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1、人不拼怎知输赢人不拼怎知输赢余弦定理的奥秘余弦定理的奥秘余弦定理对于已知两边及其夹角、已知三边或已知两角及一对边求解三角形的问题起着很重要的作用，定理丰富的内涵也是命题者命制试题的来源.下面以三角形中角A的余弦公式cos A=b2+c2-a22bc为例，谈谈如何提供给学生相应的解题思路.一、乘法公式价值高，模型构造威力显一、乘法公式价值高，模型构造威力显观察角A的余弦公式，发现分子为b2+c2-a2，变形可得(b+c)2-a2-2bc.由此可利用乘法公式设计构造出平方差公式，再变形构造出余弦公式.1 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(b-c)(sin B+sin C)=(a
2、-3c)sin A，则角B的大小为()A.30B.45C.60D.120二、平方关系真给力，夹角范围确定易二、平方关系真给力，夹角范围确定易观察角A的余弦公式，发现分子为b2+c2-a2，比较分子与0的大小，可得：当b2+c2a2时，cos A0，此时角A为锐角；当b2+c2=a2时，cos A=0，此时角A为直角；当b2+c2a2时，cos A0，此时角A为钝角.2 在非等边ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(B+C)a2时，cos A0，此时角A为锐角；当b2+c2=a2时，cos A=0，此时角A为直角；当b2+c2a2时，cos A0，此时角A为钝
3、角.2在非等边ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(B+C)sin2B+sin2C，则角A的取值范围为3，2.解析：由于sin(B+C)=sin(-A)=sin A，所以sin2(B+C)sin2B+sin2C可转化为sin2Asin2B+sin2C，由正弦定理得 a2 0，所以 cos A=b2+c2-a22bc 0，即 0 A 3，则有3A2，即角A的范围为3，2.三、周长面积“影子”现，相互依存和谐见三、周长面积“影子”现，相互依存和谐见余弦公式通过变形可得：cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-a2-2bc2bc，从公式中我们可以找到b+
4、c和bc，联想到三角形的周长a+b+c和面积公式12bcsin A，因此命题者可通过给出周长的条件求面积，也可通过给出面积的条件求周长.学科网(北京)股份有限公司1水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢3已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B=1517，a+c=6，三角形的面积为2，则b=2.解析：因为cos B=1517得sin B=817，又因为三角形的面积为2，即S=12acsin B=2，ac=2SsinB=4817=172，又a+c=6，所以有cos B=a2+c2-b22ac=(a+c)2-b2-2ac2ac，解得b2=4，即b=2.四、和、
5、积合作有情意，两根关系来设计四、和、积合作有情意，两根关系来设计余弦公式通过变形可得：cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-a2-2bc2bc，从中我们可以找到b+c和bc，联想到根与系数的关系中的两根之和与两根之积.4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的两边a，b为一元二次方程x2-3x+1=0的两个根且夹角C为60，则三角形的周长为3+6.解析：由 a，b 为一元二次方程 x2-3x+1=0 的两个根，可得 a+b=3，ab=1.又由 cos C=a2+b2-c22ab=(a+b)2-c2-2ab2ab=9-c2-22=12，得c2=6，即c=6，所以三
6、角形的周长为3+6.五、加法、乘法巧联系，最值获取最省力五、加法、乘法巧联系，最值获取最省力由于cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-a2-2bc2bc，公式中含有bc与b+c，bc与b2+c2，联想到不等式bcb+c22和bcb2+c22.5ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a+b-c)(a+b+c)=ab，c=3，求当ab取得最大值时，三角形的面积.解：由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2-c2=ab，则有a2+b2-3=-ab，即3-ab=a2+b2，由基本不等式可得，3-ab=a2+b22ab，得ab1(当且仅当a=b时取等号).又由a2+b
7、2-c2=-ab，得cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，所以sin C=32，当ab取得最大值1时，SABC=12absin C=12132=34.学科网(北京)股份有限公司2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢练习练习6已知ABC的外接圆半径为4，sinB+sinC=34，sinBsinC=964，则ABC的面积S为()A.558B.9 5532C.21 5564D.27 5564详解：由sinB+sinC=34，sinBsinC=964，解得sinB=sinC=38，由正弦定理可得b=2RsinB=3，c=2RsinC=3，所以B=C，sinA=s
8、in(-2B)=sin2B=2sinBcosB=2381-382=34558=3 5532，SABC=12bcsinA=1293 5532=27 5564.7(多选)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosBcosC=b2a-c，SABC=3 34，且b=3，则()A.cosB=12B.cosB=32C.a+c=2 3D.a+c=3 2详解：cosBcosC=b2a-c，由正弦定理可得cosBcosC=sinB2sinA-sinC，整理可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinAco
9、sB，A为三角形内角，sinA0，cosB=12，B(0,)，B=3，故A正确，B错误；SABC=3 34，b=3，3 34=12acsinB=12ac32=34ac，解得ac=3，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9，解得a+c=2 3 或a+c=-2 3(舍去)，故C正确，D错误.8(多选)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 a2+c2-b2tanB=3ac，则B的值为()A.6B.3C.56D.23学科网(北京)股份有限公司3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢详解：根据余弦定理可
10、知a2+c2-b2=2accosB，代入 a2+c2-b2tanB=3ac，可得2accosBsinBcosB=3ac，即sinB=32，因为0B，所以B=3或B=23.9a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边已知a2+b2=52c2，则cosC的最小值为详解：由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-25a2+b22ab=35a2+b22ab352ab2ab=35当且仅当a=b时，取等号.所以cosC的最小值为3510已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=7，点D为AC边的中点，已知BD AC=252，则当角C取到最大值时cosC等于.详解：点D为AC边的中点，BD AC=252则BD AC=12BC+BA BC-BA=12BC 2-12BA 2=252，即12a2-12c2=252，因为a=7，所以c=2 6，由c0，所以由基本不等式得：cosC=114b+25b17b25b=57当且仅当b=25b，即b=5时等号成立，此时角C取到最大值学科网(北京)股份有限公司4