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1、一、事件间关系和运算一、事件间关系和运算子事件子事件 ABA发生必定造成B发生事件相等事件相等 A=BA、B中其中一个发生另一个也发生中其中一个发生另一个也发生互不相容（互斥）互不相容（互斥）AB=A、B不一样时发生对立（互逆）对立（互逆）AB=,AB=A和和B中有且只有一个发生中有且只有一个发生（记（记 B B=）差事件差事件 A-B A-B发生发生A发生发生B不发生不发生积事件积事件 ABAB发生发生A、B都发生都发生和事件和事件 AB AB发生A、B最少有一个发生第第1 1章关键点章关键点第1页二、事件运算满足定律二、事件运算满足定律事事件件运运算算性性质质和和集集合合运运算算性性质质相
2、相同同，设设A，B，C为为事事件件，则有则有交换律交换律：结合律结合律：分配律分配律：对偶律对偶律：例例1.3,作业作业:一、一、3，二、，二、1，2 第第1 1章关键点章关键点第2页三、概率性质三、概率性质(1)P()=0(2)(有限可加性有限可加性)两两互不相容，则两两互不相容，则(3)(逆事件概率逆事件概率)对任一事件对任一事件A，有，有 (4)(单调性单调性)若若 P(A)P(B),且且P(AB)=P(A)-P(B).(5)对任意两个事件对任意两个事件A,B有有P(AB)=P(A)P(AB)(6)（加法公式加法公式）对于任意两事件）对于任意两事件A，B有有P(AB)=P(A)+P(B)
3、P(AB)例例1.4；作业；作业:一、一、4，11 ；二、二、3，5，6第第1 1章关键点章关键点第3页四、古典概型与几何概型四、古典概型与几何概型古典概型概率计算公式：古典概型概率计算公式：作业：三、作业：三、6，8第第1 1章关键点章关键点第4页五、条件概率与乘法公式五、条件概率与乘法公式若若P(A)0 若若P(B)0例例1.11，1.12；作业；作业:一、一、12；二、；二、4,7 ；三、；三、12第第1 1章关键点章关键点第5页六、全概率公式与贝叶斯公式六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：全概率公式：贝叶斯公式：贝叶斯公式：例例1.16，1.17，作业：三、，作业：三、14，15P(
4、B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)第第1 1章关键点章关键点第6页七、事件相互独立性七、事件相互独立性注意几对概念区分：注意几对概念区分：互不相容与互逆互不相容与互逆互不相容与相互独立互不相容与相互独立相互独立与两两相互独立相互独立与两两相互独立作业：一、作业：一、8；二、；二、8，9；三、三、17，19P(AB)=P(A)P(B)第第1 1章关键点章关键点第7页第第2 2章关键点章关键点一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布1.1.随机变量概念随机变量概念2.2.分布函数：分布函数：定义：定义：F(x)=PXx xR性质：单调性，有界性，右连
5、续性性质：单调性，有界性，右连续性利用分布函数求概率：即对任意实数利用分布函数求概率：即对任意实数a,b,有有例例2.2，2.4，2.5，三，三1，2，4第8页第第2 2章关键点章关键点二、离散型随机变量二、离散型随机变量1.1.离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律分布律概念；分布律概念；分布律性质：分布律性质：分布律与分布函数关系：分布律与分布函数关系：2.2.惯用离散型分布惯用离散型分布二项分布：二项分布：XB(n,p),0p0例例2.6，2.7 作业：一、作业：一、2，3；三、；三、6，7，9第9页第第2 2章关键点章关键点三、连续型随机变量三、连续型随机变量1.1.连续型随机变量及
6、其分布连续型随机变量及其分布定义：定义：F(x)与与f(x)关系：关系：f(x)性质：性质：由由f(x)计算概率：计算概率：例例2.9，2.11 作业：三、作业：三、10，11第10页第第2 2章关键点章关键点三、连续型随机变量三、连续型随机变量2.2.惯用连续型随机变量惯用连续型随机变量均匀分布均匀分布 XU(a,b),指数分布：指数分布：XExp(),0,正态分布：正态分布：XN(,2),0作业：一、作业：一、5，6，7，8，11第11页第第2 2章关键点章关键点四、随机变量函数分布四、随机变量函数分布1.1.离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布2.2.连续型随机变量函数分布连续型
7、随机变量函数分布分布函数法分布函数法:先求分布函数，再求密度函数先求分布函数，再求密度函数.例例2.6，作业：三、，作业：三、16，17，18第12页第第3 3章关键点章关键点一、一、二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数联合分布函数定义：联合分布函数定义：二、二维离散型随机变量及其联合分布律二、二维离散型随机变量及其联合分布律联合分布律定义：联合分布律定义：性质：性质：第13页第第3 3章关键点章关键点三、二维连续型随机变量及其联合概率密度三、二维连续型随机变量及其联合概率密度定义：定义：利用概率密度求概率：随机变量落在区域利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内概率内概率第1
8、4页四、四、二维随机变量边缘分布函数与联合分布函数关系二维随机变量边缘分布函数与联合分布函数关系 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)含有分布函数含有分布函数F(x，y)第第3 3章关键点章关键点第15页五、边缘分布律与联合分布律关系五、边缘分布律与联合分布律关系设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)分布律为分布律为PX=xi，Y=yj=pij，i，j=1，2，则，则第第3 3章关键点章关键点第16页六、联合概率密度与边缘概率密度关系六、联合概率密度与边缘概率密度关系二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X，Y)概率密度为概率密度为f(x，y)，则，则例例3.5，3.8，3.10
9、，作业，作业 三、三、7，第第3 3章关键点章关键点第17页七、二维随机变量相互独立充要条件七、二维随机变量相互独立充要条件2)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)联合分布律为联合分布律为第第3 3章关键点章关键点第18页 在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立。作业：作业：三、三、15，18（1）第第3 3章关键点章关键点第19页八、二维连续型随机变量函数分布八、二维连续型随机变量函数分布 1.1.和分布和分布正态分布性质正态分布性质定定理理3.1（正正态态分分布布主主要要性性质质）若若X1，X2，Xn为为相相互互独立随机变量，且独立随机变量，且 C1，C2，Cn为为n个任意常数，
10、则个任意常数，则作业作业:二、二、2；三、；三、17第第3 3章关键点章关键点),(21211iniiiniiniiiCCNXC =第20页八、二维连续型随机变量函数分布八、二维连续型随机变量函数分布 （最最大大值值与与最最小小值值分分布布）设设X1，X2，Xn是是相相互互独独立立n个个随随机机变变量量，若若Y=max(X1,X2,Xn),Z=min(X1,X2,Xn),试在以下情况下求试在以下情况下求Y和和Z分布分布若若Xi同分布，则同分布，则作业：作业：三、三、19第第3 3章关键点章关键点第21页第第4 4章关键点章关键点 一、随机变量数学期望一、随机变量数学期望离散型随机变量数学期望离
11、散型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望第22页第第4 4章关键点章关键点一、随机变量数学期望一、随机变量数学期望数学期望性质数学期望性质(1)设设c是常数，则有是常数，则有E(c)=c(2)E(cX)=cE(X)，E(X+c)=E(X)+c(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)(4)设设X，Y是相互独立随机变量，则有是相互独立随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)第23页第第4 4章关键点章关键点二、随机变量方差二、随机变量方差定义式：定义式：计算式：计算式：性质：性质：(1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；(2)D
12、(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)尤其，当尤其，当X，Y是相互独立随机变量时，有是相互独立随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；第24页分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差0-1分布分布二项分布二项分布 B(n,p)泊松分布泊松分布 P()均匀分布均匀分布 U(a,b)指数分布指数分布 Exp()正态分布正态分布 N(,2)三、主要分布期望和方差三、主要分布期望和方差第第4 4章关键点章关键点第25页四、协方差及相关系数四、协方差及相关系数定义式：定义式：计算式：计算式：性质性质:(1)(2)(3)
13、a，b为常数；为常数；(4)(5)当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时相互独立时,有有Cov(X,Y)=0第第4 4章关键点章关键点第26页例例4.13,4.15,4.13,4.15,例例4.184.18例例4.19,4.19,作业作业:一、一、3,43,4，二、，二、1,2,6,8,101,2,6,8,10 三、三、2 2，5 5，7 7，9 9，1818，2020第第4 4章关键点章关键点第27页第第4 4章关键点章关键点三、矩概念三、矩概念k阶原点矩阶原点矩k阶中心矩阶中心矩k+l 阶混合矩阶混合矩k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩第28页一、契比谢夫一、契比谢夫(Chebyshev)(
14、Chebyshev)不等式不等式【定定理理5.1】设设随随机机变变量量X数数学学期期望望E(X)及及方方差差D(X)都都存在，则对于任意正数存在，则对于任意正数，有不等式，有不等式 即即 成立成立.第第5 5章关键点章关键点第29页第第5 5章关键点章关键点二、大数定律：二、大数定律：三、中心极限定理三、中心极限定理:当当n充分大时，充分大时，例例5.1 例例5.5 例例5.6 作业作业:一、一、1,2,3 二、二、6，7 三、三、6,9独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极拉普拉斯中心极限定理限定理辛钦大数定律辛钦大数定律第30页第第6 6章关键点章关键点
15、一、统计量概念及惯用统计量一、统计量概念及惯用统计量二、抽样分布：统计三大分布二、抽样分布：统计三大分布 2 2分布，分布，t t分布，分布，F F分布分布三、分位数概念：三、分位数概念：标准正态分布，标准正态分布，2分布，分布，t分布，分布，F分布分位数分布分位数作业：一、作业：一、1，2，4，7，二、，二、1，2，3、三、三、1，2第31页第第7 7章关键点章关键点一、参数点预计一、参数点预计1 1 矩预计：三步法：矩预计：三步法：求总体矩；求总体矩；样本矩代替总体矩；样本矩代替总体矩；求出矩预计量（矩预计值）求出矩预计量（矩预计值）2 2 最大似然预计法：最大似然预计法：二步法：二步法：
16、求（对数）似然函数；求（对数）似然函数；求（对数）似然函数最大值点求（对数）似然函数最大值点l例例7.2,7.3,7.5,7.67.2,7.3,7.5,7.6l作业：一、作业：一、4,8,12,13,4,8,12,13,三、三、3 3，5,6,85,6,8第32页第第7 7章关键点章关键点二、预计量评价标准二、预计量评价标准1.1.无偏性无偏性2.2.有效性有效性3.3.相合性相合性作业作业:二、二、2,6 2,6 三、三、7,8,97,8,9三、区间预计三、区间预计正态总体均值与方差区间预计正态总体均值与方差区间预计例例7.10,7.11,7.12 作业作业:三、三、12,14,15 第33
17、页一、假设检验两类错误一、假设检验两类错误犯第一类错误概率：犯第一类错误概率：P弃真弃真=P拒绝了拒绝了H0|H0为真为真 =P检验统计量值落入拒绝域检验统计量值落入拒绝域|H0为真为真 犯第二类错误概率：犯第二类错误概率：P存伪存伪=P接收了接收了H0|H0为假为假 =P检验统计量值未落入拒绝域检验统计量值未落入拒绝域|H0为假为假=例例8.6,8.7 作业作业:一、一、3,4 二、二、3,4,7,三、三、5,8第第8 8章章关键点关键点第34页第第8 8章章关键点关键点二、单正态总体二、单正态总体N N(,2 2)均值均值 假设检验假设检验检验检验名称名称条件条件检验检验类别类别H0H1检验统检验统计量计量分布分布拒绝域拒绝域Z检检验验 2已知已知双边双边检验检验=0 0N(0,1)|z|z/2左边左边检验检验 0 0z zT检检验验 2未未知知双边双边检验检验=0 0t(n 1)|t|t/2(n 1)左边左边检验检验 0 0t t(n 1)第35页三、单正态总体三、单正态总体N N(,2 2)方差方差 2 2假设检验假设检验检检验验名名称称条件条件检验检验类别类别H0H1检验统计量检验统计量分布分布拒绝域拒绝域未知未知双边双边检验检验 2=02 202 2(n-1)221-/2(n-1)22/2(n-1)左边左边检验检验 202 2 02 22(n-1)第36页