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1、第 1页南山中学高二下期数学期末热身考试数学试题南山中学高二下期数学期末热身考试数学试题一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知等差数列 na的前n项和为nS，11a，59a，则10S的值为（）A70B80C90D100255xy的展开式中23x y的系数为（）A50B100C50D1003 某校高中三年级 1600 名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩 X 服从正态分布2100,N（试卷满分为 150 分），统计结果显示，数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成
2、绩不低于 120 分的学生人数约为（）A200B150C250D1004已知等比数列 na的公比为12，前n项和为nS.若231mS，32mS，则m（）A3B4C5D75若曲线1exyx有两条过点,0A a的切线，则a的取值范围是（）A,13,B3,1C,3 D,31,6某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了 3 门选修课供学生选择，现有 5 名同学参加选课走班的活动，要求这 5 名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则 5 名同学选课的种数为（）A150B180C240D5407如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0,0出发，每隔1s等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动
3、 6 次后位于2,4的概率为（）A116B115C1532D15642024 年年 6 月月第 2页8若实数,x y z满足2,ln()yxz zxyxy，则下列不等式错误的是（）Aln()xyxyB0 x C0y Dzxy二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9设 na是等差数列，nS是其前 n 项的和.且56SS，678SSS，则下面结论正确的是（）A0d B70a C6S与7S均为nS的最大值D满足0nS 的n的最小值为 1410在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项
4、的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”如数列 1，3，第 1 次“和扩充”后得到数列 1，4，3；第 2 次“和扩充”后得到数列 1，5，4，7，3；依次扩充，记第*n nN次“和扩充”后所得数列的项数记为nP，所有项的和记为na，数列 na的前n项为nS，则（）A121nnPB满足2024nP 的n的最小值为 11C131nnaD1323nnSn11.设函数3()1()f xxaxaR，则（）A当0a 时，直线1y 不是曲线()yf x的切线B当3a 时，函数()yf x有三个零点C若()f x有三个不同的零点123xxx，则1230 xxxD若曲线()yf x上有且
5、仅有四点能构成一个正方形，则2 2a 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12已知函数 23 exfxx，则 fx的极小值点为13在32()nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为 64，则各项的系数的绝对值之和为14我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法给出了著名的杨辉三角，由此可见我国第 3页古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为1a，第二条斜线之和为2a，第三条斜线之和为3a，以此类推，组成数列 na.例如1231,1,11,aaa若2024211knnaa，则k.四、解答题：本题共 5 小题，共
6、77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）设数列 na的前n项和为1,1nSa，且12nnnaS(1)求数列 na的通项公式；(2)若1221nnnnnaabaa，数列 nb的前n项和为*,nnTnTm N恒成立，求实数m的最小值16（15 分）为迎接 2024 新春佳节，某地 4S 店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取 50 个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的 50 个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示(1)从这 50 个模型中随机取 1 个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求 P B和P B A，并判
7、断事件A与B是否相互独立；(2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿 2 个盲盒对其中的模型给出以下假设：假设 1：拿到的 2 个模型会出现 3 种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色假设 2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高假设 3：该抽奖活动的奖金额为一等奖 3000 元、二等奖 2000 元、三等奖 1000 元请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望（精确到元）.红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155第 4页17（15 分）已知函数3()exf xaxa(1)当1a 时，求曲线()yf x在点1,(1)f处的切线方
8、程；(2)若()f x有极小值，且极小值小于 0，求实数 a 的取值范围18（17 分）在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答n道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为13，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为23.(1)若3n，考生甲第 1 道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为X，求X的分布列与期望；(2)若10n，且考生甲答对第 1 道试题，求他第 10 道试题也答对的概率.19（17 分）已知函数 322133f xxaxa x，aR(1)讨论 f x的单调性；(2)当1a 时，以 00,0Af为切点，作直线1l交 f x的图象于异于0A的点 11
9、1,A xf x，再以1A为切点，作直线2l交 f x的图象于异于1A的点222,Axf x，依此类推，以,nnnAxf x为切点，作直线1nl交 f x的图象于异于nA的点111,nnnAxf x，其中nN求 nx的通项公式；(3)在(2)的条件下，证明：1231111(1)(1)(1)(1)e1111nxxxx.请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效.（15分）17第3页 共6页请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效.（15分）16第2
10、页 共6页请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效班级姓名学校准考证号01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789正确填涂错误填涂考生禁填缺考违规注意事项.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。1.客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。2.主观题必须使用黑色签字笔书写。3.必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。4.保持答卷清洁完整。5(由监考老师填涂)客观题
11、(共11题)1ABCD2ABCD3ABCD4ABCD5ABCD6ABCD7ABCD8ABCD9ABCD10ABCD11ABCD填空题(共3小题，每小题5分，共15分)、121314.（13分）15第1页 共6页绵阳南山中学2024年春高2022级期末热身考试数学答题卡请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效第6页 共6页请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效.（17分）19第5页 共6页请保持答题卡干净整洁，不要污损请在各题目的作答区域内作答
12、，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效.（17分）18第4页 共6页南山中学高二南山中学高二下期下期数学数学期末热身考试期末热身考试数学数学（参考答案）（参考答案）一、单选题：题号12345678答案DCACDADB二、多选题：题号91011答案BCDBDBCD三、填空题：12.x=113.729(或 36)14.4049四、解答题：15.解（1）因为12nnnaS，所以当2n 时，112nnnaS，由得到1(1)22nnnnanaa，整理得到1(1)nnnana，又11a，所以0na，得到11nnanan，4 分所以当2n 时，122112
13、31121121nnnnnnnaaaannaanaaaann，当1n，满足nan，所以nan.7 分（2）由（1）知122222212111(1)(1)nnnnnaanbaan nnn，9 分所以1222222211111111223(1)(1)nnTbbbnnn ，11 分因为210(1)n，且0nb，所以nT是关于n的递增数列，由*,nnTm N恒成立，得到1m，所以实数m的最小值为1.13 分16.解：（1）模型内饰为米色的共有 20 个，所以 12015025CP BC，2 分红色外观的模型有 35 个，其中内饰为米色的共有 15 个，所11513537CP B AC，4 分红色外观模
14、型且内饰为米色的共有 15 个，所以115150310CP ABC，135150710CP AC，6 分因为 P ABP A P B，所以A，B不独立；7 分（2）设事件C“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件D=“取出的模型外观和内饰都异色”，事件E“仅外观或仅内饰同色”，2222201015525027CCCCP CC，9 分111120510152501049C CC CP DC，11 分 11111111201510520101552502549C CC CC CC CP EC，13 分因为 P EP CP D，所以获得一等奖的概率为1049，二等奖的概率为27，三等奖的概率为2549
15、，其分布列为14 分X300020001000P1049272549期望为10225300020001000169449749E X.15 分17.解:（1）当1a 时，则()e1xf xx，()e1xfx，可得(1)e2f，(1)e 1f，3 分即切点坐标为1,e2，切线斜率e1k，所以切线方程为e2e 11yx，即e 110 xy.5 分（2）解法一：因为()f x的定义域为R，且()exfxa，若0a，则()0fx对任意xR恒成立，可知()f x在R上单调递增，无极值，不合题意；7 分若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在,lna内单调递减，在l
16、n,a内单调递增，9 分则()f x有极小值3lnlnfaaaaa，无极大值，11 分由题意可得：3lnln0faaaaa，即2ln10aa，构建 2ln1,0g aaaa，则 120gaaa，13 分可知 g a在0,内单调递增，且 10g，不等式2ln10aa 等价于 1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为1,；15 分解法二：因为()f x的定义域为R，且()exfxa，若()f x有极小值，则()exfxa有零点，令()e0 xfxa，可得exa，可知exy 与ya有交点，则0a，若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在,lna内单调递减，
17、在ln,a内单调递增，则()f x有极小值3lnlnfaaaaa，无极大值，符合题意，由题意可得：3lnln0faaaaa，即2ln10aa，构建 2ln1,0g aaaa，因为则2,ln1yaya在0,内单调递增，可知 g a在0,内单调递增，且 10g，不等式2ln10aa 等价于 1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为1,.(参考解法一：酌情给分)18.解:（1）由题可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且1111023318P X，2 分121122112412332332339P X 4 分112122121422332332339P X 6 分1111323318P X 8
18、 分X的分布列为9 分X0123P1184949118则1441301231899182E X .10 分（2）设iA“考生甲答对第i道试题”，则1112,33iiiiP AAP AA，12 分 1111233iiiiiiiiiP AP A P AAP A P AAP AP A121213333iiiP AP AP A，则1111232iiP AP A.14 分因为11122P A，所以12iP A是以12为首项，13为公比的等比数列，则1111223iiP A，即1111223iiP A，则91091111122322 3P A，即他第 10 道试题也答对的概率为91122 3.17 分19
19、.解：（1）22233fxxaxaxaxa若0a，当,3,xaa 时，0fx；当,3xaa时，0fx故 f x在,a上单调递增，在,3aa上单调递减，在3,a上单调递增2 分若0a，则 20fxx，则 f x在R上单调递增3 分若0a，当,3,xaa 时，0fx；当3,xa a 时，0fx故 f x在,3a 上单调递增，在3,a a上单调递减，在,a 上单调递增5 分综上所述：当0a 时，f x在,a上单调递增，在,3aa上单调递减，在3,a上单调递增；当0a 时，则 f x在R上单调递增；当0a 时，f x在,3a 上单调递增，在3,a a上单调递减，在,a 上单调递增（2）当1a 时，32
20、133f xxxx，223fxxx，切点321,33nnnnnAxxxx7 分切线斜率：223nnxx，故切线方程为：23212333nnnnnnyxxxxxxx联立得：2323211233333nnnnnnxxxxxxxxxx化简得：32232336230nnnnxxxxxxx因式分解得：2230nnxxxx故123nnxx 9 分上式亦满足由0A作切线而得到的1A的横坐标1x，故13x 1121nnxx ，则1nx 是以2为首项，以2为公比的等比数列故12nnx ，故21nnx 11 分（3）构造 ln 1g xxx，0 x 11011xgxxx，故 g x在0,上单调递减，故 00g xg故当0 x 时，ln 1xx13 分故1111ln 11122nnnnxx则1111ln 112x，2211ln 112x，11ln 112nnx 15 分将上式累加，得111111111111ln 1ln 1ln 111112222nnxxx 故12111ln1111111nxxx故12311111111e1111nxxxx17 分