阻R模型，模型，变换后为变换后为这个等效条件就是实际电源的两种模型进行等效变换的这个
24、等效条件就是实际电源的两种模型进行等效变换的条件，也是等效变换的计算方法。条件，也是等效变换的计算方法。在进行等效变换时，在进行等效变换时，应注意电压源的参考极性和电流源的参考方向。应注意电压源的参考极性和电流源的参考方向。3.将上式和将上式和 UUSRI 进行比较后，可得等效条件进行比较后，可得等效条件根据根据KCL和欧姆定律，模型和欧姆定律，模型端口上的伏安关系方程为：端口上的伏安关系方程为：50三、注意的问题：三、注意的问题：1.两种组合的等效变换只是对外电路而言的，对其内部两种组合的等效变换只是对外电路而言的，对其内部不等效。不等效。例如：图例如：图(a)所示电路开路时，所示电路开路时
25、，PR=0；而图而图(b)所示电路开路时，所示电路开路时，PR=RIs2 =Pmax。2.受控源构成的模型也可等效变换，但控制量必须保受控源构成的模型也可等效变换，但控制量必须保留，否则无法计算。留，否则无法计算。图(a)图(b)51例例 求图求图(a)所示电路中的电流所示电路中的电流I。图(a)解解:此题只求此题只求2电阻中的电流电阻中的电流I。为此应将电路的其。为此应将电路的其他部分尽量化简。首先是将图他部分尽量化简。首先是将图(a)中的中的Y形联结三个电形联结三个电阻阻(1010，44，44)变换成变换成形联结，如图形联结，如图(b)所示。所示。52图(b)图(a)53图(b)54图(d
26、)图(c)图图(c)中两个中两个6V电压源反向串电压源反向串联互相抵消，并把联互相抵消，并把8电阻与电阻与12V电压源串联等效变换成电压源串联等效变换成8电阻与电阻与1.5A电流源并联，电流源并联，则得图则得图(d)。由图由图(d)得得55例例 求图所示电路中的电流求图所示电路中的电流I1、I2。解解:图图(a)中含有一个中含有一个CCCS，在进行等效变换时要保，在进行等效变换时要保证控制量证控制量I1所在的支路不参与变换。因此，先把受控所在的支路不参与变换。因此，先把受控电流源电流源2I1与与3电阻的并联等效地变换为受控电压源电阻的并联等效地变换为受控电压源6I1与与3电阻的串联，如图电阻的
27、串联，如图(b)所示。所示。图(b)图（图（a)a)56图(b)图(c)解得解得电流电流I2为为再把图再把图(b)中的受控电压源中的受控电压源6I1与与5电阻串联等效变换电阻串联等效变换成受控电流源成受控电流源1.2I1与与5电阻并联，如图电阻并联，如图(c)所示。所示。由图由图(c)得得572.4电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析 n电路分析想干什么？电路分析想干什么？电路中所有支路的电压、电流及功率。电路中所有支路的电压、电流及功率。n到目前为止，我们所拥有的方法：到目前为止，我们所拥有的方法：n、VCR；(本征关系本征关系)n、KCL+KVL。（拓扑关系）。（拓扑关系）支路电流法支路电
28、流法网孔电流法网孔电流法回路电流法回路电流法节点电压法节点电压法582.4.1 2.4.1 网络图论简介网络图论简介1.数学中，图是点和边的一个集合，每条边的两端都数学中，图是点和边的一个集合，每条边的两端都连到相应的节点上。（但节点可以是孤立的。）连到相应的节点上。（但节点可以是孤立的。）2.电路的电路的“图图(graph)(graph)G”：把电路中每一条支路画成：把电路中每一条支路画成抽象的线段，节点用点来表示，形成一个点和边的集抽象的线段，节点用点来表示，形成一个点和边的集合。合。图图(a)若认为每一个二端元件构成电路若认为每一个二端元件构成电路的一条支路，的一条支路，(b)为为(a)
29、的的“图图”图图(b)例如：画出下面电路图例如：画出下面电路图(a)的的“图图”。59图图(c)若将若将US1与与R1的串联看作是一条支路，图的串联看作是一条支路，图(c)为电路图为电路图(a)的的“图图”;图图(d)同时，若将同时，若将IS5与与R5的并联看作是一条支路，图的并联看作是一条支路，图(d)为电路图为电路图(a)的的“图图”;图图(a)当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的节点数和支路数将随之而不同。的节点数和支路数将随之而不同。603.(1)有向图有向图：赋予支路方向的图称为：赋予支路方向的图称为“有向
30、图有向图”。此方。此方向即该支路电流（电压与之相关联）的参考方向。向即该支路电流（电压与之相关联）的参考方向。图图(a)图图(e)61(2)无向图无向图：不赋予支路方向的图称为：不赋予支路方向的图称为“无向图无向图”。例如图例如图(b)、图、图(c)和图和图(d)。图图(b)图图(c)图图(d)图图(a)62(4)平面图：平面图：如果一个图画在平面上，各条支路除了联如果一个图画在平面上，各条支路除了联接的节点外不再交叉接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。这样的图称为平面图。网孔：网孔：平面图的自然回路平面图的自然回路，网孔内不包含任何支路。，网孔内不包含任何支路。(3)回路（回路（loop
31、）L：由支路和节点构成的闭合路径。：由支路和节点构成的闭合路径。（任一节点只经过一次（任一节点只经过一次；起点与终点重合）。；起点与终点重合）。672回路回路L1 16237458图图G 不是回路不是回路 163758636.(1)树：是连通子图；包含全部节点；但不含回路。树：是连通子图；包含全部节点；但不含回路。对左图来说，它的树有对左图来说，它的树有:(2，3，4)、(1，4，5)等。等。(1，2，4)、(2)“树数树数”：非常大。例如上图的树数为：非常大。例如上图的树数为16。(3)“树支数树支数”：n个节点的图，个节点的图，任何一个树的树支数为（任何一个树的树支数为（n-1）个。）个。
32、(4)连支的数目：连支的数目：b-(n-1)=b-n+1。2个节点个节点其他节点其他节点为为(n-2)个个节点节点1与节点与节点n 构成一条树支，若构成一条树支，若其他其他(n-2)个节点各个都与节点个节点各个都与节点1相连，则又形成相连，则又形成(n-2)个树枝，因个树枝，因此总树支数为此总树支数为(n-1)个。个。树的支路称为树支；树的支路称为树支；树支之外的支路称为连支。树支之外的支路称为连支。647.单连支回路（基本回路）：单连支回路（基本回路）：对于图的任意一个树，每加入对于图的任意一个树，每加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由一个连支后，就会形成一个回路，并
33、且此回路除所加连支外均由树支组成，这种回路叫单连支回路。树支组成，这种回路叫单连支回路。单连支回路单连支回路 独立回路独立回路 （2 2，3 3，4 4）构成树）构成树 单连支回路单连支回路 （2 2，3 3，1 1）、）、（3 3，4 4，5 5）、）、（2 2，4 4，6 6）652.4.2 2.4.2 KCL、KVL独立方程的个数独立方程的个数一、独立的一、独立的KCL方程数方程数对图中的节点对图中的节点、和和分别列出分别列出KCL方程方程 三个方程相加，可得三个方程相加，可得即是节点即是节点的的KCL方程方程 结论：结论：n个节点的电路，在任意个节点的电路，在任意(n-1)-1)个节点
34、上可以得出个节点上可以得出(n-1)-1)个个独立的独立的KCL方程。方程。66二、独立的二、独立的KVL方程数方程数图中实线组成树，树支为支路图中实线组成树，树支为支路4 4、5 5、6 6，连支为支路连支为支路1 1、2 2、3 3，由，由3 3个连支构成个连支构成3 3个基本回路个基本回路、即网孔。即网孔。对每个网孔列出对每个网孔列出KVL方程为方程为以上三个方程中，都至少包含一个支路电压（连支电压）以上三个方程中，都至少包含一个支路电压（连支电压）只出现在本方程中只出现在本方程中结论：结论：n个节点、个节点、b条支路的电路，有条支路的电路，有(b-n+1)个基本回路，个基本回路，而平面
35、回路的网孔数即为基本回路数。而平面回路的网孔数即为基本回路数。672.4.32.4.3支路电流法支路电流法 一、一、2b2b法法 对于具有对于具有n个节点、个节点、b条支路的电路，通过上面的条支路的电路，通过上面的分析可知，能够拥有的独立方程数为：分析可知，能够拥有的独立方程数为：以以2 2b个个变量列方程，解方程，求解电流、电压的分变量列方程，解方程，求解电流、电压的分析方法叫做析方法叫做2 2b法。法。独立独立KCLKCL方程：（方程：（n-1n-1）个）个 独立独立KVLKVL方程：方程：b-(n-1)b-(n-1)个（平面电路的网孔数）个（平面电路的网孔数）支路支路VCR:b VCR:
36、b 个个68例如，用例如，用2b法解下图所示电路，列出方程。法解下图所示电路，列出方程。如果将如果将R1与与US1的串联看作一条支路，将的串联看作一条支路，将R5与与IS5的的并联也看作一条支路，则此电路中支路数为并联也看作一条支路，则此电路中支路数为6条，节点条，节点数为数为4。作出此电路图的图，如图作出此电路图的图，如图(b)所示。所示。图图(a)图图(b)69图图(b)根据图根据图(b)、图、图(a)，分别列出，分别列出KCL、KVL和和VCR方程。方程。KCL：选择网孔作回路列选择网孔作回路列KVL方程方程KVL：VCR：2b法优点：任何电路都可解；法优点：任何电路都可解；缺点：未知量
37、、方程数目过多。缺点：未知量、方程数目过多。312图图(a)70二、支路电流法二、支路电流法（列（列KCL、KVL方程，方程，将将VCR带入带入KVL方程方程）VCR：2.已知已知KVL：3.将将VCR方程带入下式中方程带入下式中可得：可得：1231.KCL：712.将独立电压源及用独立电流源和电阻乘积表示的电将独立电压源及用独立电流源和电阻乘积表示的电压移到等式右边，方程可表示为：压移到等式右边，方程可表示为：即：即：3.列出支路电流法的电路方程步骤如下：列出支路电流法的电路方程步骤如下：画图、选定各支路电流的参考方向画图、选定各支路电流的参考方向;根据根据KCL对对(n-1)个独立节点列方
38、程个独立节点列方程;任选任选(b-n+1)个独立回路，指定回路绕行方向，个独立回路，指定回路绕行方向，按按 列列KVL方程方程;求解求解b个方程式，解出个方程式，解出b个电流。个电流。72三、三、解：对节点列解：对节点列KCL方程方程对中间的网孔列对中间的网孔列KVL方程方程补充方程补充方程解得：解得：例例 电路如图所示，求电流电路如图所示，求电流I1、I2和和I3。73例例 如图所示电路，试求电路中的电流如图所示电路，试求电路中的电流I1、I2和和U。解：运用支路电流法求解。该电解：运用支路电流法求解。该电路有路有3 3个节点，分别用个节点，分别用,和和表表示。示。5 5条支路，其余条支路，
39、其余3 3条支路的电流条支路的电流设为设为I3、I4和和I5。选择节点选择节点、为独立节点，为独立节点，列写列写KCL方程，对方程，对3 3个网个网孔列写孔列写KVL方程：方程：KCL：I1I3I50I5I2I40 0 4I14I38 8 4I15I22I50 05I23I46 6KVL：解得：解得：I3I4I5123742.4.4 网孔电流法与回路电流法网孔电流法与回路电流法1.思路：思路：a.对支路电流法来说，对支路电流法来说，b条支路，列条支路，列b个方程式，数目个方程式，数目还太大。还太大。b.分析：分析：(1)若若I1+I2+I3=0，则，则I1=-I2-I3，从中可以看出对于一个，
40、从中可以看出对于一个KCL方程式来说，有一个方程式来说，有一个I是不独立的；是不独立的；(2)G(n,b)中独立的中独立的KCL方程数为方程数为(n-1)个，故个，故(n-1)个个电流是不独立的，则独立的电流为电流是不独立的，则独立的电流为(b-n+1)个，正好等个，正好等于网孔数（独立回路数）。于网孔数（独立回路数）。一、网孔电流法一、网孔电流法75c.假想电流，沿平面电路的网孔连续流动，称此电流为假想电流，沿平面电路的网孔连续流动，称此电流为网孔电流。网孔电流。网孔电流是一组独立的、完备的网络变量。网孔电流是一组独立的、完备的网络变量。设网孔电流设网孔电流Im1，Im2，将上式带入将上式带
41、入KCL方程中，有方程中，有d.KCL方程为：方程为：-I1+I2+I3=0即即0=0，网孔电流从各节点流入一次，流出一次。所，网孔电流从各节点流入一次，流出一次。所以网孔电流自动满足以网孔电流自动满足KCL方程。方程。则有：则有：Im1Im276e.列列KVL方程：方程：将网孔电流带入将网孔电流带入KVL方程中，方程中，可得：可得：写成一般形式：写成一般形式：Im1Im277一般形式：一般形式：其中：其中：式中，式中，R11是网孔是网孔1的自阻，的自阻，R22是网孔是网孔2的自阻，的自阻，R12与与R21是网孔是网孔1和网孔和网孔2的互阻；的互阻；US11是网孔是网孔1电压源电压源电位电位升
42、升的代数和，的代数和，US22是网孔是网孔2电压源电压源电位升电位升的代数和。的代数和。Im1Im2782.对具有对具有m个网孔的平面电路列方程个网孔的平面电路列方程R1111Im1 1R1212Im2 2R1 1mImmUS1111R2121Im1 1R2222Im2 2R2 2mImmUS2222 Rm1 1Im1 1Rm2 2Im2 2RmmImmUSmm 式中式中,Rkk(k=1，2，m)为网孔为网孔k的自阻，总是的自阻，总是正的；正的；Rkj是网孔是网孔k 和和j之间的互阻，可正可负；之间的互阻，可正可负；Uskk表示网孔表示网孔k中的中的电压源电压源电位升电位升的代数和的代数和。在
43、无。在无受控源的电路中受控源的电路中Rjk=Rkj。793.3.解题步骤解题步骤(1)规定网孔电流的方向规定网孔电流的方向;(2)列出网孔电流的方程（实际是电压方程）列出网孔电流的方程（实际是电压方程）;(3)解此方程（消元法、行列式）解此方程（消元法、行列式）;(4)规定支路电流的参考方向，由网孔电流求得规定支路电流的参考方向，由网孔电流求得支路电流支路电流;(5)检验：对外网孔列检验：对外网孔列KVL方程式，计算方程式，计算 RI是否等于是否等于 US。80例例 已知如图已知如图(a)所示电路，用网孔电流法求电路中的电所示电路，用网孔电流法求电路中的电流流I1 1、I2 2和和U。图图(a
44、)图图(b)网孔网孔1:1:8 8Im1 4 4Im28 8 网孔网孔2:2:4 4Im11111Im25 5Im30 0网孔网孔3:3:5 5Im28 8Im36 6解：解：设网孔电流，如图设网孔电流，如图(b)(b)所示。所示。81解得解得:最终求得最终求得:8 8Im1 4 4Im28 8 4 4Im11111Im25 5Im30 05 5Im28 8Im36 682二、回路电流法二、回路电流法问题引入：列下列电路的网孔方程问题引入：列下列电路的网孔方程原因：网孔电流法的局限性原因：网孔电流法的局限性83二、回路电流法二、回路电流法1.思路：能否灵活选择独立回路？思路：能否灵活选择独立回
45、路？除了网孔外，所有单连枝回路都是独立回路除了网孔外，所有单连枝回路都是独立回路在图中选择（在图中选择（4，5，6）为树支，则构成）为树支，则构成3个单连支个单连支回路。回路。设回路电流为设回路电流为Il1、Il2、Il3，方向如图所示，方向如图所示则有：则有：Il1=I1Il2=I2Il3=I3且有：且有：I4=-Il1+Il2I5=-Il1-Il3I6=-Il1+Il2-Il3说明全部支路电流可以通过回路电流表示。说明全部支路电流可以通过回路电流表示。回路电流是一组独立的、完备的网络变量。回路电流是一组独立的、完备的网络变量。Il2Il1Il3842.与网孔电流法方程式相似，回路电流法一般
46、方程形与网孔电流法方程式相似，回路电流法一般方程形式为：式为：R1111Il1 1R1212Il2 2R1 1lIllUS1111R2121Il1 1R2222Il2 2R2 2lIllUS2222 Rl1 1Il1 1Rl2 2Il2 2RllIllUSll3.解题步骤：解题步骤：(1)选一个树，连支电流为回路电流；选一个树，连支电流为回路电流；(2)列出回路电流的方程列出回路电流的方程（计算各回路的自阻、互阻及（计算各回路的自阻、互阻及uSkk）；）；(3)解方程解方程（消元法、行列式）；（消元法、行列式）；85例例 已知下图所示电路中已知下图所示电路中US1=50V，US2=20V，IS
47、2=1A，此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。解：假设回路电流解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示，如图所示，各回路的回路电流方程为：各回路的回路电流方程为：Il1=1A-40 Il1+95 Il2-25 Il3=30 10 Il1-25 Il2+45 Il3=0Il1Il2Il386例例 已知如图所示的电路，试求电路中的电压已知如图所示的电路，试求电路中的电压U。解：假设回路电流解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示如图所示回路电流方程为：回路电流方程为：(2+3+4)(2+3+4)Il1 14 4Il2 23 3
48、Il3 32 2I2 2Il1 14 4Il1 1(4+5)(4+5)Il2 25 5Il3 36 6 Il3 32 2A整理后得：整理后得：7 7Il1 14 4Il2 26 64 4Il1 19 9Il2 24 4求出：求出：则则U5 5(2(2Il2 2)5 5(2(252/47)52/47)Il1Il2Il3其他方法？其他方法？872.4.52.4.5节点电压法节点电压法1.思路：思路：a.一个具有一个具有n个节点的电路，如果个节点的电路，如果n比较少，则以节比较少，则以节点电压为未知量列写电路方程数少。点电压为未知量列写电路方程数少。(1)(1)每个回路的支路电压满足每个回路的支路电
49、压满足KVL，因此，每个回路有，因此，每个回路有一个支路电压是不独立一个支路电压是不独立；(2)(2)G(n,b)中独立的中独立的KVL方程数为方程数为(b-n+1)个，故个，故(b-n+1)个支路电压是不独立的，则独立的电压为个支路电压是不独立的，则独立的电压为(n-1)个。个。b.分析：分析：一、一、节点电压法节点电压法88c.以电路中一个节点为参考节点以电路中一个节点为参考节点，其他节点为独立节点，其他节点为独立节点，独立节点相对于参考节点的电压称为节点电压独立节点相对于参考节点的电压称为节点电压。以节点以节点 为参考节点，节点为参考节点，节点、和和为独立节点，为独立节点，其节点电压分别
50、用其节点电压分别用Un1、Un2、Un3表示，表示，而而 、即即节点电压天然满足节点电压天然满足KVL89e.e.列列KCL方程：方程：列节点列节点、和和的的KCLKCL方程方程各支路电流分别为各支路电流分别为90将支路电流代入将支路电流代入KCL方程，可得方程，可得式中的式中的k=1，2，6 写成标准形式为写成标准形式为 ，其中其中式中式中G11、G2222、G3333称为节点称为节点、和和的自导；的自导；G1212、G2121为为节点节点和节点和节点之间的互导；之间的互导；G2323、G3232为节点为节点和节点和节点之间之间的互导；的互导；G1313、G3131为节点为节点和节点和节点之