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1、长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院第二章第二章 回顾：回顾：计量经济学基本数学工具计量经济学基本数学工具代数知识代数知识数理统计基础数理统计基础主主要要内内容容概率论基础概率论基础计量经济学计量经济学第1页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 求和运算子（求和运算子（Summation Operator）是用以表示多个）是用以表示多个数求和运算一个缩略符号。数求和运算一个缩略符号。假如假如 表示表示n个数一个序列，那么我们就把个数一个序列，那么我们就把这这n个数总和写为：个数总和写为：第一节第一节 代数知识代数知识一、求和运算子与描述统计量一、求和运算子与描述
2、统计量1 1、求和运算子、求和运算子计量经济学计量经济学第2页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院性质性质SUM.1:对任意常数对任意常数c，求和运算子性质求和运算子性质性质性质SUM.2:对任意常数对任意常数c，性质性质SUM.3:若若 是是n个数对组成一个集合，个数对组成一个集合，且且a和和b是常数，则是常数，则 计量经济学计量经济学第3页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2 2、平均数、平均数 给定给定n个数个数 ，我们把它们加起来再除，我们把它们加起来再除以以n，便算出它们，便算出它们平均数（平均数（average）或或均值均值：当这些当这些 是某特定
3、变量（如受教育年数）一个数据样是某特定变量（如受教育年数）一个数据样本时，我们常称之为本时，我们常称之为样本均值样本均值，以强调它是从一个特定数，以强调它是从一个特定数据集计算出来。样本均值是描述统计量（据集计算出来。样本均值是描述统计量（Descriptive Statistic）一个例子；此时，这个统计量描述了点集）一个例子；此时，这个统计量描述了点集 集集中趋势。中趋势。计量经济学计量经济学第4页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院均值性质均值性质 假设我们取假设我们取x每次观察值并从中减去其均值：每次观察值并从中减去其均值：（这里（这里“d”表示对均值离差）。那么，这些
4、表示对均值离差）。那么，这些离差之和必为零：离差之和必为零：计量经济学计量经济学第5页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院均值离差主要性质均值离差主要性质离差平方和等于离差平方和等于 平方和减去平方和减去 平方平方n倍倍:请加以证实。请加以证实。另请证实：给定两个变量数据集另请证实：给定两个变量数据集 计量经济学计量经济学第6页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院集中趋势另一个表示：中位数集中趋势另一个表示：中位数 均值是我们所关注集中趋势指标，但有时用均值是我们所关注集中趋势指标，但有时用中位数中位数（Median）或样本中位数或样本中位数表示中心值也有价值。
5、表示中心值也有价值。为了得到为了得到n个数个数 中位数，我们先把中位数，我们先把 值值按从小到大次序排列。然后，若按从小到大次序排列。然后，若n是奇数，则样本中位数是奇数，则样本中位数就是按次序居中那个数，比如，给定一组数字就是按次序居中那个数，比如，给定一组数字 ，中位数就是，中位数就是2。普通说来，中位数和均值相比，对数列中级（大或小）普通说来，中位数和均值相比，对数列中级（大或小）值改变没那么敏感。值改变没那么敏感。若若n是偶数，则居中数字便有两个，此时定义中位数是偶数，则居中数字便有两个，此时定义中位数方法就不是唯一。通常把中位数定义为两个居中数字均值方法就不是唯一。通常把中位数定义为
6、两个居中数字均值（仍指从小到大排序数列）。（仍指从小到大排序数列）。计量经济学计量经济学第7页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院二、线性函数性质二、线性函数性质 假如两个变量假如两个变量x和和y关系是：关系是：我们便说我们便说y是是x线性函数（线性函数（Linear Function）：而：而 和和 是描述这一关系两个参数，是描述这一关系两个参数，为截距（为截距（Intercept），），为斜率（为斜率（Slope）。）。一个线性函数定义特征在于，一个线性函数定义特征在于，y改变量总是改变量总是x改变改变量量 倍：倍：其中，其中，表示表示“改变量改变量”。换句话说，。换句话说
7、，x对对y边际边际效应（效应（Marginal Effect）是一个等于）是一个等于 常数。常数。计量经济学计量经济学第8页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院例例2.1.1 2.1.1 线性住房支出函数线性住房支出函数 假定每个月住房支出和每个月收入关系式是假定每个月住房支出和每个月收入关系式是Housing=164+0.27income 那么，每增加那么，每增加1元收入，就有元收入，就有0.27元用于住房支出，元用于住房支出，假如家庭收入增加假如家庭收入增加200元，那么住房支出就增加元，那么住房支出就增加0.27200=54元。元。机械解释上述方程，即时一个没有收入家庭也
8、有机械解释上述方程，即时一个没有收入家庭也有164元住房支出，这当然是不真实。对低收入水平家庭，这个元住房支出，这当然是不真实。对低收入水平家庭，这个线性函数不能很好描述线性函数不能很好描述housing和和income之间关系，这就之间关系，这就是为何我们最终还得用其它函数形式来描述这种关系。是为何我们最终还得用其它函数形式来描述这种关系。计量经济学计量经济学第9页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院图图2.1.1 Housing=164+0.27income 图形图形例例2.1.1 2.1.1 线性住房支出函数线性住房支出函数计量经济学计量经济学第10页长沙理工大学经济与管
9、理学院长沙理工大学经济与管理学院例例2.1.1 2.1.1 线性住房支出函数线性住房支出函数 在上述方程中，把收入用于住房边际消费倾向在上述方程中，把收入用于住房边际消费倾向（MPC）是）是0.27。它不一样于平均消费倾向（。它不一样于平均消费倾向（APC）：）：APC并非常数，它总比并非常数，它总比MPC大，但伴随收入增加越大，但伴随收入增加越来越靠近来越靠近MPC。计量经济学计量经济学第11页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院线性函数性质线性函数性质多于两个变量线性函数：多于两个变量线性函数：假定假定y与两个变量与两个变量 和和 有普通形式关系：有普通形式关系：因为这个函
10、数图形是因为这个函数图形是三维，所以相当难以想象，不过三维，所以相当难以想象，不过 依然是截距（即依然是截距（即 =0和和 =0时时y取值），且取值），且 和和 都是特定斜都是特定斜率度量。由方程（率度量。由方程（A.12）可知，给定）可知，给定 和和 改变量，改变量，y改改变量是变量是 若若 不改变，即不改变，即 ，则有，则有 所以所以 是关系式在是关系式在 坐标上斜率：坐标上斜率：计量经济学计量经济学第12页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 因为它度量了保持因为它度量了保持 固定时，固定时，y怎样随怎样随 而变，所以而变，所以常把常把 叫做叫做 对对y偏效应（偏效应（P
11、artial Effect）。因为偏效应包。因为偏效应包括保持其它原因不变，所以它与括保持其它原因不变，所以它与其它条件不变（其它条件不变（Ceteris Paribus）概念有亲密联络，参数概念有亲密联络，参数 可作类似解释：即若可作类似解释：即若 ，则，则 所以，所以，是是 对对y偏效应。偏效应。线性函数性质线性函数性质计量经济学计量经济学第13页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 假定大学生每个月对假定大学生每个月对CD需求量与需求量与CD价格和每个月零价格和每个月零花钱有以下关系：花钱有以下关系：式中，式中，price为每张碟价格，为每张碟价格，income以元计算。
12、需求曲以元计算。需求曲线表示在保持收入（和其它原因）不变情况下，线表示在保持收入（和其它原因）不变情况下，quantity和和price关系。关系。例例2.1.2 2.1.2 对对CDCD需求需求计量经济学计量经济学第14页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院图图2.1.2 quantity=120-9.8price+0.03income 在在income固定为固定为900元时元时图形图形例例2.1.2 2.1.2 对对CDCD需求需求计量经济学计量经济学第15页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 图图2.1.2 描绘了在收入水平为描绘了在收入水平为900元时
13、二维图形。需求曲元时二维图形。需求曲线斜率线斜率-9.8是价格对数量偏效应：保持收入固定不变，假如是价格对数量偏效应：保持收入固定不变，假如CD碟价格增加碟价格增加1元，那么需求量就下跌元，那么需求量就下跌9.8。（我们把。（我们把CD碟碟只能离散购置事实抽象化。）收入增加只是使需求曲线向上只能离散购置事实抽象化。）收入增加只是使需求曲线向上移动（改变了截距），但斜率依然不变。移动（改变了截距），但斜率依然不变。例例2.1.2 2.1.2 对对CDCD需求需求计量经济学计量经济学第16页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院线性函数基本性质：线性函数基本性质：不论不论x初始值是什
14、么，初始值是什么，x每改变一个单位都造成每改变一个单位都造成y一样改一样改变。变。x对对y边际效应是常数，这对许多经济关系来说多少有点边际效应是常数，这对许多经济关系来说多少有点不真实。比如，边际酬劳递减这个主要经济概念就不符合线不真实。比如，边际酬劳递减这个主要经济概念就不符合线性关系。性关系。为了建立各种经济现象模型，我们需要研究一些为了建立各种经济现象模型，我们需要研究一些非线性非线性函数（函数（nonlinear function）。）。非线性函数特点是，非线性函数特点是，给定给定x改变，改变，y改变依赖于改变依赖于x初始值。初始值。三、若干特殊函数及其性质三、若干特殊函数及其性质计量
15、经济学计量经济学第17页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院1.1.二次函数二次函数 刻画酬劳递减规律一个简单方法，就是在线性关系中刻画酬劳递减规律一个简单方法，就是在线性关系中添加一个二次项。添加一个二次项。考虑方程式考虑方程式 式中，式中，和和 为参数。当为参数。当 时，时，y和和x之间关系呈之间关系呈抛物线状，而且能够证实，函数最大值出现在抛物线状，而且能够证实，函数最大值出现在计量经济学计量经济学第18页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院1.1.二次函数二次函数 比如，若比如，若y=6+8x-2x2。（从而。（从而 =8且且 =-2），则），则y最最大
16、值出现在大值出现在x*=8/4=2处，而且这个最大值是处，而且这个最大值是6+82-2（2）2=14。图图2.1.3 y=6+8x-2x2 图形图形计量经济学计量经济学第19页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 对方程式对方程式 意味着意味着x对对y边际效应递减（边际效应递减（diminishing marginal effect），），这从图中清楚可见，应用微积分知识，也能够这从图中清楚可见，应用微积分知识，也能够经过求这个二次函数一阶导数得出。经过求这个二次函数一阶导数得出。斜率斜率=方程右端是此二次函数对方程右端是此二次函数对x导数（导数（derivative）。一样，
17、一样，则意味着则意味着x对对y边际效应递增（边际效应递增（increasing marginal effect），二次函数图形就呈），二次函数图形就呈U行，函数最小值行，函数最小值出现在点出现在点 处。处。1.1.二次函数二次函数计量经济学计量经济学第20页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 在计量经济分析中起着最主要作用非线性函数是在计量经济分析中起着最主要作用非线性函数是自然自然对数（对数（nature logarithm），），或简称为或简称为对数函数（对数函数（log function），），记为记为还有几个不一样符号能够表示自然对数，最惯用是还有几个不一样符号能够表
18、示自然对数，最惯用是 或或 。当对数使用几个不一样底数时，这些不一样符号是有作。当对数使用几个不一样底数时，这些不一样符号是有作用。当前，只有自然对数最主要，所以我们都用用。当前，只有自然对数最主要，所以我们都用 表表示自然对数。示自然对数。2.2.自然对数自然对数计量经济学计量经济学第21页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数图图2.1.4 y=log（x）图形图形计量经济学计量经济学第22页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数 从图能看出以下性质：从图能看出以下性质：1.当当y=log（x）时，时，y和和x关系
19、表现出边际酬劳递减。关系表现出边际酬劳递减。2.当当y=log（x）时，时，x对对y永远没有负效应：函数斜率永远没有负效应：函数斜率伴随伴随x增大越来越靠近零，然而这个斜率永远到不了零，增大越来越靠近零，然而这个斜率永远到不了零，所以更不会是负。所以更不会是负。3.log（x）可正可负：可正可负：log（x）0，0 x0，x1 4.一些有用性质（切记）：一些有用性质（切记）：log（x1x2）=log（x1）+log（x2），），x1，x20 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），），x1，x20 log（xc）=clog（x），），x0，c为任意实数为任意实数计量经济学计量经
20、济学第23页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数 对数可用于计量经济学应用中各种近似计算。对数可用于计量经济学应用中各种近似计算。1.对于对于x0，有有log（1+x）x。这个近似计算伴随。这个近似计算伴随x变变大而越来越不准确。大而越来越不准确。2.两对数之差可用作百分比改变近似值。令两对数之差可用作百分比改变近似值。令x0和和x1为两为两个正数，能够证实（利用微积分），对个正数，能够证实（利用微积分），对x微小改变，有微小改变，有假如我们用假如我们用100乘以上述方程，并记乘以上述方程，并记那么，对那么，对x微小微小改变，便有改变，便有“微小微小”含
21、义取决于详细情况。含义取决于详细情况。计量经济学计量经济学第24页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数近似计算作用：近似计算作用：定义定义y对对x弹性（弹性（elasticity）为为换言之，换言之，y对对x弹性就是当弹性就是当x增加增加1%时时y百分数改变。百分数改变。若若y是是x线性函数：线性函数：，则这个弹性是，则这个弹性是它显著取决于它显著取决于x取值（取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变弹性并非沿着需求曲线保持不变）。）。计量经济学计量经济学第25页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数 不但在需求理论中，在
22、许多应用经济学领域，弹性都不但在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都是非常主要。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很方是非常主要。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很方便，而对数函数能帮助我们设定这么模型。假如我们对便，而对数函数能帮助我们设定这么模型。假如我们对x和和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于都使用对数近似计算，弹性就近似等于所以，一个所以，一个常弹性模型（常弹性模型（constant elasticity model）可近似可近似描述为方程描述为方程式中，式中，为为y对对x弹性（假定弹性（假定x，y0）。）。这类模型在经验经济学中饰演着主要角色。当前，式这类模型在经验经济学中
23、饰演着主要角色。当前，式中中 只是靠近于弹性这一事实并不主要，能够忽略。只是靠近于弹性这一事实并不主要，能够忽略。计量经济学计量经济学第26页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院例例2.1.3 2.1.3 常弹性需求函数常弹性需求函数 若若q代表需求量而代表需求量而p代表价格，而且二者关系为代表价格，而且二者关系为则需求价格弹性是则需求价格弹性是-1.25.初略地说，价格每增加初略地说，价格每增加1%，将造，将造成需求量下降成需求量下降1.25%。计量经济学计量经济学第27页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数 在经验研究工作中还经常出现
24、使用对数函数其它可能在经验研究工作中还经常出现使用对数函数其它可能性。假定性。假定y0，且，且则则 ，从而，从而 。由此可知，当由此可知，当y和和x有上述方程所表示关系时，有上述方程所表示关系时，计量经济学计量经济学第28页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院例例2.1.4 2.1.4 对数工资方程对数工资方程 假设小时工资与受教育年数有以下关系：假设小时工资与受教育年数有以下关系：依据前面所述方程，有依据前面所述方程，有由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。通常把通常把%y/x称为称为y对对x半弹性（半弹性（semi-ela
25、sticity），），半半弹性表示当弹性表示当x增加一个单位时增加一个单位时y百分数改变。在上述模型中，百分数改变。在上述模型中，半弹性是个常数而且等于半弹性是个常数而且等于 ，在上述例子中，我们能够，在上述例子中，我们能够方便把工资和教育关系概括为：多受一年教育方便把工资和教育关系概括为：多受一年教育不论所受不论所受教育起点怎样教育起点怎样都将使工资提升约都将使工资提升约9.4%。这说明了这类。这说明了这类模型在经济学中主要作用。模型在经济学中主要作用。计量经济学计量经济学第29页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.自然对数自然对数 另一个关系式在应用经济学中也是有意
26、义：另一个关系式在应用经济学中也是有意义：其中，其中，x0。若取。若取y改变，则有改变，则有 ，这又能够写为，这又能够写为 。利用近似计算，可得利用近似计算，可得当当x增加增加1%时，时，y改变改变 个单位。个单位。计量经济学计量经济学第30页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院例例2.1.5 2.1.5 劳动供给函数劳动供给函数 假定一个工人劳动供给可描述为假定一个工人劳动供给可描述为式中，式中，wage为小时工资而为小时工资而hours为每七天工作小时数，于是，为每七天工作小时数，于是，由方程可得：由方程可得：换言之，工资每增加换言之，工资每增加1%，将使每七天工作小时增加
27、约，将使每七天工作小时增加约0.45或略小于半个小时。若工资增加或略小于半个小时。若工资增加10%，则，则 或约四个半小时。或约四个半小时。注意：注意：不宜对更大工资百分数改变应用这个近似计算。不宜对更大工资百分数改变应用这个近似计算。计量经济学计量经济学第31页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 考虑方程考虑方程 此处此处log（y）是是x线性函数，不过怎样写出线性函数，不过怎样写出y本身作为本身作为x一个函数呢？一个函数呢？指数函数（指数函数（exponential function）给出了答案。给出了答案。我们把指数函数写为我们把指数函数写为y=exp（x），），有时也
28、写为有时也写为 ，但在我们课程中这个符号不惯用。但在我们课程中这个符号不惯用。指数函数两个主要数值是指数函数两个主要数值是exp（0）=1和和exp（1）=2.7183（取（取4位小数）。位小数）。3.3.指数函数指数函数计量经济学计量经济学第32页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院3.3.指数函数指数函数图图2.1.4 y=exp（x）图形图形计量经济学计量经济学第33页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 从上图能够看出，从上图能够看出，exp（x）对任何对任何x值都有定义，而且值都有定义，而且总大于零。总大于零。指数函数在以下意义上是对数函数反函数：对全
29、部指数函数在以下意义上是对数函数反函数：对全部x，都有都有log exp（x）=x，而对，而对x0，有，有explog（x）=x。换。换言之，对数言之，对数“解除了解除了”指数，反之亦然。对数函数和指数函指数，反之亦然。对数函数和指数函数互为反函数。数互为反函数。指数函数两个有用性质是指数函数两个有用性质是 exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2）和和 expclog（x）=xc3.3.指数函数指数函数计量经济学计量经济学第34页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院记忆：记忆：经济学中惯用一些函数及其导数有经济学中惯用一些函数及其导数有 4.4.微分学微分学计量经济学
30、计量经济学第35页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 当当y是多元函数时，是多元函数时，偏导数（偏导数（partial derivative）概念便概念便很主要。假定很主要。假定y=f（x1，x2），），此时便有两个偏导数，一个关此时便有两个偏导数，一个关于于x1，另一个关于，另一个关于x2。y对对x1偏导数记为偏导数记为 ，就是把，就是把x2看做常看做常数时方程对数时方程对x1普通导数。类似，普通导数。类似，就是固定就是固定x1时方程对时方程对x2导导数。数。若若则则这些偏导数可被视为经济学所定义偏效应。这些偏导数可被视为经济学所定义偏效应。4.4.微分学微分学计量经济学计
31、量经济学第36页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 把工资与受教育年数和工作经验（以年计）相联络一个把工资与受教育年数和工作经验（以年计）相联络一个函数是函数是exper对对wage偏效应就是上式对偏效应就是上式对exper偏导数：偏导数：这是增加一年工作经验所造成工资近似改变。注意这个偏效这是增加一年工作经验所造成工资近似改变。注意这个偏效应与应与exper和和educ初始水平都相关系。比如，一个从初始水平都相关系。比如，一个从educ=12和和exper=5开始工人，再增加一年工作经验，将使工资增加开始工人，再增加一年工作经验，将使工资增加约约0.19-0.085+0.0
32、0712=0.234元。准确改变经过计算，结果元。准确改变经过计算，结果是是0.23，和近似计算结果非常靠近。，和近似计算结果非常靠近。例例2.1.6 2.1.6 含交互项工资方程含交互项工资方程计量经济学计量经济学第37页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 在最小化或最大化单或多变量函数时，微分计算起着主在最小化或最大化单或多变量函数时，微分计算起着主要作用。假如要作用。假如 是一个是一个k元可微函数，则元可微函数，则 在全部可能在全部可能xj值中最小化或最大化值中最小化或最大化f必要条件必要条件是是换言之，换言之，f全部偏导数在全部偏导数在 处都必须取值为零。这些条件被称
33、处都必须取值为零。这些条件被称为函数最小化或最大化为函数最小化或最大化一阶条件（一阶条件（first order condition）。）。4.4.微分学微分学计量经济学计量经济学第38页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院参看附件习题册。参看附件习题册。思索题思索题计量经济学计量经济学第39页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布 假设我们掷一枚钱币假设我们掷一枚钱币10次，并计算出现正面次数，这次，并计算出现正面次数，这就是一个就是一个试验（试验（experiment）例子。普通地说，例子。普通地说，一个试验是一
34、个试验是指最少在理论上能够无限重复下去任何一个程序，而且它指最少在理论上能够无限重复下去任何一个程序，而且它有一个定义完好结果集。有一个定义完好结果集。一个一个随机变量（随机变量（random variable）是指一个含有数值是指一个含有数值特征并由一个试验来决定其结果变量。特征并由一个试验来决定其结果变量。第二节第二节 概率论基础概率论基础计量经济学计量经济学第40页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 按照概率和统计学通例，我们一律用大写字母如常见按照概率和统计学通例，我们一律用大写字母如常见W，X，Y和和Z表示表示随机变量随机变量，而用对应小写字母，而用对应小写字母w，
35、x，y和和z表示表示随机变量特定结果随机变量特定结果。比如，在掷币试验中，令比如，在掷币试验中，令X为一枚钱币投掷为一枚钱币投掷10次出现正次出现正面次数。所以面次数。所以X并不是任何详细数值，但我们知道并不是任何详细数值，但我们知道X将在集将在集合合 中取一个值。比喻说，一个特殊结果是中取一个值。比喻说，一个特殊结果是x=6。我们用下标表示一系列随机变量。比如，我们统计随我们用下标表示一系列随机变量。比如，我们统计随机选择机选择20个家庭去年收入。能够用个家庭去年收入。能够用X1，X2，X20表示表示这些随机变量，并用这些随机变量，并用x1，x2，x20表示其特殊结果。表示其特殊结果。一、随
36、机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布计量经济学计量经济学第41页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 如定义所言，即使随机变量描述是一些定性事件，我如定义所言，即使随机变量描述是一些定性事件，我们也总定义它结果是数值。比如，考虑只掷一枚钱币，其们也总定义它结果是数值。比如，考虑只掷一枚钱币，其两个结果是正面和反面。我们能够定义一个随机变量以下：两个结果是正面和反面。我们能够定义一个随机变量以下：假如出现正面则假如出现正面则X=1；假如出现反面则；假如出现反面则X=0。一个只能取一个只能取0和和1两个值随机变量叫做两个值随机变量叫做贝努利（贝努利（或或二值）二值）随机变量随
37、机变量Bernoulli（or binary）random variable。XBernoulli（）（读作（读作“X服从一个成功概率为服从一个成功概率为 贝努利分布）贝努利分布）：P（X=1）=，P（X=0）=1-一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布计量经济学计量经济学第42页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院1.1.离散随机变量离散随机变量 离散随机变量（离散随机变量（discrete random variable）是指一个是指一个只取有限个或可数无限个数值随机变量。只取有限个或可数无限个数值随机变量。“可数无限个可数无限个”：即使随机变量可取无限个值，但：
38、即使随机变量可取无限个值，但这些值能够和正整数一一对应。这些值能够和正整数一一对应。贝努力随机变量是离散随机变量最简单例子。贝努力随机变量是离散随机变量最简单例子。一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布计量经济学计量经济学第43页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 一个离散随机变量要由它全部可能值和取每个值对一个离散随机变量要由它全部可能值和取每个值对应概率来完整描述。假如应概率来完整描述。假如X取取k个可能值个可能值 其概其概率率p1，p2，pk被定义为被定义为 pj=P（X=xj），j=1，2，k（读作：（读作：“X取值取值xj概率等于概率等于pj”。）。）其中
39、，每个其中，每个pj都在都在0-1之间，而且之间，而且 p1+p2+pk=11.1.离散随机变量离散随机变量计量经济学计量经济学第44页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 X概率密度函数（概率密度函数（probability density function，pdf）概括概括了了X可能结果及其对应概率信息：可能结果及其对应概率信息：而且对某个而且对某个j，凡是不等于，凡是不等于xjx都有都有f（x）=0。换言之，对任何。换言之，对任何实数实数x，f（x）都是随机变量）都是随机变量X取该特定值取该特定值x概率。当我们设计概率。当我们设计多于一个随机变量时，有时需要给所考虑多于一
40、个随机变量时，有时需要给所考虑pdf加一个下标：比加一个下标：比如如fx是是Xpdf，fY是是Ypdf等等。等等。1.1.离散随机变量离散随机变量计量经济学计量经济学第45页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 给定任一离散随机变量给定任一离散随机变量pdf，就不难计算关于该随机变量，就不难计算关于该随机变量任何事件概率。比如，设任何事件概率。比如，设X为一名篮球运动员在两次罚球中命为一名篮球运动员在两次罚球中命中次数。所以中次数。所以X三个可能值是三个可能值是0，1，2。假定。假定Xpdf是是 f（0）=0.20，f（1）=0.44和和f（2）=0.36这三个概率之和必定为这
41、三个概率之和必定为1.利用这个利用这个pdf，我们能算出该运动员，我们能算出该运动员最少投中一球概率：最少投中一球概率：P（X1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。Xpdf以下列图示：以下列图示：1.1.离散随机变量离散随机变量计量经济学计量经济学第46页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院012xf（x）1.1.离散随机变量离散随机变量图图2.2.1 两次罚球命中次数两次罚球命中次数pdf计量经济学计量经济学第47页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院2.2.连续随机变量连续随机变量 连续随机变量（连续随机变量（continuous
42、random variable）是指一是指一个取任何实数概率都为零变量。个取任何实数概率都为零变量。这个定义有点违反直觉，因为在任何应用中，我们这个定义有点违反直觉，因为在任何应用中，我们最终都会观察到一个随机变量取得某种结果。这里思想最终都会观察到一个随机变量取得某种结果。这里思想是，一个连续随机变量是，一个连续随机变量X可能取值如此之多，以致我们可能取值如此之多，以致我们无法用正整数去计算，因而，逻辑上一致性就要求无法用正整数去计算，因而，逻辑上一致性就要求X必必须以零概率取每一个值。须以零概率取每一个值。一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布计量经济学计量经济学第48页长沙理工
43、大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 在计算连续随机变量概率时，讨论一个连续随机变在计算连续随机变量概率时，讨论一个连续随机变量取某特定值概率是没有意义，最方便是使用量取某特定值概率是没有意义，最方便是使用累积分布累积分布函数（函数（cumulative distribution function，cdf）。）。设设X为任为任意随机变量，它对任何实数意随机变量，它对任何实数xcdf被定义为被定义为 F（x）P（Xx）对于一个连续随机变量，对于一个连续随机变量，F（x）就是概率密度函数）就是概率密度函数f之下、点之下、点x以左面积。因为以左面积。因为F（x）就是一个概率，所以）就是一个概
44、率，所以它总是介于它总是介于0-1之间。另外，若之间。另外，若x1c）=1-F（c）2.对任何两个数对任何两个数ab，P（ac）和）和 P（aXb）=P（aXb）=P（aXb）=P（a0）也是随机变量。）也是随机变量。g（X）期望值依然是一个期望值依然是一个加权平均：加权平均：或者，对一个连续随机变量来说，或者，对一个连续随机变量来说，1.1.集中趋势一个度量：期望值集中趋势一个度量：期望值计量经济学计量经济学第62页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 例例2.2.3：假定：假定X分别以概率分别以概率1/8、1/2和和3/8取值取值-1、0和和2，则：，则：E（X）=（-1）
45、1/8+0（1/2）+2（3/8）=5/8 对于例对于例2.2.3中随机变量，令中随机变量，令g（X）=X2，便有，便有E（X2）=（-1）21/8+（0）2（1/2）+（2）2（3/8）=13/8例例2.2.4 X2.2.4 X2 2期望值期望值计量经济学计量经济学第63页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院性质1.对任意常数c，E（c）=c。性质2.对任意常数a和b，E（aX+b）=aE（X）+b。性质3.假如 是常数而 是随机变量，则或者，利用求和符号，作为一个特例，取每个aj=1，我们有所以，和期望值就是期望值之和。在数理统计推导中经常用到这个性质。2.2.期望值性质期
46、望值性质计量经济学计量经济学第64页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 令令X1，X2和和X3分别为比萨店在某日出售小、中、大比分别为比萨店在某日出售小、中、大比萨个数。这些随机变量期望值是萨个数。这些随机变量期望值是E（X1）=25，E（X2）=57和和E（X3）=40。小、中、大比萨价格分别是。小、中、大比萨价格分别是5.50、7.60和和9.15美元。所以，该日出售比萨期望收入是美元。所以，该日出售比萨期望收入是E（5.5 X1+7.60 X2+9.15 X3）=5.50 E（X1）+7.60 E（X2）+9.15 E（X3）=5.525+7.6057+9.1540=9
47、36.70即即936.70美元。这不过是期望收入，详细某一天实际收入美元。这不过是期望收入，详细某一天实际收入普通都会有所差异。普通都会有所差异。例例2.2.5 2.2.5 求期望收入求期望收入计量经济学计量经济学第65页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 度量集中趋势另一个方法是用度量集中趋势另一个方法是用中位数（中位数（median）。若。若X是连续，则是连续，则X中位数（比喻说中位数（比喻说m）就是这么一个数：）就是这么一个数：pdf之下二分之一面积在之下二分之一面积在m之左，另二分之一面积在之左，另二分之一面积在m之右。之右。当当X是离散且取有奇数个值时，中位数就是按
48、大小排是离散且取有奇数个值时，中位数就是按大小排序后居中一个数。若序后居中一个数。若X可能取偶数个值，则实际上有两个可能取偶数个值，则实际上有两个中位数；有时取这两个数平均，便得到唯一一个中位数。中位数；有时取这两个数平均，便得到唯一一个中位数。普通而言，中位数，有时记为普通而言，中位数，有时记为Med（X），和期望），和期望值值E（X）是不相同。作为集中趋势度量，不能说哪一个）是不相同。作为集中趋势度量，不能说哪一个比另一个更加好，二者都是度量比另一个更加好，二者都是度量X分布中心有效方法。分布中心有效方法。2.2.集中趋势另一个度量：中位数集中趋势另一个度量：中位数计量经济学计量经济学第6
49、6页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院 尽管一个随机变量集中趋势颇有价值，但它还不能通尽管一个随机变量集中趋势颇有价值，但它还不能通知我们关于这个随机变量分布一切。下列图给出了两个含知我们关于这个随机变量分布一切。下列图给出了两个含有相同均值随机变量有相同均值随机变量pdf。显然。显然X分布比分布比Y分布更紧密地集分布更紧密地集中在其中心周围。中在其中心周围。3.3.变异性度量：方差与标准差变异性度量：方差与标准差图图2.2.2 有相同均值但不相同分布随机变量有相同均值但不相同分布随机变量fXfY计量经济学计量经济学第67页长沙理工大学经济与管理学院长沙理工大学经济与管理学院
50、 对一个随机变量对一个随机变量X，令，令=E（X）。为了度量）。为了度量X离其期离其期望值多远，有许各种方法，而最简单一个代数方法就是用望值多远，有许各种方法，而最简单一个代数方法就是用差异平方（差异平方（X-）2。（平方是为了消除距离度量符号，由。（平方是为了消除距离度量符号，由此得到正值符合我们对距离直观认识。）因这一距离随此得到正值符合我们对距离直观认识。）因这一距离随X每一结果而变，故本身就是一个随机变量。正如我们需要每一结果而变，故本身就是一个随机变量。正如我们需要用一个数来总结用一个数来总结X集中趋势那样，我们也需要用一个数来集中趋势那样，我们也需要用一个数来告诉我们告诉我们X平均