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1、数值分析数值分析 计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点函数值，并无表示式，这就需要利用已知条件求出近似值。第第5章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 x x1 12 23 34 45 5f f(x x)4 44.54.56 68 88.58.5科大硕士学位课程第1页数值分析数值分析数值积分数值积分/Numerical Integration/Numerical Integration/定义数值积分以下：是离散点上函数值线性组合是离散点上函数值线性组合称为求积系数,与f(x)无关,与积分区间和求积节点求积节点相关称为数值积分公式称为数值
2、积分公式数值积分问题可分解为下述三个问题：1、求积公式详细结构问题；、求积公式详细结构问题；(包含包含xi选取和选取和Ai结构结构)3、准确性程度衡量标准问题。、准确性程度衡量标准问题。2、余项预计问题、余项预计问题(亦即误差预计问题亦即误差预计问题)；求积公式误差求积公式误差 RfI*fIf科大硕士学位课程第2页数值分析数值分析1、处理第一个问题；节点、处理第一个问题；节点xi 和和系数系数Ai怎样选取，即选取标准怎样选取，即选取标准两个目标：两个目标：1、余项预计问题；求积公式误差、余项预计问题；求积公式误差 RfI*fIf尽可能小。尽可能小。2、求积公式代数精度尽可能高。、求积公式代数精
3、度尽可能高。2、处理第二个问题；依赖插值多项式余项预计公式。、处理第二个问题；依赖插值多项式余项预计公式。3、对于第三个问题；引进代数精度概念、对于第三个问题；引进代数精度概念科大硕士学位课程第3页数值分析数值分析 定义定义5.1 若求积公式对(x)=xj(j=0,1,2,m)都准确成立,但对(x)=xm+1不准确成立,即则称此公式含有含有m次代数精度次代数精度.可见,若公式含有m次代数精度,则公式对全部次数不超出m多项式都准确成立.注意：注意：、求积公式误差是计算精度度量标志，而代数精度、求积公式误差是计算精度度量标志，而代数精度是求积公式优良性能标志。是求积公式优良性能标志。2、求积公式误
4、差小，不代表代数精度高。代数精度高，、求积公式误差小，不代表代数精度高。代数精度高，也不代表求积公式误差小。它们没有必定联络。也不代表求积公式误差小。它们没有必定联络。科大硕士学位课程第4页数值分析数值分析例例 1 1 确定形如确定形如确定形如确定形如求积公式，使其代数精度尽可能高。数值求积公式为 解解 令公式对(x)=1,x,x2都准确成立,则 A0+A1+A2=3 A1+3A2=4.5 A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例例2 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式含有尽可能高代数精度,并问代数精度是多少?科大硕士学位课程第5页数值分析数值分析 解得:A0=A2
5、=1/3,A1=4/3.求积公式为 当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也准确成立.解解 令公式对(x)=1,x,x2 都准确成立,则 A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不准确成立.所以,此公式代数精度为3.科大硕士学位课程第6页数值分析数值分析例例3 试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式含有尽可能高代数精度,并问代数精度是多少?解解 令公式对(x)=1,x,x2,x3都准确成立,则 A0+A1=2 A0 x0+A1x1=0 A0 x02+A1x12=2/3 A0 x03+A1x13=0解得:求积公式为求积公式代数
6、精度为3。科大硕士学位课程第7页数值分析数值分析5.1 插值型求积公式插值型求积公式思思绪绪利用利用插值多项式插值多项式 ，则积分易算。，则积分易算。在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f n 次插值多次插值多项式项式 ，即得到，即得到Ak由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式插值型积分公式误差误差科大硕士学位课程第8页数值分析数值分析例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有考查其代数精度。考查其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/*trapezoidal rule*/解解：逐次检验公式是否准确成立逐次检验公式是否准确
7、成立代入代入 P0=1：=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：代数精度代数精度=1定理定理：形如形如 求积公式最少有求积公式最少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即：）科大硕士学位课程第9页数值分析数值分析 为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,n,则有 令 则有称为Newton-Cotes公式公式.Ck(n)称为Cotes系数.(5.6)它不但与它不但与函数函数f(x)无关，而且与无关，而且与积分区间积分区间a,b无关。无关。科大硕士学位课程第10页数值分析数值分析设(x)C2a,b,取n=1时Newton-Cotes公式并预计误差
8、.计算Cotes系数于是有5.2 几个惯用求积公式几个惯用求积公式从几何上看从几何上看:用梯形面积用梯形面积近似曲边梯形面积。近似曲边梯形面积。所以公式=T也称为梯形公式梯形公式,记为T.5.2.1 梯形公式及其误差梯形公式及其误差科大硕士学位课程第11页数值分析数值分析称之为Simpson公式公式或抛物线公式抛物线公式，记为S.结构三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a),H3(b)=(b),于是有证实Simpson公式对不高于三次三次多项式准确成立准确成立,即这时插值误差为=S.设(x)C4a,b,取n=2时Newton-Cotes公式并预计误差.解解 计算Cotes系数 5.2.
9、2 辛普森公式及其误差辛普森公式及其误差科大硕士学位课程第12页数值分析数值分析于是有科大硕士学位课程第13页数值分析数值分析 因为结构Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表以下:科大硕士学位课程第14页数值分析数值分析牛顿求积公式：代数精度代数精度=3牛顿公式及其误差牛顿公式及其误差科大硕士学位课程第15页数值分析数值分析取取n n=4Newton-Cotes=4Newton-Cotes公式及误差公式及误差.查表可得于是有称之为Cotes公式，公式，记为C。其误差为其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.代数精度代数精度=55.2.3 科茨公式及其
10、误差科茨公式及其误差科大硕士学位课程第16页数值分析数值分析 普通地,Newton-Cotes公式截断误差为 例例1 用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分.近似值。解解 IT=1/2*(4+2)=3IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333IC=1/90*(28+14)=3.14212科大硕士学位课程第17页数值分析数值分析5.3 复化求积公式复化求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采取分段低次插值，故采取分段低次插值 分段低次合成分段低次合成 Newton-Cotes 复化复化求积公式。求积公式。复化梯形公式：复化梯形公式：在每个在每个 上用梯形公式：
11、上用梯形公式：=Tn科大硕士学位课程第18页数值分析数值分析可见,复化梯形公式是收敛。而且,要使|RTn|,只要假如记M2=复化梯形公式误差为，则有 若在每个小区间上积分采取Simpson公式,则可得到复化复化Simpson公式公式:科大硕士学位课程第19页数值分析数值分析 复化复化 Simpson 公式：公式：44444=Sn误差为假如记M4=，则有复化Simpson公式也是收敛,而且,要使|RSn|,只要科大硕士学位课程第20页数值分析数值分析 例例 已知函数分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分 解解数据表x xk k(x xk k)x xk k(x xk k)x xk k(
12、x xk k)0 01 13/83/80.97672670.97672673/43/40.90885170.90885171/81/80.99739780.99739781/21/20.95885110.95885117/87/80.87719260.87719261/41/40.98961580.98961585/85/80.93615560.93615561 10.84147100.8414710近似值。I准确到准确到数点后数点后7位值位值是是0.9460831。科大硕士学位课程第21页数值分析数值分析 例例 利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中定积分,若使精度=10-6
13、,问各需取n为多少?解解 因为(x)=,所以有于是有对复化梯形公式,若使|RTn|10-6,只要故应取n=167.对复化Simpson公式,若使|RSn|10-6,只要 故只需取n=3.实际上,S3=0.9460838.科大硕士学位课程第22页数值分析数值分析变步长求积方法变步长求积方法 实际积分计算问题，极难依据误差实际积分计算问题，极难依据误差|Rf|0时时,总有总有Rf-0.这说明这说明,只需只需 h 充分小充分小,必可满足误差要求必可满足误差要求.所以为计算积分，通常采取所以为计算积分，通常采取逐步缩小步长逐步缩小步长方法。方法。比如应用复化梯形求积公式时，注意当前步长为h时,有科大硕
14、士学位课程第23页数值分析数值分析可见步长减半时 这表明算出T(h)后，为算T(h/2)，只需计算新增节点xi-1/2=a+(i-1/2)h(i=1,n)处函数值f(xi-1/2)，将它们和乘新步长h/2，再加上T(h)二分之一。利用T(h)和T(h*)还可近似误差预计,称之事后误差预计事后误差预计.科大硕士学位课程第24页数值分析数值分析对于复化梯形公式n等分区间h=(b-a)/n2n等分区间近似有：由此引入龙贝格求积方法。3事后误差预计公式事后误差预计公式科大硕士学位课程第25页数值分析数值分析由此得记T(h)=Tn,T(h/2)=T2n 首先，若|T2n-Tn|3,则有近似误差|I*-T
15、2n|.5.4 Romberg5.4 Romberg求积公式求积公式求积公式求积公式所以有 其次，(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n近似程度更好.事实上,有其中,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,科大硕士学位课程第26页数值分析数值分析而且有于是有所以有逐次分半复化梯形公式递推公式：而且，要使=Sn只要科大硕士学位课程第27页数值分析数值分析复化Simpson公式能加工成更高精度公式吗?由复化Simpson公式误差预计式有：科大硕士学位课程第28页数值分析数值分析所以有由此得 首先，若|S2n-Sn|15,则有近似误差|I*-S2n|.其次,(16S2n-Sn)/15
16、应比Sn和S2n近似程度更好.(16S2n-Sn)/15=Cn类似地,因为实际上,有科大硕士学位课程第29页数值分析数值分析所以有由此得 首先，若|C2n-Cn|63,则有近似误差|I*-C2n|.其次,(64C2n-Cn)/63应比Cn和C2n近似程度更好.记(64C2n-Cn)/63=Rn,称为Romberg求积公求积公式式.科大硕士学位课程第30页数值分析数值分析 用Tm(k)(m=1,2,3,4)分别表示把区间2k等分复化梯形公式,复化Simpson公式,复化Cotes公式和Romberg求积公式.而且，要使|I*-Tm(k)|,只要|Tm(k)-Tm(k-1)|(4m-1)(m=1,
17、2,3,4).则有若对Romberg求积公式作组合也有 科大硕士学位课程第31页数值分析数值分析 Romberg算法：算法：?T1=)0(1T T8=)3(1T T4=)2(1T T2=)1(1T S1=)0(2T R1=)0(4T S2=)1(2T C1=)0(3T C2=)1(3T S4=)2(2T科大硕士学位课程第32页数值分析数值分析 实际计算可按下表次序进行 k k区间等分数区间等分数n n=2=2k k梯形公式梯形公式T T1 1(k)(k)SimpsonSimpson公式公式T T2 2(k)(k)CotesCotes公式公式T T3 3(k)(k)RombergRomberg公
18、式公式T T4 4(k)(k)0 01 12 23 34 4 1 12 24 48 81616 T T1 1(0)(0)T T1 1(1)(1)T T1 1(2)(2)T T1 1(3)(3)T T1 1(4)(4)T T2 2(0)(0)T T2 2(1)(1)T T2 2(2)(2)T T2 2(3)(3)T T3 3(0)(0)T T3 3(1)(1)T T3 3(2)(2)T T4 4(0)(0)T T4 4(1)(1)例例 利用Romberg积分公式计算积分 科大硕士学位课程第33页数值分析数值分析 解解 按递推公式计算,结果以下可见,因为|T1(4)-T1(3)|=0.001953
19、1,应有|I*-T1(4)|0.000651033.k kn n=2=2k kT T1 1(k k)T T2 2(k k)T T3 3(k k)T T4 4(k k)0 01 12 23 34 41 12 24 48 816163.00000003.00000003.10000003.10000003.13117653.13117653.13898853.13898853.14094163.14094163.13333333.13333333.14156873.14156873.14159253.14159253.14159263.14159263.14211773.14211773.1415
20、9413.14159413.14159263.14159263.14158583.14158583.14159263.1415926因为|T2(3)-T2(2)|=0.0000001,应有|I*-T2(3)|0.00000000667.因为|T3(2)-T3(1)|=0.0000015,应有|I*-T3(2)|0.00000002381.因为|T4(1)-T4(0)|=0.0000068,应有|I*-T4(1)|=2时就极难求解时就极难求解.故普通不经过解非线性方程求故普通不经过解非线性方程求 ，而从分析高斯点特征来结构高斯求积公式而从分析高斯点特征来结构高斯求积公式.此方法称为用此方法称为用
21、此方法称为用此方法称为用待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法结构高斯求积公式结构高斯求积公式结构高斯求积公式结构高斯求积公式.利用利用利用利用正交多项式正交多项式正交多项式正交多项式结构高斯求积公式结构高斯求积公式结构高斯求积公式结构高斯求积公式.科大硕士学位课程第38页数值分析数值分析 定理定理是高斯点充分必要条件是以这些节点为零点多项式是高斯点充分必要条件是以这些节点为零点多项式与任何次数不超出与任何次数不超出 多项式多项式 带权带权 正交，正交，即即求积公式求积公式(*)节点节点为了结构高斯求积公式节点为了结构高斯求积公式节点,有下述结论有下述结论.Gsuss点应是n+1次正交多项式
22、零点。科大硕士学位课程第39页数值分析数值分析(2)求出pn+1(x)n个零点x0,x1,xn 即为Gsuss点.(1)求出区间a,b上权函数为(x)正交多项式pn+1(x).(3)再计算积分系数 Gauss型求积公式结构方法型求积公式结构方法一是采取施密特正交化方法.怎样求正交多项式pn+1(x).另是借用现成正交多项式函数组.科大硕士学位课程第40页数值分析数值分析解解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:2点Gauss公式.求积分例：=x科大硕士学位课程第41页数值分析数值分析故两点Gauss公式为 积分系数为P2(x)两个零点为 一些现成正交多项式组有 1.Legendre
23、多项式科大硕士学位课程第42页数值分析数值分析 2.Chebyshev多项式 Tn(x)=cos(narccosx)x-1,1,n=0,1,2,是区间-1,1上权函数(x)=正交多项式。3.Laguere多项式是区间0,+)上权函数(x)=e-x 正交多项式。科大硕士学位课程第43页数值分析数值分析 区间-1,1上权函数(x)=1Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式零点.几个几个GaussGauss型求积公式型求积公式 (1)Gauss-Legendre求积公式求积公式 公式Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.n
24、nx xk kA Ak kn nx xk kA Ak k1 10 02 26 60.93246951420.93246951420.66120938650.66120938650.23861918610.23861918610.17132449240.17132449240.36076157300.36076157300.46791393460.46791393462 20.57735026920.57735026921 13 30.77459666920.77459666920 00.55555555560.55555555560.88888888890.88888888897 70.949
25、10791230.94910791230.74153118560.74153118560.40584515140.40584515140 00.12948496620.12948496620.27970539150.27970539150.38183005050.38183005050.41795918370.41795918374 40.86113631160.86113631160.33998104360.33998104360.34785484510.34785484510.65214515490.65214515498 80.96028985650.96028985650.796666
26、47740.79666647740.52553240990.52553240990.18343464250.18343464250.10122853630.10122853630.22238103450.22238103450.31370664590.31370664590.36268378340.36268378345 50.90617984590.90617984590.53846931010.53846931010 00.23692688510.23692688510.47862867050.47862867050.56888888890.5688888889科大硕士学位课程第44页数值
27、分析数值分析例 用3点Gauss公式计算积分 解解 查表得x0=-0.7745966692,x1=0,x2=0.7745966692,A0=A2=0.5555555556,A1=0.8888888889,所以有 Gauss-Legendre求积公式余项为 误差为 实际上,I*=2sin1=1.68294197,误差为|R|=6.15810-5.用Simpson公式,则有I*1.69353487,误差为|R|=1.0610-2.科大硕士学位课程第45页数值分析数值分析因为所以,a,b上权函数(x)=1Gauss型求积公式为 例 用3点Gauss公式计算积分结果远比Simpson公式结果准确.解解
28、 这里Gauss点和积分系数与上例相同,所以 求积误差可表示为科大硕士学位课程第46页数值分析数值分析 区间0,)上权函数(x)=e-xGauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式零点.(2)Gauss-Laguerre求积公式 公式Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.n nx xk kA Ak kn nx xk kA Ak k2 20.58588643760.58588643763.41421356233.41421356230.85355339050.85355339050.14644660940.1464466094
29、5 50.26356031970.26356031971.41340305911.41340305913.59642577103.59642577107.08581000587.085810005812.640800844212.64080084420.52175561050.52175561050.39866681100.39866681100.07594244970.07594244970.00361175870.00361175870.00002337000.00002337003 30.41577455670.41577455672.29428036022.29428036026028
30、994508296028994508290.71109300990.71109300990.27851773350.27851773350.01038925650.01038925656 60.22284660410.22284660411.18893210161.18893210162.99273632602.99273632605.77514356915.77514356919.83746741839.837467418315.982873980615.98287398060.45896467930.45896467930.41700083070.41700083070.113373382
31、00.11337338200.01039919750.01039919750.00026101720.00026101720.00000089850.00000089854 40.32254768960.32254768961.74576110111.74576110114.53662029694.53662029699.39507091239.39507091230.60315410430.60315410430.35741869240.35741869240.03888790850.03888790850.00053929470.0005392947科大硕士学位课程第47页数值分析数值分析
32、Gauss-Laguerre求积公式为 求积公式误差为 因为 所以,对0,+)上权函数(x)=1积分,也能够结构类似Gauss-Laguerre求积公式:科大硕士学位课程第48页数值分析数值分析数值微分数值微分就是用离散方法近似地求出函数在某点导数值就是用离散方法近似地求出函数在某点导数值.5.6 数值微分数值微分 后一个数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种后一个数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法算术平均方法算术平均.但它误差阶却由但它误差阶却由 提升到提升到 按照按照Taylor展开原理可得展开原理可得其中其中h步长。步长。5.6.1.差商法差商法科大硕士学位课程第49页数值分
33、析数值分析 设Ln(x)是(x)以a=x0 x1xn=b为节点n次Lagrange插值多项式,则取当(x)Cn+1+ka,b时,有5.6.2 插值型求导公式插值型求导公式尤其,当k=1时有假如仅限定在节点xi处求导,则有 科大硕士学位课程第50页数值分析数值分析如取n=1线性插值L1(x)=(x-x0)(x1)-(x-x1)(x0)/h,(其中h=x1-x0)可得数值微分二点公式:如取n=2等距节点(x2-x1=x1-x0=h)抛物线插值:L2(x)=(x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 则有 L2(x)=(2x-x1-
34、x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2 L2(x)=2(x0)-4(x1)+2(x2)/2h2 L2(x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2 科大硕士学位课程第51页数值分析数值分析可得数值微分三点公式:科大硕士学位课程第52页数值分析数值分析由由向后差商公式向后差商公式有有由三点公式有由三点公式有准确值准确值 。例例例例 已知函数已知函数f(x)=ex数据位：数据位：f(2.6)=13.4637,f(2.7)=14.8797f(2.8)=16.4446.用二点、三点公式计算用二点、三点公式计算f(x)在在x=2.7处一阶、二阶导数处一阶、二阶导数近似值。近似值。解：由向前差商公式得解：由向前差商公式得由由中心差商公式中心差商公式有有科大硕士学位课程第53页数值分析数值分析练练 习习 题题第第116页页 习题习题55.1-5.4,5.7-5.105.13-5.14 科大硕士学位课程第54页