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1、Tel：86613747E-mail：讲课讲课:68学分：学分：4第1页第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 引例引例在相距在相距100m两座建筑物两座建筑物(高度相等点高度相等点)之间之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆长度试计算所需电缆长度(如图所表示如图所表示)。因为空中电缆曲线是悬因为空中电缆曲线是悬链线链线,建立如图所表示坐建立如图所表示坐标系后标系后,悬链线方程为悬链线方程为第2页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 由题设知曲线最底点由题设知曲线最底点(0,y(0)(0,y(0)与
2、最高点与最高点(50,y(50)(50,y(50)之间高度差为之间高度差为1m,1m,所以应有所以应有y(50)=y(0)+1,y(50)=y(0)+1,即即 要计算电缆长度要计算电缆长度,必须必须先求出上述方程中先求出上述方程中a,a,因为它是关于因为它是关于a a非线性方程非线性方程,没有现成公式没有现成公式可用可用,所以只能寻求其它解法所以只能寻求其它解法.第3页第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 再如求解方程再如求解方程近似根近似根方法方法1:将方程同解变换成将方程同解变换成然后画两条曲线然后画两条曲线这两条曲线交点横座标大致为这两条曲线交点横座标大致为x=2.5第4页第
3、二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 再如求解方程再如求解方程近似根近似根方法方法2:原方程可变换为原方程可变换为依据高等数学知识依据高等数学知识(零点定理零点定理)知知,设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且f(a)与与f(b)异号异号,在在(a,b)内最少存在一点内最少存在一点,使使f()=0而而f(2)f(3)1)当且仅当当且仅当第7页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 当当f(x)f(x)不是不是x x线性函数时，称对应函数方程为非线性函数时，称对应函数方程为非线性方程。假如线性方程。假如f(x)f(x)是多项式函数，则称为代数
4、方程，是多项式函数，则称为代数方程，不然称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。不然称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。普通称普通称n n次多项式组成方程次多项式组成方程 为为n n次代数方程次代数方程,当当n n1 1时时,方程显然是非线性方程显然是非线性 普通稍微复杂普通稍微复杂3 3次以上代数方程或超越方程次以上代数方程或超越方程,极难极难甚至无法求得准确解。本章将介绍惯用求解非线性方甚至无法求得准确解。本章将介绍惯用求解非线性方程近似根几个数值解法程近似根几个数值解法 第8页记笔记记笔记第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法 通常方程根数值解法大致分为三个步骤进行
5、通常方程根数值解法大致分为三个步骤进行判定根存在性。即方程有没有根？假如有判定根存在性。即方程有没有根？假如有根，有几个根？根，有几个根？确定根分布范围。即将每一个根用区间隔确定根分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是取得方程各根离开来，这个过程实际上是取得方程各根初始近似值。初始近似值。根准确化。将根初始近似值按某种方法根准确化。将根初始近似值按某种方法逐步准确化，直到满足预先要求精度为止逐步准确化，直到满足预先要求精度为止第9页远在公元前1700年古巴比伦人就已经有关于一、二次方程解法。九章算术(公元前50100年)其中“方程术”有联立一次方程组一般解法。1535年意大利数
6、学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程解法，卡当(HCardano)从他那里得到了这种解法，于1545年在其名著大法中公布了三次方程公式解，称为卡当算法。后来卡当学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程解法。此成果更激发了数学家们情绪，但在以后二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解存在性产生了怀疑。第二章第二章非线性方程数值解法非线性方程数值解法第10页1799年，高斯证实了代数方程必有一个实根或复年，高斯证实了代数方程必有一个实根或复根定理，称此为代数基本定理，并由此能够立刻推根定理，称此为代数基本定理，并由此能够立刻推理理n次代数方程必有次代数方程必有n
7、个实根或复根。个实根或复根。但在以后几十年中依然没有找出高次代数方程公式但在以后几十年中依然没有找出高次代数方程公式解。一直到解。一直到18世纪，法国数学家拉格朗日用根置世纪，法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程解法。换方法统一了二、三、四方程解法。但求解五次方程时未能如愿但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其开始意识到有潜藏其中奥妙中奥妙,用当代术语表示就是置换群理论问题。用当代术语表示就是置换群理论问题。在继续探索在继续探索5次以上方程解艰难历程中，第一个重次以上方程解艰难历程中，第一个重大突破是挪威数学家阿贝尔大突破是挪威数学家阿贝尔(NAbel1802-1829)1
8、824年阿贝尔发表了年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能五次方程代数解法不可能存在存在”论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未了解这项结果主要意义。未了解这项结果主要意义。第11页1828年年17岁法国数学家伽罗华岁法国数学家伽罗华(EGalois 1811-1832)写出了划时代论文写出了划时代论文“关于五次方程代数解法关于五次方程代数解法问题问题”，指出即使在公式中允许用，指出即使在公式中允许用n次方根，并用次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程根是不可能类似算法求五次或更高次代数方程根是不可能文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷遇，文章呈
9、交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷遇，且文稿丢失。且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿，得到年伽罗华再进科学院递稿，得到泊松院士判词泊松院士判词“完全不能了解完全不能了解”。以后伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学落榜，以后伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱，被开除学籍，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱，被开除学籍，又决斗受伤，死于又决斗受伤，死于1832年。决斗前，他把关于五次年。决斗前，他把关于五次代数求解研究结果写成长信，留了下来。代数求解研究结果写成长信，留了下来。第12页十四年后，法国数学家刘维尔十四年后，法国数学家刘维尔(JLiouvi
10、lle)整整理并发表了伽罗华遗作，人们才意识到这项近代理并发表了伽罗华遗作，人们才意识到这项近代数学发展史上主要结果宝贵。数学发展史上主要结果宝贵。38年后，即年后，即1870年，法国数学家若当年，法国数学家若当(CJordan)在专著论置换与代数方程中阐发在专著论置换与代数方程中阐发了伽罗华思想，一门当代数学分支了伽罗华思想，一门当代数学分支群论诞生了。群论诞生了。在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程有在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程有效算法，它们组成了数值分析中古典算法。至于效算法，它们组成了数值分析中古典算法。至于超越方程则不存在普通求根方式。超越方程则不存在普通求根方式。第
11、13页本章介绍方程迭代解法，它既能够用来本章介绍方程迭代解法，它既能够用来求解代数方程，也能够用来解超越方程，求解代数方程，也能够用来解超越方程，而且仅限于求方程实根。而且仅限于求方程实根。利用迭代法求解方程根应处理以下两个利用迭代法求解方程根应处理以下两个问题：问题：n确定根初值确定根初值;n将深入准确化到所需要精度。将深入准确化到所需要精度。记笔记记笔记第14页2.2 二分法二分法 二分法又称二分区间法二分法又称二分区间法,是求解方程是求解方程(2.1)(2.1)近似根近似根一个惯用简单方法。一个惯用简单方法。设函数设函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间 a,ba,b上连续上连续,且且f(
12、f(a)f()f(b)0,)0,依据连续函数性质可知依据连续函数性质可知,f(x)=0)=0在在(a,b)a,b)内必有实根内必有实根,称区间称区间 a,ba,b为有根区间。为明确为有根区间。为明确起见起见,假定方程假定方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间 a,ba,b内有惟一实根内有惟一实根x x*。二分法基本思想是二分法基本思想是:首先确定有根区间首先确定有根区间,将区间将区间二等分二等分,经过判断经过判断f(x)f(x)符号符号,逐步将有根区间缩小逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求近似便可求出满足精度要求近似根。根。第15页2.1.1确
13、定有根区间方法确定有根区间方法 为了确定根初值，首先必须圈定根所在范围，为了确定根初值，首先必须圈定根所在范围，称为称为圈定根或根隔离圈定根或根隔离。在上述基础上，采取适当数值方法确定含有一定在上述基础上，采取适当数值方法确定含有一定 精度要求初值。精度要求初值。对于代数方程，其根个数（实或复）与其次数对于代数方程，其根个数（实或复）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定圈根方法解，并没有什么固定圈根方法 求方程根问题，就几何上讲求方程根问题，就几何上讲,是求曲线是求曲线 y=f(x)与与 x轴交点横坐标。轴交点横
14、坐标。第16页 由高等数学知识知由高等数学知识知,设设f(x)为区间为区间a,b上单值上单值连续连续,假如假如f(a)f(b)0,则则a,b中最少有一个实中最少有一个实根。假如根。假如f(x)在在a,b上还是单调地递增或递减，上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。则仅有一个实根。记笔记记笔记n由此可大致确定根所在子区间，方法有：由此可大致确定根所在子区间，方法有：(1)画图法画图法 (2)逐步搜索法逐步搜索法y=f(x)abyx第17页(1)画图法画图法 画出画出y=f(x)略图，从而看出曲线与略图，从而看出曲线与x轴交点轴交点 大致位置。大致位置。也可将也可将f(x)=0分解为分解为 1(
15、x)=2(x)形式，形式，1(x)与与 2(x)两曲线交点横坐标所在子区间即为含根两曲线交点横坐标所在子区间即为含根 区间。区间。比如比如 xlogx-1=0=0能够改写为能够改写为logx=1/x画出对数曲线画出对数曲线y=logx,与双曲线与双曲线y=1/x,它们交它们交 点横坐标位于区间点横坐标位于区间2,32,3内内第18页(1)画图法画图法023yx第19页n对于一些看不清根函数，能够扩大一下曲线对于一些看不清根函数，能够扩大一下曲线y0 xy=f(x)y=kf(x)(1)(1)画图法画图法画图法画图法记笔记记笔记第20页y0 xABa1b1a2b2(2)逐步搜索法逐步搜索法(2)(
16、2)搜索法搜索法 对于给定对于给定f(x),设有根区间为设有根区间为A,B,从从x0=A出发出发,以步长以步长h=(B-A)/n(n是是正整数正整数),在在A,B内取定节点内取定节点:xi=x0ih(i=0,1,2,n),从左至右检验从左至右检验f(xi)符号符号,如发觉如发觉xi与端点与端点x0函数值异号函数值异号,则得到一个缩小有根则得到一个缩小有根子区间子区间xi-1,xi。第21页例例1 1 方程方程f(x)=xf(x)=x3 3-x-1=0 -x-1=0 确定其有根区间确定其有根区间解：用试凑方法，不难发觉解：用试凑方法，不难发觉 f(0)0f(0)0 在区间（在区间（0 0，2 2
17、）内最少有一个实根）内最少有一个实根 设从设从x=0 x=0出发出发,取取h=0.5h=0.5为步长向右进行根为步长向右进行根 搜索搜索,列表以下列表以下x xf(x)f(x)0 0.5 1.0 1.5 20 0.5 1.0 1.5 2 +能够看出，在能够看出，在1.01.0,1.5,1.5内必有一根内必有一根第22页 用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长h 要选择适当要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。又不太大。为获取指定精度要求初值为获取指定精度要求初值,可在以上隔离根可在以上隔离根 基础上采取对分法继
18、续缩小该含根子区间基础上采取对分法继续缩小该含根子区间 二分法能够看作是搜索法一个改进。二分法能够看作是搜索法一个改进。第23页 取有根区间取有根区间a,b之中点之中点,将它分为两半将它分为两半,分点分点 ,这么就可缩小有根区间这么就可缩小有根区间2.2.2 二分法求根过程二分法求根过程 设设方方程程f(x)=0在在区区间间a,b内内有有根根,二二分分法法就就是是逐步收缩有根区间，最终得出所求根。逐步收缩有根区间，最终得出所求根。详细过程以下详细过程以下 第24页 对压缩了有根区间对压缩了有根区间 施行一样手法施行一样手法,即取中点即取中点 ,将区间将区间 再分为两半再分为两半,然然 后再确定
19、有根区间后再确定有根区间 ,其长度是其长度是 二分之一二分之一 如此重复下去如此重复下去,若不出现若不出现 ,即可得出一即可得出一 系列有根区间序列：系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间二分之一上述每个区间都是前一个区间二分之一,所以所以 长度长度 当当k时趋于零时趋于零,这些区间最终收敛于一点这些区间最终收敛于一点x x*即为即为 所求根所求根。第25页每次二分后每次二分后,取有根区间取有根区间 中点中点作为根近似值，得到一个近似根序列作为根近似值，得到一个近似根序列 该序列以根该序列以根x x*为极限为极限 只要二分足够屡次只要二分足够屡次(即即k足够大足够大),),便有便有这里这
20、里为给定精度为给定精度,因为因为 ,则则 第26页当给定精度当给定精度0 0后后,要想要想 成立成立,只要只要取取k满足满足 即可，亦即当即可，亦即当:时时,做到第做到第k+1次二分次二分,计算得到计算得到 就是满就是满足精度要求近似根足精度要求近似根。在程序中通惯用相邻在程序中通惯用相邻 与与 差绝对值或差绝对值或 与与 差绝对值是否小于差绝对值是否小于来决定二分区间来决定二分区间次数。次数。第27页 二分法算法实现二分法算法实现第28页例例求求方程方程f(x)=)=x3 3-x-1=0 -1=0 在区间在区间1.0,1.5,1.5内内 一一 个实根个实根,使误差不超出使误差不超出0.510
21、-2。P19例例 证实方程证实方程 在区间在区间2,3内有一个内有一个根根 ,使用二分法求误差不超出使用二分法求误差不超出0.510-3 根要二根要二 分多少次？分多少次？证实证实 令令 且且f(x)f(x)在在2,3上连续上连续,故方程故方程f(x)=0f(x)=0在在2,32,3内最少内最少有一个根。又有一个根。又 当初当初时，时，,故故f(x)f(x)在在2,32,3上是单调递增函数上是单调递增函数,从而从而f(x)f(x)在在2,32,3上有且仅有一根。上有且仅有一根。给定误差限给定误差限 0.510-3,使用二分法时使用二分法时第29页 误差限为误差限为 只要取只要取k满足满足 即可
22、，亦即即可，亦即 所以需二分所以需二分1010次便可到达要求。次便可到达要求。二分法优点是不论有根区间二分法优点是不论有根区间 多大多大,总能总能求出满足精度要求根求出满足精度要求根,且对函数且对函数f(x)f(x)要求不高要求不高,只要只要连续即可连续即可,计算亦简单计算亦简单;它不足是只能用于求函数实它不足是只能用于求函数实根根,不能用于求复根及重根不能用于求复根及重根,它收敛速度与比值为它收敛速度与比值为 等比级数相同。等比级数相同。第30页2.3 迭代法迭代法 对于普通非线性方程对于普通非线性方程,没有通常所说求根公式没有通常所说求根公式求其准确解求其准确解,需要设计近似求解方法需要设
23、计近似求解方法,即迭代法。它即迭代法。它是一个逐次迫近方法是一个逐次迫近方法,用某个固定公式重复校正根近用某个固定公式重复校正根近似值似值,使之逐步准确化，最终得到满足精度要求结果。使之逐步准确化，最终得到满足精度要求结果。2.3.1 2.3.1 迭代法基本思想迭代法基本思想 为求解非线性方程为求解非线性方程f(x)=0f(x)=0根，先将其写成便于迭根，先将其写成便于迭代等价方程代等价方程 (2.3)(2.3)其中其中 为为x x连续函数连续函数第31页2.3 迭代法迭代法即假如数即假如数 使使f(x)=0,则也有则也有 ,反之反之,若若 ,则也有则也有 ,称称 为迭代函数为迭代函数 任任取
24、一个初值取一个初值 ,代入式代入式 右端右端,得到得到 再将再将 代入式代入式 右端右端,得到得到 ,依这类推依这类推,得到一个数列得到一个数列 ，其普通表示其普通表示 式式(2.4)(2.4)称为求解非线性方程称为求解非线性方程简单迭代法简单迭代法。(2.4)(2.4)第32页假如由迭代格式假如由迭代格式 产生序列产生序列 收敛收敛,即即 则称迭代法收敛。则称迭代法收敛。实实际际计计算算中中当当然然不不可可能能也也没没必必要要无无穷穷多多步步地地做做下下去去,对预先给定精度要求对预先给定精度要求，只要某个只要某个k k满足满足即可结束计算并取即可结束计算并取 当然，迭代函数当然，迭代函数 结
25、构方法是各种多样。结构方法是各种多样。第33页例例4 用迭代法求方程用迭代法求方程 在在x=1.5附近一个根附近一个根解解 将方程改写成以下两种等价形式将方程改写成以下两种等价形式 对应地可得到两个迭代公式对应地可得到两个迭代公式假如取初始值假如取初始值 1.51.5，用上述两个迭代公，用上述两个迭代公式分别迭代，计算结果见式分别迭代，计算结果见P P2121 第34页2.3.2 迭代法几何意义迭代法几何意义 通常将方程通常将方程f(x)=0f(x)=0化为与它同解方程化为与它同解方程方法不止一个方法不止一个,有收敛有收敛,有不收敛有不收敛,这取决于这取决于 性态性态,方程方程 求根问题在几何
26、上就是确定曲线求根问题在几何上就是确定曲线y=与直线与直线y=x交点交点P*横坐标横坐标(图图2-3所表示所表示)(a)(b)第35页图图2-3 迭代法几何意义迭代法几何意义 第36页2.3.3 迭代法收敛条件迭代法收敛条件 对方程对方程f(x)=0能够结构不一样迭代公式能够结构不一样迭代公式,但迭代公式但迭代公式并非总是收敛。那么并非总是收敛。那么,当迭代函数当迭代函数 满足什满足什么条件时，对应迭代公式才收敛呢？即使迭代么条件时，对应迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很屡次，而是迭代收敛时，我们也不可能迭代很屡次，而是迭代有限次后就停顿，这就需要预计迭代值误差，有限次后就停
27、顿，这就需要预计迭代值误差，方便适时终止迭代方便适时终止迭代 第37页定理定理2.1 设函数设函数 在在a,b上含有连续一阶导上含有连续一阶导 数数,且满足且满足 （1）对全部）对全部xa,b 有有 a,b （2）存在存在 0 L 1,使全部使全部xa,b有有 L则方程则方程 在在a,b上解上解 存在且唯一存在且唯一，对任意，对任意 a,b，迭代过程迭代过程均收敛于均收敛于 。并有误差预计式。并有误差预计式 第38页由连续函数介值定理知由连续函数介值定理知,必有必有 a,b,使使 所以有解存在所以有解存在,即即假设有两个解假设有两个解 和和 ,a,b，则则，由微分中值定理有由微分中值定理有其中
28、其中是介于是介于x*和和 之间点之间点 从而有从而有a,b，进而进而有有 由条件由条件(2)有有 1,所以所以 -=0，即，即 =，解唯一。，解唯一。证证:结构函数结构函数 ,由条件由条件对任意对任意xa,b a,b有有第39页按迭代过程按迭代过程 ,有有 因为因为L1,L0c0），），使使 则称序列则称序列 是是 p 阶收敛阶收敛,c称渐近误差常数。称渐近误差常数。尤其地尤其地,p=1=1时称为线性收敛时称为线性收敛,p=2=2时称为平方收时称为平方收敛。敛。1 1 p 2 0 xn+1X*ayx0Bf(x)0a=x0yx0B=x0f(x)0ayx0Bf(x)0a=x0 2.4.3 牛顿迭代
29、法收敛性牛顿迭代法收敛性第60页 牛顿迭代法对初值牛顿迭代法对初值x0选取要求比较高。选取要求比较高。x0必须必须充分靠近充分靠近x*才能确保局部收敛。才能确保局部收敛。定理定理2.5 假如在有根区间假如在有根区间a,b上上连续且不变号，在连续且不变号，在a,b上取初始近似根上取初始近似根x0满足，满足，则牛顿迭代法产生迭代序列单调收敛于方程则牛顿迭代法产生迭代序列单调收敛于方程f(x)=0在该区间上唯一解。在该区间上唯一解。证实证实（略略）第61页yx10 x0X*0 x0X*x2 不满足迭代条件时，可能造成迭代值远离不满足迭代条件时，可能造成迭代值远离根情况而找不到根或死循环情况根情况而找
30、不到根或死循环情况2.4.3 牛顿迭代法收敛性牛顿迭代法收敛性第62页2.4.4 牛顿迭代法算法实现牛顿迭代法算法实现第63页例例2.11 用用牛顿迭代法牛顿迭代法求求 x=e-x根根,=10-4解：因解：因 f(xk)=x ex 1,f(xk)=ex(x+1)建立迭代公式建立迭代公式取取x0=0.5,逐次计算得逐次计算得 x1=0.57102,x2=0.56716，x3=0.56714第64页2.4.5 牛顿下山法牛顿下山法 通常通常,牛顿迭代法收敛性依赖于初始值牛顿迭代法收敛性依赖于初始值 选取选取,假假如如 偏离所求根偏离所求根 比较远比较远,则牛顿法可能发散。为了则牛顿法可能发散。为了
31、预防迭代发散预防迭代发散,我们对牛顿迭代法迭代过程再附加一项我们对牛顿迭代法迭代过程再附加一项要求要求,即含有单调性即含有单调性 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山即在下山法确保函数值下降前提下法确保函数值下降前提下,用牛顿迭代法加紧收敛速用牛顿迭代法加紧收敛速度。把这一算法称为牛顿下山法。即度。把这一算法称为牛顿下山法。即满足这项要求算法称下山法。满足这项要求算法称下山法。其中其中(01)(01)为下山因子为下山因子 第65页 下下山山因因子子选选择择是是个个逐逐步步探探索索过过程程，设设从从=1开开始重复将始重复将减半进行试算减半进行试算,即逐次取即
32、逐次取为为从从中中挑挑选选下下山山因因子子，直直至至找找到到其其中中某某个个使使单单调调性性条件条件成立，则称成立，则称“下山成功下山成功”，不然，不然“下山失败下山失败”，这时需另选初值重算。这时需另选初值重算。第66页2.5 弦截法弦截法 牛牛顿顿迭迭代代法法即即使使含含有有收收敛敛速速度度快快优优点点，但但每每迭迭代代一一次次都都要要计计算算导导数数 ,当当 比比较较复复杂杂时时,不不但但每每次次计计算算 带带来来很很多多不不便便，而而且且还还可可能能十十分分麻麻烦烦，假假如如用用不不计计算算导导数数迭迭代代方方法法，往往往往只只有有线线性性收收敛敛速速度度。本本节节介介绍绍弦弦截截法法
33、便便是是一一个个无无须须进进行行导导数数运运算算求求根根方方法法。弦弦截截法法在在迭迭代代过过程程中中不不但但用用到到前前一一步步 处处函函数数值值，而而且且还还使使用用 处处函函数数值值来来结结构构迭迭代代函函数数，这么做能提升迭代收敛速度。这么做能提升迭代收敛速度。第67页 2.5.1 弦截法基本思想弦截法基本思想 为防止计算函数导数为防止计算函数导数 ，使用差商，使用差商 替换牛顿公式中导数替换牛顿公式中导数 ,便得到迭代公式便得到迭代公式 称为弦截迭代公式，称为弦截迭代公式，对应迭代法称为弦截法对应迭代法称为弦截法。第68页2.5.2 弦截法几何意义弦截法几何意义弦截法也称割线法弦截法
34、也称割线法,其几何意义是用过曲线上两其几何意义是用过曲线上两点点 、割线来代替曲线割线来代替曲线,用割线用割线与与x轴交点横座标作为方程近似根轴交点横座标作为方程近似根 再过再过P1点和点点和点 作割线求出作割线求出 ,再再过过P2点和点点和点 作割线求出作割线求出 ,余余这类推，当收敛时这类推，当收敛时可求出满足精度要可求出满足精度要求求第69页 能够证实，弦截法含有超线性收敛，收敛能够证实，弦截法含有超线性收敛，收敛阶约为阶约为1.618，它与前面介绍普通迭代法一样，它与前面介绍普通迭代法一样都是线性化方法，但也有区分。即普通迭代法都是线性化方法，但也有区分。即普通迭代法在计算在计算 时只
35、用到前一步值时只用到前一步值 ，故称之为单，故称之为单点迭代法；而弦截法在求点迭代法；而弦截法在求 时要用到前两步结时要用到前两步结果果 和和 ，使用这种方法必须给出两个初始，使用这种方法必须给出两个初始近似根近似根 ，这种方法称为多点迭代法，这种方法称为多点迭代法。第70页例例2.12 用弦截法求方程用弦截法求方程 在在 初始初始 值邻近一个根。要求值邻近一个根。要求解：取解：取 ,令令 利用弦截迭代公式利用弦截迭代公式 计算结果见计算结果见P34列表，列表，易见取近似根易见取近似根 则可满足精度要求。则可满足精度要求。第71页2.5.3 弦截法算法实现弦截法算法实现 第72页补充补充非线性
36、方程组数值解法非线性方程组数值解法 二阶非线性方程组：二阶非线性方程组：方法：经过消元化为含有一个未知量方程求方法：经过消元化为含有一个未知量方程求根问题，然后用牛顿法求解根问题，然后用牛顿法求解例：求解以下非方程组例：求解以下非方程组第73页Newton法解方程组例法解方程组例由由得得y=(3x+1)/(x+1)将将代入代入得得f(x)=x2+(3x+1)2/(x+1)2-5=0化简得化简得f(x)=4x4+2x3+5x2-4x-4=0然后用牛顿迭代法求出然后用牛顿迭代法求出x近似值作为近似值作为x*,并将并将x*代入代入或或后，再用牛顿迭代法求出后，再用牛顿迭代法求出y近似值近似值作为作为
37、y*即可。即可。第74页例例2.12求求在在(x0,y0)=(-1,2)附近解附近解方法：经过消元化为含有一个未知量方程求根方法：经过消元化为含有一个未知量方程求根问题，然后用牛顿法求解问题，然后用牛顿法求解解：由解：由得得x=3-2yx=3-2y并代入并代入整理得：整理得：2 2（3-23-2y)y)2 2 y y2 2 5=05=0 7y 7y2 2 12y+13=012y+13=0 f(y)=7y f(y)=7y2 2 12y+13 f(y)=14y12y+13 f(y)=14y 1212 y 0.74x 1.52第75页例例2.12求求第76页 非非线线性性方方程程解解通通常常叫叫做做
38、方方程程根根,也也叫叫做做函函数数零零点点,本本章章讨讨论论了了求求解解非非线线性性方方程程近近似似根根惯惯用用一一些些数数值值方方法法。先先要要确确定定有有根根区区间间,且且对对于于收收敛敛迭迭代代格格式式,这这个个区区间间要要足足够够小小。针针对对各各种种求求根根数数值值方方法法特特点点,要要考考虑虑其其收收敛敛性性、收敛速度和计算量。收敛速度和计算量。二二分分法法是是逐逐步步将将含含根根区区间间分分半半,主主要要用用来来求求实实根根;迭迭代代法法是是一一个个逐逐次次迫迫近近方方法法,起起着着把把根根准准确确值值一一步步一一步步算算出出来来作作用用;牛牛顿顿法法含含有有较较快快收收敛敛速速度度,但但对对初初值值选选取取要要求求较较高高。弦弦截截法法避避开开了了导导数数计计算算,含含有有超超线线性性收收敛敛速速度度,每计算一步每计算一步,要用到前面两步信息。要用到前面两步信息。本章小结本章小结第77页作作业习题一习题一2.12.13第78页