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1、7-1 空间解析几何基本知识空间解析几何基本知识 1第1页第一节一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、曲面及其方程概念二、曲面及其方程概念 三、几个常见曲面及其方程三、几个常见曲面及其方程空间解析几何基本知识 第七七章 2第2页面面面面面面x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)复习复习1.空间直角坐标系空间直角坐标系3第3页2.平面基本方程平面基本方程:普通式普通式复习复习平面平面平面平面A x+B y+C z=0经过坐标原点；经过坐标原点；经过坐标原点；经过坐标原点；3.3.平面普通方程平面普通方程平面普通方程平面普通方程几个特殊情况：几个特殊情况：几个特殊情况：几个特殊
2、情况：截距式截距式4第4页平面过平面过平面过平面过x 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/x 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面Cz+D=0平行于平行于平行于平行于xoy 坐标面；坐标面；坐标面；坐标面；平面过平面过平面过平面过y 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/y 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面By+D=0平行于平行于平行于平行于xoz 坐标面；坐标面；坐标面；坐标面；平面平面平面平面Ax+D=0平行于平行于平行于平行于yoz 坐标面坐标面坐标面坐标面.平面过平面过平面过平面过z 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/z 轴轴轴轴.5第5页4.4.柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程特征：特征：特征
3、：特征：只含两个坐标方程只含两个坐标方程只含两个坐标方程只含两个坐标方程一定是一定是一定是一定是柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.二元方程二元方程二元方程二元方程都是柱面方程都是柱面方程256第6页引例引例.分析方程分析方程表示怎样曲面表示怎样曲面.坐标也满足方程坐标也满足方程解解:在在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆C,沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴一切直线轴一切直线故在空间故在空间过此点作过此点作所形成曲面称为所形成曲面称为
4、圆柱面圆柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴直线轴直线 l,表示表示圆柱面圆柱面在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上全部点坐标都满足此方程其上全部点坐标都满足此方程,三、柱面三、柱面7第7页观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线
5、直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动C普通普通8第8页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动9第9页C平行于定直线平行于定直线
6、平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动10第10页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直
7、线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动11第11页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱
8、面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动12第12页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条
9、定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动13第13页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L
10、 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动14第14页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动15第15页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线
11、平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动16第16页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所
12、(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动17第17页C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动移动移动移动直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成曲面形成曲面形成曲面形成曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面
13、三、柱面观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成观察柱面形成过程过程过程过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面柱面柱面柱面准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面叫柱面叫柱面叫柱面母线母线母线母线.动动动动18第18页（2 2）求柱面方程）求柱面方程）求柱面方程）求柱面方程设设设设母线母线母线母线/z轴，轴，轴，轴，准线是准线是准线是准线是xoyxoy面面面面上曲线上曲线上曲线上曲线C C:F F(x,yx,y)=0.)=0.设设设设M(x,y,z)是柱面上任一点，是柱面上任一点，是柱面上任一点，是柱面上任一点，作作作作面于面于面于面于N N，则则则则N
14、N(x,yx,y)是曲线是曲线是曲线是曲线F F(x,yx,y)=0)=0上点，上点，上点，上点，则得则得则得则得M(x,y,z)点满足方程为点满足方程为点满足方程为点满足方程为F F(x,yx,y)=0.)=0.所以柱面方程为：所以柱面方程为：所以柱面方程为：所以柱面方程为：xzyoN NM(x,y,z)F(x,y)=0只含只含只含只含x,yx,y而缺而缺而缺而缺z z方程方程方程方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系在空间直角坐标系在空间直角坐标系在空间直角坐标系中表示母线平行于中表示母线平行于中表示母线平行于中表示母线平行于z z 轴柱面，轴柱面，轴柱面，轴柱面，而准线为而准线为而准线为
15、而准线为xoyxoy面上曲线面上曲线面上曲线面上曲线C C.19第19页g g(y y,z z)=0)=0是是是是母线母线母线母线/x x轴轴轴轴,g g(y y,z z)=0)=0所组成所组成所组成所组成柱面柱面柱面柱面.类似地：类似地：类似地：类似地：准线为准线为准线为准线为yozyoz面面面面内曲线内曲线内曲线内曲线h h(x x,z z)=0)=0是是是是母线母线母线母线/y y轴轴轴轴,h h(x x,z z)=0)=0所组成所组成所组成所组成柱面柱面柱面柱面.准线为准线为准线为准线为xozxoz面面面面内曲线内曲线内曲线内曲线注意：注意：注意：注意：柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程
16、一定是一定是一定是一定是二元方程二元方程二元方程二元方程，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.20第20页柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程特征：特征：特征：特征：只含两个坐标方程只含两个坐标方程只含两个坐标方程只含两个坐标方程一定是一定是一定是一定是柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，缺乏哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.二元方程二元方程二元方程二元
17、方程都是柱面方程都是柱面方程21第21页抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面平面平面平面平面例例例例 问方程问方程问方程问方程表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？zxyo抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面22第22页椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面xyzo抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面比如：比如：比如：比如：母线母线母线母线/x x轴轴轴轴母线母线母线母线/z z轴轴轴轴母线母线母线母线/y y轴轴轴轴23第23页例例1 1 指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？何中分别表示什么图形
18、？解解斜率为斜率为1直线直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方程方程24第24页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转25第25页(1)(1)定义定义定
19、义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转26第26页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转
20、曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转27第27页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周
21、旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转28第28页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面
22、曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转29第29页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转30第30页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条
23、平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转31第31页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线
24、绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转32第32页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲
25、面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转33第33页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线
26、曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转34第34页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转35第35页(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这
27、条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上绕该平面上绕该平面上绕该平面上一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为所生成曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面面面面轴轴轴轴曲面曲面曲面曲面母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转36第36页比如比如:37第37页(2)建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面方程方程:给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:设所求曲面上动点为设所求曲面上动点为则点则点M一定是曲线上
28、某点转过来一定是曲线上某点转过来.故旋转曲面方程为：故旋转曲面方程为：当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,设设则有则有则有则有该点转到该点转到38第38页思索思索：当曲线：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程怎样？轴旋转时，方程怎样？总之：旋转曲面方程方程：总之：旋转曲面方程方程：总之：旋转曲面方程方程：总之：旋转曲面方程方程：yozyoz面上曲线面上曲线面上曲线面上曲线f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕z轴旋转一周所成轴旋转一周所成轴旋转一周所成轴旋转一周所成旋转旋转旋转旋转曲面方程：曲面方程：曲面方程：曲面方程：yozyoz坐标面上已知曲线坐标面上已知曲线坐标面上已知曲线坐标面上已知曲线
29、 f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕y y轴旋转一周轴旋转一周轴旋转一周轴旋转一周旋转曲面方程旋转曲面方程旋转曲面方程旋转曲面方程为为为为39第39页例例3.求坐标面求坐标面 xoz 上双曲线上双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成旋转曲面方程轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为40第40页旋转抛物面旋转抛物面oyzxxyzo41第41页例例4.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为圆
30、锥面方程圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 方程为方程为绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面方程为圆锥面方程为两边平方两边平方42第42页该曲面叫该曲面叫该曲面叫该曲面叫圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面.方程方程方程方程特点：特点：特点：特点：叫叫叫叫标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程.同理：同理：同理：同理：中心轴是中心轴是中心轴是中心轴是 y y 轴轴轴轴中心轴是中心轴是中心轴是中心轴是 x x 轴轴轴轴.也是也是也是也是标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.也是也是也是也是标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面
31、.是上半圆是上半圆是上半圆是上半圆锥面锥面锥面锥面.43第43页旋转抛物面旋转抛物面.旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面.如如44第44页5、其它二次曲面、其它二次曲面三元二次方程三元二次方程 这类曲面通常都能够先经过旋转这类曲面通常都能够先经过旋转,然后伸缩变形得到然后伸缩变形得到称为称为旋转旋转+伸缩型二次曲面伸缩型二次曲面.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面图形通常为图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)特征：特征：特征：特征：45第45页1.定义：定义：三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们标准方程适
32、当选取直角坐标系可得它们标准方程,下面仅下面仅 就几个常见标准型特点进行介绍就几个常见标准型特点进行介绍.研究二次曲面特征基本方法研究二次曲面特征基本方法:截痕法截痕法,伸缩法伸缩法.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面图形通常为图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)对应地对应地对应地对应地平面平面平面平面被称为被称为被称为被称为一次曲面一次曲面一次曲面一次曲面用用用用坐标面坐标面坐标面坐标面和和和和平行于坐标面平面平行于坐标面平面平行于坐标面平面平行于坐标面平面与曲面相截与曲面相截与曲面相截与曲面相截,了解曲面全貌，
33、了解曲面全貌，了解曲面全貌，了解曲面全貌，即为即为即为即为截痕法截痕法截痕法截痕法.考查其交线考查其交线考查其交线考查其交线（即截痕）（即截痕）（即截痕）（即截痕）形状，形状，形状，形状，然后加以综合，从而然后加以综合，从而然后加以综合，从而然后加以综合，从而截痕法：截痕法：5、其它二次曲面、其它二次曲面46第46页伸缩法：伸缩法：47第47页ozyx将旋转椭球面将旋转椭球面 沿沿 轴方向伸缩轴方向伸缩 倍得：倍得：2.椭球面椭球面椭球面几个特殊情况：椭球面几个特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面球面球面48第48页49第49页（2）双叶双曲面）双叶双曲面ozyxxyoz旋转双曲面旋转双曲面 ,沿轴
34、沿轴 方向伸缩方向伸缩 倍倍50第50页xyzooyzx51第51页设设a,b均大于均大于0,以平行于以平行于xOy面平面平面面z=z0(z00)截椭圆抛物面截椭圆抛物面,所所得截线方程为得截线方程为它表示平面它表示平面z=z0上一上一椭圆椭圆.以以z=0截曲面截曲面,截得一点截得一点为为原点原点.52第52页以平行于以平行于xOz面平面面平面y=y0截曲截曲面面,截截线线方程方程为为 这这是平面是平面y=y0上一条抛物上一条抛物线线.以平行于以平行于yOz面平面面平面x=x0截曲面截曲面所得截所得截线线是平面是平面x=x0上一条抛上一条抛物物线线.53第53页xyzo54第54页1.空间曲面
35、空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴柱面轴柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.圆锥面方程圆锥面方程时时 叫标准圆锥面叫标准圆锥面.yoz面上曲线面上曲线f(y,z)=0绕绕绕绕z轴旋转一周所成轴旋转一周所成旋转旋转曲面方程：曲面方程：内容小结内容小结55第55页2.二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面:56第56页BB57
36、第57页空间曲线可视为两曲面交线空间曲线可视为两曲面交线,其普通方程为方程组其普通方程为方程组比如比如,方程组方程组 表示圆柱面与平面交线表示圆柱面与平面交线 C，是空间一个椭圆，是空间一个椭圆.C一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程补补58第58页又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面交线表示上半球面与圆柱面交线C.因为因为因为因为是上半球面是上半球面是上半球面是上半球面,是圆柱面是圆柱面是圆柱面是圆柱面,交线如图交线如图交线如图交线如图,叫维维尼曲线叫维维尼曲线叫维维尼曲线叫维维尼曲线59第59页比如比如:以下方程组各表示怎样曲线？以下方程组各表示怎样曲线？所以，空间曲线方程所以，
37、空间曲线方程是不唯一是不唯一.60第60页三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影CCC关于关于 投影柱面投影柱面C在在 上投影曲线上投影曲线Oxzy设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面投影柱面方面投影柱面方程应为消程应为消z后方程：后方程：所以所以C在在xoy面上投影曲线方程为：面上投影曲线方程为：61第61页例例例例3.3.解：解：解：解：代入消元代入消元代入消元代入消元求交线求交线求交线求交线C C投影曲线方程投影曲线方程投影曲线方程投影曲线方程.由所给方程相减得：由所给方程相减得：由所给方程相减得：由所给方程相减得：消去消去消去消去z z得关于得关于得关于得关于xoy面面面
38、面投影柱面投影柱面投影柱面投影柱面方程为方程为方程为方程为则交线则交线则交线则交线C C在在在在xoyxoy面上面上面上面上投影曲线投影曲线投影曲线投影曲线方程为：方程为：方程为：方程为：在在在在xoy面上面上面上面上62第62页总之总之:设空间曲线设空间曲线C消去消去 z得投影柱面得投影柱面xoy 面上投影曲线方程面上投影曲线方程与与xoy 面方程联立得面方程联立得C 在在消去消去 x 得得C 在在yoz 面上投影曲线方程面上投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上投影曲线方程面上投影曲线方程63第63页oyzx例例4.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转曲面与平面轴旋转曲面与平面 交线在交
39、线在 xoy 平面投影曲线方程平面投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面投影柱面方程为面投影柱面方程为 所以所以 此曲线在此曲线在 xoy 面上投影曲线方程为面上投影曲线方程为,它与所给平面它与所给平面64第64页例例5 5 求曲线求曲线 在坐标面上投影在坐标面上投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上投影为面上投影为65第65页所以在所以在 面上投影为线段面上投影为线段.（3）同理在）同理在 面上投影也为线段面上投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，66第66页比如比如,所围立体在 xOy 面上投影区域为:上半球面和锥面在 xOy 面上投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xOy 面上投影曲线所围之域.67第67页补充补充:空间立体或曲面在坐标面上投影空间立体或曲面在坐标面上投影.空间立体空间立体曲面曲面68第68页