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1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1.截长补短模型的培优综合截长补短模型的培优综合目录【知识点归纳】.1【考法一、截长型】.2【考法二、补短型】.6【课后练习】.11【知识点归纳】【知识点归纳】基本模型：基本模型：辅助线作法：辅助线作法：（1）在AB上截取ADAC；（2）把AC延长到点E，使ABAE结论：结论：（1）因为AM平分BAC，且ADAC，所以(SAS)AMDAMC；（2）因为AM平分BAC，且AEAB，所以(SAS)AMBAME补充说明：补充说明：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一
2、条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段【暑假提升专题1】2025初中数学截长补短模型的培优综合（解析版）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【考法一、截长型】【考法一、截长型】例例 1（基本模型基本模型）阅读题：如图 1，OM平分AOB，以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA，OB于C，D两点，在射线OM上任取一点E（点O除外），连接CE，DE，可证OCEODE，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图 2，在ABC中，2AB，CD平分ACB交AB于点D，试判断BC与AC、AD之间的数量关系；（2）如
3、图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，10BCCD，20AB，8AD，求ABC的面积学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 2（与坐标系综合与坐标系综合）已知：在ABC中，90BAC，ABAC将ABC按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)Am落在y轴的负半轴上，使得点(,0)B n落在x轴的正半轴上，点C在第二象限，并且,m n满足2268250mnmn（1）由题意可知OA_，OB _（直接写答案）；（2）求点C的坐标；（3）ABC的斜边BC交y轴于D，直角边AC交x轴于E在AC上截取AFCE，连接DF探究线段DFADBE、的数量关系并证明你的结论学科网
4、（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 3（培优培优 1）已知等腰ABC 中，AB=AC，点 D 在直线 AB 上，DEBC，交直线 AC 与点E，且 BD=BC，CHAB，垂足为 H（1）当点 D 在线段 AB 上时，如图 1，求证 DH=BH+DE；（2）当点 D 在线段 BA 延长线上时，如图 2，当点 D 在线段 AB 延长线上时，如图 3，直接写出 DH，BH，DE 之间的数量关系，不需要证明学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 4（培优培优 2）（1）如图（1），在四边形ABCD中，ABAD,180BD，E，F 分别是,BC CD上的动点，且12EA
5、FBAD，求证：EFBEDF（2）如图（2），在（1）的条件下，当点 E，F 分别运动到,BC CD的延长线上时，,EF BE DF之间的数量关系是_学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【考法二、补短型】【考法二、补短型】例例 1已知在四边形 ABCD 中，ABCADC180，BADBCD180，ABBC（1）如图 1，连接 BD，若BAD90，AD7，求 DC 的长度（2）如图 2，点 P、Q 分别在线段 AD、DC 上，满足 PQAPCQ，求证：PBQABPQBC（3）若点 Q 在 DC 的延长线上，点 P 在 DA 的延长线上，如图 3 所示，仍然满足 PQAPCQ，请写
6、出PBQ 与ADC 的数量关系，并给出证明过程学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 2（培优培优 1）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题（1）如图 1，在四边形ABCD中，ABAD，180BD，连接AC小明发现，此时AC平分BCD他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BECD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD请你参考小明的想法，写出完整的证明过程如图 2，当90BAD时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证
7、明（2）如图 3，等腰CDE、等腰ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且180ABCADC，请你判断DAE与DBE的数量关系，并证明学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 3（培优培优 2）【模型呈现】【模型呈现】（1）如图 1，90BAD，ABAD，过点 B 作BCAC于点 C，过点 D 作DEAC于点 E已知2BC，1DE，则AD _【模型应用】【模型应用】（2）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上，30ABO，2AB，1OA，OBOC若点 D 在第一象限且满足ADAC，90DAC，线段 BD 交 y 轴于点G，求线段 BG
8、 的长（3）如图 3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点 E，满足BECBDC 请直接写出BE、CE、AE之间的数量关系学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 4（培优培优 3）已知，90POQ，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OAOB，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF（1）求证：OAOBACBC；（2）如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且45ECFo时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且135ECFo时，延长AC交EF于
9、点M，延长BC交EF于点N请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【课后练习】【课后练习】1在ABC中，AE，CD 为ABC的角平分线，AE，CD 交于点 F（1）如图 1，若=60B直接写出AFC的大小；求证：ACADCE（2）若图 2，若90B=，求证：ACFAFDCEFDEFSSSS学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2已知：如图所示，直线MANB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点DE、(1)如图 1，当直线 l 与直线MA垂直时，猜想线段ADBEAB、之
10、间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；(2)当直线 l 与直线MA不垂直，且交点DE、在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段ADBEAB、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；(3)如图 2，当直线MA与直线NB相交于点 F 时，延长AC，BC，分别交BN，AM于点 E，D，直线MA与直线NB所夹的锐角为多少度时，线段ADBEAB、之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司3例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略 截长就是
11、在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 下方一点，BDC=120，探索线段 DA、DB、DC 之间的数量关系解题思路：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，可得AE=AD，CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=180，易知ADE 是等边三角形，所以 AD=DE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段 DA、DB、DC 之间的等量关系是_；（2）如图 2，RtABC 中，BAC=90，AB=AC点 D
12、 是边 BC 下方一点，BDC=90，探索三条线段 DA、DB、DC 之间的等量关系，并证明你的结论学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司4在ABC 中，AB=AC，点 D 与点 E 分别在 AB、AC 边上，DE/BC，且 DE=DB，点 F与点 G 分别在 BC、AC 边上，FDG12BDE（1）如图 1，若BDE=120，DFBC，点 G 与点 C 重合，BF=1，直接写出 BC=；（2）如图 2，当 G 在线段 EC 上时，探究线段 BF、EG、FG 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当 G 在线段 AE 上时，直接写出线段 BF、EG、FG 的数量关系：_学科网（
13、北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司5如图，在等边ABC 中，BDCE，连接 AD、BE 交于点 F（1）求AFE 的度数；（2）连接 FC，若 CFAD 时，求证：BD12DC6如图，ABC 中，AB=AC，EAF=12BAC，BFAE 于 E 交 AF 于点 F，连结 CF（1）如图 1 所示，当EAF 在BAC 内部时，求证：EFBE+CF（2）如图 2 所示，当EAF 的边 AE、AF 分别在BAC 外部、内部时，求证：CFBF+2BE学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司7如图，在ABC中，45A（1）如图 1，若6 2AC，2 13BC，求ABC的面积；（2）
14、如图 2，D为ABC外的一点，连接CD，BD且CDCB，ABDBCD 过点C作CEAC交AB的延长线于点E求证：22BDABAC（3）如图 3，在（2）的条件下，作AP平分CAE交CE于点P，过E点作EMAP交AP的延长线于点M点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MKMK，且始终满足MKMK，连接AK 若4AC，请直接写出AKMK取得最小值时2AKMK的值学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1.截长补短模型的培优综合截长补短模型的培优综合目录【知识点归纳】.1【考法一、截长型】.2【考法二、补短型】.9【课后练习】.21【知识点归纳】【知识点归纳】基本模型：基本模型：
15、辅助线作法辅助线作法：（1）在AB上截取ADAC；（2）把AC延长到点E，使ABAE结论结论：（1）因为AM平分BAC，且ADAC，所以(SAS)AMDAMC；（2）因为AM平分BAC，且AEAB，所以(SAS)AMBAME补充说明补充说明：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【考法一、截长型】【考法一、截长型】例例 1（基本模型基本模型）阅读题：如图 1
16、，OM平分AOB，以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA，OB于C，D两点，在射线OM上任取一点E（点O除外），连接CE，DE，可证OCEODE，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图 2，在ABC中，2AB，CD平分ACB交AB于点D，试判断BC与AC、AD之间的数量关系；（2）如图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，10BCCD，20AB，8AD，求ABC的面积【答案】（1）BC=AC+AD；（2）ABC 的面积为 80【分析】（1）在 CB 上截取 CE=CA，则由题意可得 AD=DE，CED=A，再结合A=2B 可得 DE=BE，从而得到 BC=AD+AC；（2）在
17、AB 上截取 AE=AD，连结 CE，过 C 作 CFAB 于 F 点，由题意可得 EC=BC，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据 EC、EF 的长度求得 CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答【详解】解：（1）如图，在 CB 上截取 CE=CA，则由题意得：CADCED，AD=DE，CED=A，A=2B，CED=2B，又CED=B+EDB，B+EDB=2B，EDB=B，DE=BE，BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；（2）如图，在 AB 上截取 AE=AD，连结 CE，过 C 作 CFAB 于 F 点，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由题意可得：CDACEA
18、，EC=CD=BC=10，AE=AD=8，CFAB，EF=FB=208622ABAE，22221068CFECEF，1120 88022ABCSAB CF【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键例例 2（与坐标系综合与坐标系综合）已知：在ABC中，90BAC，ABAC将ABC按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)Am落在y轴的负半轴上，使得点(,0)B n落在x轴的正半轴上，点C在第二象限，并且,m n满足2268250mnmn（1）由题意可知OA _，OB _（直接写答案）；（2）求点C的坐标；（3）AB
19、C的斜边BC交y轴于D，直角边AC交x轴于E在AC上截取AFCE，连接DF探究线段DFADBE、的数量关系并证明你的结论【答案】（1）3，4；（2）(3,1)C；（3）BE=DF+AD，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出 m，n 即可；（2）如图，作 CHy 轴于点 H，只要证明ACHBAO 即可解决问题；（3）在 OB 上取一点 K，使得 OK=DH，则CHDAOK，再证明 DF=EK，AD=BK 即可解决学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司问题【详解】解：（1）2268250mnmn22(3)(4)0mn,2(3)0m，2(4)0n，3,4mn，(0,3)A，(4,
20、0)BOA=3，OB=4，故答案为：3，4（2）如图，作 CHy 轴于点 H，CHA=AOB=CAB=90，CAH+ACH=90，CAH+BAO=90，ACH=BAO，AC=BC，ACHBAO，AH=OB=4，CH=OA=3，OH=1，(3,1)C（3）结论为：BE=DF+AD理由：如图，在 OB 上取一点 K，使得 OK=DH，CH=OA，CHD=AOK=90，DH=OK，CHDAOK（SAS），CD=AK，AD=BK，AB=AC，AKBCDA（SSS），KAB=ACD=45，EAK=45=FCD，CE=AF，CF=AE，CD=AK，CDFAKE（SAS）DF=KE，BE=EK+BK，BE=
21、DF+AD学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题例例 3（培优培优 1）已知等腰ABC 中，AB=AC，点 D 在直线 AB 上，DEBC，交直线 AC 与点E，且 BD=BC，CHAB，垂足为 H（1）当点 D 在线段 AB 上时，如图 1，求证 DH=BH+DE；（2）当点 D 在线段 BA 延长线上时，如图 2，当点 D 在线段 AB 延长线上时，如图 3，直接写出 DH，BH，DE 之间的数量关系，不需要证明
22、【答案】（1）见详解；（2）图 2：=DH BHDE，图 3：+DEDH BH【分析】（1）在线段AH上截取HMBH，连接CM，CD，证明DMCDEC，可得到DEDM，即可求解（2）当点D在线段BA延长线上时，在BA的延长线上截取MHBH，连接CM，DC，由题意可证BHCCHM，可得BCMB，由题意可得=BAED，即可证DMCDEC，可得DEDM，则可得DHBHDE；当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BHHM，连接CM，CD，由题意可证BHCCHM，可得BCMB，由题意可得BAED，即可证DMCDEC，可得DEDM，则可得DEDHBH【详解】解：（1）证明：在线段AH上截取HMBH，
23、连接CM，CD学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司CHAB，HMBHCMBCBCMB ABACBACB/DE BCADEBAEDACB ，CDEBCD AEDBMC DECDMC BDBCBDCBCDEDC CDCDCDMCDE=DM DE+BH DEDMHMDH（2）当点D在线段BA延长线上时，DHBHDE如图 2：在BA的延长线上截取MHBH，连接CM，DCABACAABCCB BDBCBDCDCB/DE BC学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司EACBBEDB=CH CH，BHMH，BHCCHMBHCCHM=BMEM+MDCBDCB，EDCBDCEDBMD
24、CEDC又EM，DCCDDECDMCDEDM=DH MHDMDHBHDE当点D在线段AB延长线上时，DEDHBH如图 3：当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BHHM，连接CM，CDBHHM，CHCH，90CHBMHCMHCBHCABCBMCABACAABCCB BDBC，BDCBCD/BC DEBCDCDE，ACBAED BDCCDE，BMCAED，且CDCD，CDMCDE，DEDMDMDHHMDEDHBH【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 4（培优培优
25、 2）（1）如图（1），在四边形ABCD中，ABAD,180BD，E，F 分别是,BC CD上的动点，且12EAFBAD，求证：EFBEDF（2）如图（2），在（1）的条件下，当点 E，F 分别运动到,BC CD的延长线上时，,EF BE DF之间的数量关系是_【答案】（1）详见解析；（2）EFBEDF【分析】（1）延长FD到点 G，使DGBE，连接AG，先证明()ABEADG SAS，得到AEAGBAEDAG，然后证明AEFAGF，得到EFFG，根据FGDGDFBEDF，可得EFBEDF；（2）在BC上截取BGDF，连接AG，先证明ABGADF（SAS），得到 AG=AF，BAG=DAF，再
26、证明EAGEAF（SAS），得到 EG=EF，根据 BG=DF，即可得 EF=BE-BG=BE-DF【详解】（1）如图，延长FD到点 G，使DGBE，连接AG180BADFADGADF ，BADG，又ABAD，BEDG，()ABEADG SAS，,AEAGBAEDAG，12EAFBAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF ,AEAGEAFGAF AFAF，AEFAGF，EFFGFGDGDFBEDF，EFBEDF；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（2）EFBEDF如图，在BC上截取BGDF，连接AG，180BADCADCADF ，BADF，在ABG 和ADF 中
27、ABADBADFBGDF，ABGADF（SAS），AG=AF，BAG=DAF，BAD=2EAF，BAG+GAE+EAD=EAD+DAF+EAD+DAF，GAE=EAF，在EAG 和EAF 中AGAFEAGEAFAEAE，EAGEAF（SAS），EG=EF，BG=DF，EF=BE-BG=BE-DF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键【考法二、补短型】【考法二、补短型】例例 1已知在四边形 ABCD 中，ABCADC180，BADBCD180，ABBC（1）如图 1，连接 BD，若BAD90，AD7，求 DC 的长度（2）如图 2，点 P、Q 分别在线段 AD、DC 上
28、，满足 PQAPCQ，求证：PBQABPQBC（3）若点 Q 在 DC 的延长线上，点 P 在 DA 的延长线上，如图 3 所示，仍然满足 PQAPCQ，请写出PBQ 与ADC 的数量关系，并给出证明过程【答案】（1）7DC；（2）见解析；（3）1902PBQADC，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC为直角三角形，再根据HL证出RtBADRtBCD，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司从而证出ADCD即可得出结论；（2）如图 2，延长 DC 到 K，使得 CK=AP，连接 BK，通过证BPABCK（SAS）得到：1=2，BP=BK然后根据SSS证明得PBQBKQ，从
29、而得出21PBQCBQCBQ ，然后得出结论；（3）如图 3，在 CD 延长线上找一点 K，使得 KC=AP，连接 BK，构建全等三角形：BPABCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理 SSS 证得：PBQBKQ，则其对应角相等：PBQ=KBQ，结合四边形的内角和是 360可以推得：PBQ=90+12ADC【详解】（1）证明：如图 1，180ABCADC，90BAD，90BCDBAD，在Rt BADV和RtBCD中，BDBDABBCRtBADRtBCD HL，ADDC，7DC；（2）如图 2，延长DC至点K，使得CKAP，连接BK180ABCADC，180BADBCD，18
30、0BCDBCK，BADBCK，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司APCK，ABBC，BPABCK SAS，12 ，BPBK，PQAPCQ，QKCKCQ，PQQK，BPBK，BQBQ，PBQBKQ SSS，21PBQCBQCBQ ，PBQABPQBC；（3）1902PBQADC；如图 3，在CD延长线上找一点K，使得KCAP，连接BK，180ABCADC，180BADBCD，180BADPAB，PABBCK，在BPA和BCK中，APCKBAPBCKABBC BPABCK SAS，ABPCBK，BPBK，PBKABC，PQAPCQ，PQQK，在PBQ和BKQ中，BPBKBQBQP
31、QKQPBQBKQ SSS，PBQKBQ，22360PBQPBKPBQABC，2180360PBQADC，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1902PBQADC【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形例例 2（培优培优 1）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题（1）如图 1，在四边形ABCD中，ABAD，180BD，连接AC小明发现，此时AC平分BCD他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E
32、，使得BECD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD请你参考小明的想法，写出完整的证明过程如图 2，当90BAD时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明（2）如图 3，等腰CDE、等腰ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且180ABCADC，请你判断DAE与DBE的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；2CDBCAC，证明见解析；（2）2DAEDBE，证明见解析【分析】（1）参考小明的想法，延长CB到点E，使得BECD，连接AE，证明ABEADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分；沿用中辅助线，延长CB到点E，使得
33、BECD，连接AE，证得直角三角形CAE，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司再利用勾股定理可求得AC，BC，CD之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长CD至F，使得DFCB，连AF，证明ABCADF、ACDACE，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到DAE与DBE的数量关系【详解】（1）如图，延长CB到点E，使得BECD，连接AE180ADCABC，180ABEABC，ADCABE 在ADC与ABE中，ADABADCABECDEB()ADCABE SASACDAEB，ACAEACBAEB ACDACB AC平分BCD（2）2CDBCAC证
34、明：如图，延长CB到点E，使得BECD，连接AE由（1）知，(SAS)ADCABE学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司DACBAE，ACAE90BADDACCAB 90CAEBAECABDACCABBAD 在直角三角形CAE中，90CAE222CEACAEAC2CDBCAC（3）2DAEDBE 证明：如图，延长CD至F，使得DFCB，连AF，由（1）知，()ABCADF SASAFAC，ACBF ACDF ACDACE 在ACD与ACE中，CDCEACDACEACAC()ACDACE SASADAEADAEABADBABD，AEBABE 1802BADADB，1802BAEAB
35、E，360DAEBADBAE 36018021802DAEADBABE 22ADBABE 2 DBE【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定综合性较强学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例例 3（培优培优 2）【模型呈现】【模型呈现】（1）如图 1，90BAD，ABAD，过点 B 作BCAC于点 C，过点 D 作DEAC于点 E已知2BC，1DE，则AD _【模型应用】【模型应用】（2）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上，30ABO，2AB，1OA，OBOC若点 D 在第一象限且满足ADAC，9
36、0DAC，线段 BD 交 y 轴于点G，求线段 BG 的长（3）如图 3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点 E，满足BECBDC 请直接写出BE、CE、AE之间的数量关系【答案】（1）5，（2）6，（3）3BECEAE【分析】（1）易证SASABCDAEVV，进而有2AEBC，由勾股定理2222215ADAEDE，问题随之得解；（2）根据已知可得ABC是等腰三角形，可求出120BAC，进而得出360150BADBACCAD，得出15ABDADB，可得45GBOABDABO，即有45GBOBGO，在等腰直角三角形BOG即可求出BG；（3）由（2）可知：15ADB，可得60BDCADBADC，
37、进而有60BECBDC，延长EB至 F，使BFCE，连接AF，过 A 点作AMEF于 M 点，根据60OABOAC，即有120BAC，进一步有180BACBEC，即可证明ABFACE，接着证明SASABFACEVV，问题随之得解【详解】解：（1）90BAD，BCAC，DEAC，90CE，90BBAC，90DAEBAC，BDAE，又ABAD，SASABCDAEVV，2AEBC，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司在RtADE中，2222215ADAEDE，故答案为：5；（2）OBOC，OABC，2ABAC，30ABOACO，1802 30120CAB，36036012090150
38、DABBACCAD，ADAC，ADAB，180152BADABDADB，45GBOABDABO，BOOG，30ABO，90AOB，1AOAB12，2222213BOABAO，3OG，在RtBOG中，226BGBOOG；（3）3BECEAE，理由如下：由（2）可知：15ADB，ADAC，90DAC，45ADCACD，60BDCADBADC，60BECBDC，延长EB至 F，使BFCE，连接AF，过 A 点作AMEF于 M 点，如图，120BAC，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司180BACBEC，180ACEABE，180ABFABE，ABFACE，又ABAC，BFCE，SA
39、SABFACEVV，AFAE，BAFCAE，120FAEBAC，30FAEF，AMEF，AFAE，12AMAE，12MEEF，2232MEAEAMAE3FEAE，3BECEBEBFFEAE，即3BECEAE【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题例例 4（培优培优 3）已知，90POQ，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OAOB，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，C
40、F，EF（1）求证：OAOBACBC；（2）如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且45ECFo时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且135ECFo时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析；（2）EFAEBF；（3）222MNENFM，见解析【分析】（1）连接AB,通过90POQ，OAOB得到AOB为等腰直角三角形，进而得到45OABOBA，根据过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交
41、于点C，可推出45CBAo，45BAC，最后通过证明AOBACB，可以得出结论；（2）在射线AP上取点D，使ADBF，连接CD，通过证明CADCBFV，得到CDCF，ACDBCF，再结合45ECFo，90ACB推导证明ECDECF，得到EDEF，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO到点D，使得ADBF，连接CD，通过证明CADCBFV，得到CDCF，ACDBCF，再结合135ECFo，推导证明ECDECF，得到DCFM，根据DCFB，等量代换可知CFMCFB，又因为/AC OQ，推出MCFCFB，进而得到MCMF，同理可证CNEN，最后根据勾股定理即可求解【详解】解：（1）证明：连接AB9
42、0POQ，OAOB，AOB为等腰直角三角形，45OABOBA，又/BC OP，且90POQ，BCOQ，90CBFo，45CBAo，同理，45BAC，在AOB与ACB中OABCABABABOBACBF ，AOBACBASA，90AOBACB o，OAOBACBC；（2）如图1，在射线AP上取点D，使ADBF，连接CD学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司在CAD与CBFV中CACBCADCBFADBF，CADCBFVSAS，CDCF，ACDBCF，45ECFo，90ACB，45ACEBCFo，45ACEACDECD o，ECDECF，在ECD与ECF中CDCFECDECFCECE
43、ECDECFSAS，EDEF，又EDADAEBFAE，EFAEBF（3）222MNENFM证明如下：如图2，延长AO到点D，使得ADBF，连接CD学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司90CADCBF o，在CAD与CBFV中CACBCADCBFADBF，CADCBFVSAS，CDCF，ACDBCF，90ACDDCBo，90BCFDCBDCF o，90FCDBCA o，135ECFo，36090135135ECDoooo，ECFECD，在ECD与ECF中ECECECDECFCDCF，ECDECFSAS，DCFM，CADCBFV，DCFB，CFMCFB，/AC OQ，MCFCFB，
44、CFMMCF，MCMF，同理可证：CNEN，在RtMCN中，由勾股定理得：22222MNCNCMENFM【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【课后练习】【课后练习】1在ABC中，AE，CD 为ABC的角平分线，AE，CD 交于点 F（1）如图 1，若=60B直接写出AFC的大小；求证：ACADCE（2）若图 2，若90B=，求证：ACFAFDCEFDEFSSSS【答案】（1）120；见解析；（2）见解析【分析】（1）综合三角形
45、的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；利用“截长补短”思想，在 AC 上取点 H，使得 AD=AH，从而通过全等证得AFD=AFH，再结合的结论进一步证明CFH=CFE，从而通过全等证得 CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在 AC 上取 S、T 两点，使得 AD=AS，CE=CT，连接 SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对ADF 和CEF 的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明 SFET，即可对DEF 的面积进行转换，从而得出结论【详解】（1）解：B=60，BAC+BCA=180-B=120，AE 平分BAC，CD 平分BCA，FAC=12BAC，FCA=
46、12BCA，FAC+FCA=12(BAC+BCA)=12120=60，AFC=180-(FAC+FCA)=120；证：如图所示，在 AC 上取点 H，使得 AD=AH，在ADF 和AHF 中，ADAHDAFHAFAFAF ADFAHF(SAS)，AFD=AFH，AFD=CFE，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司AFH=CFE，由可知，AFC=120，CFE=180-120=60，AFH=CFE=60，CFH=60，即：CFH=CFE，在CFH 和CFE 中，CFHCFECFCFHCFECF CFHCFE(ASA)，CE=CH，AC=AH+CH，AC=AD+CE；（2）证：如图
47、所示，在 AC 上取 S、T 两点，使得 AD=AS，CE=CT，连接 SF，SE，TF，TE，AE 平分BAC，DAF=SAF，在ADF 和ASF 中，ADASDAFSAFAFAF ADFASF(SAS)，同理可证AEDAES，CEFCTF，DF=SF，DE=SE，FT=FE，DEFSEF，ADFASFSS，CEFCTFSS，DEFSEFSS，且AFD=AFS，CFE=CFT，AFD=CFE，AFD=AFS=CFE=CFT，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由（1）可得：AFC=90+12B=135，CFE=180-135=45，AFD=AFS=CFE=CFT=45，CFS
48、=135-AFS=90，CFSF，又FT=FE，CT=CE，CF 垂直平分 EF，即：CFET，SFET，SFTSEFSS，DEFSFTSSACFAFSCFTSFTSSSS，ACFAFDCEFDEFSSSS【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键2已知：如图所示，直线MANB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点DE、(1)如图 1，当直线 l 与直线MA垂直时，猜想线段ADBEAB、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；(2)当直线 l 与直线
49、MA不垂直，且交点DE、在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段ADBEAB、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(3)如图 2，当直线MA与直线NB相交于点 F 时，延长AC，BC，分别交BN，AM于点 E，D，直线MA与直线NB所夹的锐角为多少度时，线段ADBEAB、之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由【答案】(1)ADBEAB(2)不成立，BEADAB或ADBEAB(3)60，理由见解析【分析】（1）作CHAB于点H，然后证明ACDACHVV，BCHBCE
50、VV即可得出结论；（2）分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可；（3）当MA与NB夹角为60时ADBEAB，在AB上截取点 G 使AGAD 连接CG，分别证明CDACGA，GCBECB，进而得出结论【详解】（1）解：结论：ADBEAB，理由如下：作CHAB于点H，,CDAM CHAB，90ADCCHA=，在ACD和ACH中，DACHACADCAHCACAC ，(AAS)ACDACHVV，ADAH，同理可证BCHBCEVV，BHBE，ADBEAHBHAB+=+=；（2）不成立，如下图，结论：ADBEAB，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司理由：延长BC角AM于