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1、第十章 概 率10.1 10.1 随机事件与概率随机事件与概率 10.110.1.2.2 事件的关系和运算事件的关系和运算一二三学习目标了解随机事件的并、交与互斥的含义能够利用维恩图理解随机事件当中的（和事件、积事件）运算能结合实例进行随机事件的并与交运算学习目标复习回顾1.样本空间样本空间有关概念：有关概念：(2)样本空间：样本空间：全体样本点的集合，全体样本点的集合，用用表示表示.2.随机事件随机事件有关概念：有关概念：(1)基本事件基本事件:只包含一个样本点的事件只包含一个样本点的事件.(3)事件事件A发生：发生：当且仅当当且仅当A中某个样本点出现中某个样本点出现.(4)必然事件：必然事
2、件：在每次试验中总有一个样本点发生在每次试验中总有一个样本点发生.为必然事件为必然事件.(5)不可能事件不可能事件：在每次试验中都不会发生在每次试验中都不会发生.为不可能事件为不可能事件.(2)随机事件随机事件(简称事件简称事件)：样本空间样本空间的子集的子集.(1)样本点：样本点：随机试验随机试验E的每个可能的基本结果，的每个可能的基本结果，用用表示表示.从前面的学习中可以看到，我们在从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事一个随机试验中可以定义很多随机事件件.这些事件有的简单，有的复杂这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂我们希望从简单事件的概
3、率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算事件之间的关系和运算.新知探究探究 在在掷骰子的试验掷骰子的试验中中,观察观察骰子朝上面的骰子朝上面的点数点数,我们我们可以定义许多可以定义许多事件事件,例如：例如：Ci=“点数为点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；D1=“点数不大于点数不大于3”,D2=“点数大于点数大于3”；E1=“点数为点数为1或或2”,E2=“点数为点数为2或或3”；F=“点数为偶数点数为偶数”,G=“点数为奇数点数为奇数”；你你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合集合的形式表示这些事
4、件，的形式表示这些事件，借助借助集合与集合的关系与运算集合与集合的关系与运算，你能发现这些，你能发现这些事件之间的联系事件之间的联系吗？吗？C1=1；C2=2；C3=3；C4=4；C5=5；C6=6；D1=1,2,3；D2=4,5,6；E1=1,2；E2=2,3;F=2,4,6;G=1,3,5;新知探究探究 在在掷骰子的试验掷骰子的试验中中,观察观察骰子朝上面的骰子朝上面的点数点数,我们我们可以定义许多可以定义许多事件事件,例如：例如：Ci=“点数为点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；D1=“点数不大于点数不大于3”,D2=“点数大于点数大于3”；E1=“点数为点数为1或或2”,E2=“点
5、数为点数为2或或3”；F=“点数为偶数点数为偶数”,G=“点数为奇数点数为奇数”；你你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合集合的形式表示这些事件，的形式表示这些事件，借助借助集合与集合的关系与运算集合与集合的关系与运算，你能发现这些，你能发现这些事件之间的联系事件之间的联系吗？吗？C1=1；C2=2；C3=3；C4=4；C5=5；C6=6；D1=1,2,3；D2=4,5,6；E1=1,2；E2=2,3;F=2,4,6;G=1,3,5;新知探究问题1 用用集合的形式表示集合的形式表示事件事件C1=“点数为点数为1”和事件和事件G=“点数为奇数点
6、数为奇数”，借助集，借助集合与集合的关系和运算合与集合的关系和运算，这些，这些事件之间事件之间的关系如何？的关系如何？C1=1和和G=1,3,5如果如果事件事件C1发生发生，那么，那么事件事件G一定发生一定发生.集合表示：集合表示：即即事件事件G包含包含事件事件C1.包含关系 一般地，若一般地，若事件事件A发生，则事件发生，则事件B一一定发生定发生，我们就称，我们就称事件事件B包含事件包含事件A(或或事件事件A包含于事件包含于事件B)，记记作作 如图示如图示.特别地，如果特别地，如果事件事件B包含事件包含事件A，事件事件A也包含也包含B，即即 则则称事件称事件A与事件与事件B相等相等，记作，记
7、作A=B.AB新知探究问题2 用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件D1=“点数不大于点数不大于3”、事件、事件E1=“点数为点数为1或或2”和事件和事件E2=“点点数为数为2或或3”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？D1=1,2,3,E1=1,2和和E2=2,3.事件事件E1和和事件事件E2至少有一个发生至少有一个发生，相当于，相当于事件事件D1发生发生.集合表示：集合表示：这时我们称事件这时我们称事件D1为事件为事件E1和事件和事件E2的的并事件并事件.一般地，一般地，若事件若事件A和事件和事件B至少有一个发生至少
8、有一个发生，这样的一个事件中的样本这样的一个事件中的样本点点或者在事件或者在事件A中中，或或者在事件者在事件B中中，我们就称这个事件为事件，我们就称这个事件为事件A与事与事件件B的的并事件(或或和事件)，记，记作作 (如右图所如右图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件事件)AB并事件（和事件）新知探究问题3 用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件C2=“点数为点数为2”，事件，事件E1=“点数为点数为1或或2”和事件和事件E2=“点数为点数为2或或3”借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？C1
9、=2,E1=1,2,E2=2,3.事件事件E1和和事件事件E2同时同时发生，发生，相当于相当于事件事件C2发生发生，集合表示集合表示:这时我们称事件这时我们称事件C2为事件为事件E1和事件和事件E2的的交事件交事件.交事件（积事件）一般地，一般地，若事件若事件A与事件与事件B同时发生同时发生，这样的一个事件中的样本点这样的一个事件中的样本点既在事件既在事件A中，也在事件中，也在事件B中中，我们就称这样的一，我们就称这样的一个事件为事件个事件为事件A与事件与事件B的的交事件(或或积事件)，记，记作作 (如右图所如右图所示的蓝色示的蓝色区域区域)AB新知探究问题4 用集合的形式表示事件用集合的形式
10、表示事件C3=“点数为点数为3”和事件和事件C4=“点数为点数为4”，借助集合与集合的，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系是什么？关系和运算，这些事件之间的联系是什么？C3=3，C4=4事件事件C3与事件与事件C4不可能同时发生不可能同时发生.集合表示：集合表示：这时我们称事件这时我们称事件C3与事件与事件C4互斥互斥.互斥事件 一般地，一般地，若事件若事件A与事件与事件B不能不能同时发生同时发生，也就是说，也就是说AB是一个是一个不不可能事件可能事件，即，即AB=，我们就称我们就称事件事件A与事件与事件B互斥（或（或互不相容）.（如右图所示）（如右图所示）AB（1）事件）事件A与
11、事件与事件B在任何一次在任何一次 试验中不会同时发生。试验中不会同时发生。（2 2）两事件同时发生的概率为）两事件同时发生的概率为0 0。注：事件注：事件A与事件与事件B互斥时互斥时新知探究问题5 用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件F=“点数为偶数点数为偶数”和事件和事件G=“点数为奇数点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？F=2,4,6，G=1,3,5在任何一次试验中在任何一次试验中,事件事件F与事件与事件G两者两者只能发生其中之一只能发生其中之一,而且而且也必然发生其中之一也必然发生其中之一.集合表示
12、集合表示：FG=且且FG=称事件称事件F与事件与事件G互为互为对立事件对立事件 一般地，若事件一般地，若事件A和事件和事件B在任何一次试在任何一次试验中验中有且仅有一个发生有且仅有一个发生，即即AB=，且，且AB=，我们就称事件我们就称事件A与事件与事件B互为对立互为对立.事件事件A的对立事件记作的对立事件记作 .（如右（如右图所图所示）示）对立事件A追问 具有这种关系的事件还有那些？具有这种关系的事件还有那些？D1与D2.（1）事件事件A与事件与事件B在任何一次在任何一次 试验中有且仅有一个发生。试验中有且仅有一个发生。注：事件注：事件A与事件与事件B对立对立时时（2）A B为不可能事件，为
13、不可能事件，A B为必然事件为必然事件（3 3）对立事件一定是）对立事件一定是互斥事件，互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。但互斥事件不一定是对立事件。新知探究问题6 “对立事件对立事件”、“互斥事件互斥事件”都是指都是指不会同时发生的事件，那么这不会同时发生的事件，那么这两种事件之间的关系有什么异同呢？两种事件之间的关系有什么异同呢？互斥事件可以是互斥事件可以是两个或两个以上事件两个或两个以上事件的关系的关系，而，而对立事件对立事件只针对两个事只针对两个事件件而言而言.从定义上看，从定义上看，两个互斥事件有可能两个互斥事件有可能都不发生都不发生，也可能，也可能有一个发生有一个发生，就是不可
14、能同时发生；，就是不可能同时发生；对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有必须要有一个发生一个发生.因此，因此，对立事件是互斥事件对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件互斥事件不一定是对立事件不一定是对立事件.归纳小结综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生AB并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至
15、少一个发生AB或或A+B交事件交事件(积事件积事件)A与与B同时发生同时发生AB或或AB互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生AB=互为对立互为对立A与与B有且仅有一个发生有且仅有一个发生AB=,AB=类似类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件事件A,B,C，ABC(或或A+B+C)发生发生当且仅当当且仅当A,B,C中中至少一至少一个发生个发生，ABC(或或ABC)发生发生当且仅当当且仅当A,B,C同时发生同时发生，等等，等等.典例解析例5 如图示，如图示，由甲、乙两个元件组成由甲、乙两
16、个元件组成一个一个并联电路并联电路，每个，每个元件可能正常元件可能正常或失效或失效.设设事件事件A=“甲元件正常甲元件正常”，B=“乙元件正常乙元件正常”.(1)写出写出表示两个元件工作状态的表示两个元件工作状态的样本空间；样本空间；(2)用用集合的形式表示事件集合的形式表示事件A，B以及它们的以及它们的对立事件；对立事件；(3)用用集合的形式表示事件集合的形式表示事件AB和和事件事件 ，并说明它们的含义及关并说明它们的含义及关系系.乙乙甲甲解：解：(1)用用x1,x2分别分别表示甲、乙两个元件的状态，表示甲、乙两个元件的状态，则则可以可以用用(x1,x2)表示这个并联电路的状态表示这个并联电
17、路的状态.用用1表示元件正常，表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间表示元件失效，则样本空间为为=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)根据题意根据题意,可得可得 A=(1,0),(1,1),B=(0,1),(1,1)，=(0,0),(0,1),=(0,0),(1,0).典例解析例5 如图示，如图示，由甲、乙两个元件组成由甲、乙两个元件组成一个一个并联电路并联电路，每个，每个元件可能正常元件可能正常或失效或失效.设设事件事件A=“甲元件正常甲元件正常”，B=“乙元件正常乙元件正常”.(1)写出写出表示两个元件工作状态的表示两个元件工作状态的样本空间；样本空间；(2)用用集合的
18、形式表示事件集合的形式表示事件A，B以及它们的以及它们的对立事件；对立事件；(3)用用集合的形式表示事件集合的形式表示事件AB和和事件事件 ，并说明它们的含义及关并说明它们的含义及关系系.乙乙甲甲 AB 和和 互互为对立事件为对立事件.(3)AB=(0,1),(1,0),(1,1),=(0,0);AB表示电路工作正常表示电路工作正常，表示电路表示电路工作不工作不正常正常.典例解析例6 一个袋子中有大小和质地相同的一个袋子中有大小和质地相同的4个个球球,其中其中有有2个红色球个红色球(标号为标号为1和和2)，2个绿色个绿色球球(标号为标号为3和和4),从从袋中不放回地依次随机摸出袋中不放回地依次
19、随机摸出2个球个球.设事件设事件R1=“第一次摸到红第一次摸到红球球”，R2=“第二次摸到红第二次摸到红球球”，R=“两次都摸到红两次都摸到红球球”，G=“两次都摸到绿两次都摸到绿球球”，M=“两个球颜色两个球颜色相同相同”，N=“两个球颜色两个球颜色不同不同”.(1)用用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件事件R与与R1，R与与G，M与与N之间各有什么关系？之间各有什么关系？(3)事件事件R与事件与事件G的并事件与事件的并事件与事件M有什么关系？有什么关系？事件事件R1与事件与事件R2的交事件与事的交事件与事件件R有什么关
20、系？有什么关系？解：解：(1)所有所有的试验结果如图所示的试验结果如图所示.用用数组数组(x1,x2)表示表示可能的结果，可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试是第二次摸到的球的标号，则试验的验的样本空间样本空间为为=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).R1=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),R2=(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2),R=(1,2),(2,1
21、),G=(3,4),(4,3),M=(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)，N=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2).典例解析例6 一个袋子中有大小和质地相同的一个袋子中有大小和质地相同的4个个球球,其中其中有有2个红色球个红色球(标号为标号为1和和2)，2个绿色个绿色球球(标号为标号为3和和4),从从袋中不放回地依次随机摸出袋中不放回地依次随机摸出2个球个球.设事件设事件R1=“第一次摸到红第一次摸到红球球”，R2=“第二次摸到红第二次摸到红球球”，R=“两次都摸到红两次都摸到红球球”，G=“两次都摸到绿两次都摸到绿球球”，M
22、=“两个球颜色两个球颜色相同相同”，N=“两个球颜色两个球颜色不同不同”.(2)事件事件R与与R1，R与与G，M与与N之间各有什么关系？之间各有什么关系？(3)事件事件R与事件与事件G的并事件与事件的并事件与事件M有什么关系？有什么关系？事件事件R1与事件与事件R2的交事件与事的交事件与事件件R有什么关系？有什么关系？解解：(2)RR1,R1包含事件包含事件R；RG=,事件事件R与事件与事件G互斥；互斥；MN=,MN=，事件事件M与事件与事件N互为对立事件互为对立事件.(3)RG=M，事件事件M是事件是事件R与事件与事件G的并事件的并事件.R1R2=R，事件事件R是事件是事件R1与事件与事件R
23、2的交事件的交事件.巩固练习课本课本P235 1.某人某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次至少一次中靶中靶”互为对互为对立的是立的是().(A)至多至多一次中一次中靶靶 (B)两两次都中次都中靶靶 (C)只有只有一次中一次中靶靶 (D)两两次都没有中次都没有中靶靶D变式 某某人连续射击人连续射击3次次，则事件，则事件“至少击中两次至少击中两次”的的对立对立事件是事件是()A恰有一次击中恰有一次击中 B三次都没击中三次都没击中 C三次都击中三次都击中 D至多击中一次至多击中一次D练习把把红、蓝、黑、白红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁张
24、纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一个人，每人分得一张，事件张，事件“甲分得红牌甲分得红牌”与事件与事件“乙分得红牌乙分得红牌”是是()A.对立事件对立事件 B.互斥但不对立事件互斥但不对立事件 C.不可能事件不可能事件 D.以上都不对以上都不对B巩固练习课本课本P2352.抛掷抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：随机事件：Ci=“点数为点数为i”，其中其中i=1,2,3,4,5,6；D1=“点数点数不大于不大于2”，D2=“点数大于点数大于2”,D3=“点数大于点数大于4”；E=“点数为奇数点数为奇数”，F=“点数为偶数点数为偶数”.判断判断下列结论是否
25、下列结论是否正确正确.(1)C1与与C2互斥；互斥；(2)C2,C3为为对立事件；对立事件；(3)C3 D2；(4)D3 D2；(5)D1D2=,D1D2=；(6)D3=C5C6；(7)E=C1C3 C5；(8)E,F为为对立事件；对立事件；(9)D2D3=D2；(10)D2D3=D3.课堂小结本节课你学会了哪些主要内容？事件的关系及运算事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生AB并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至少一个发生AB或或A+B交事件交事件(积事件积事件)A与与B同时发生同时发生AB或或AB互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生AB=互为对立互为对立A与与B有且仅有一个发生有且仅有一个发生AB=,AB=