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1、2024 年高考全国甲卷数学（文）真题一、单选题1集合 A =1, 2,3, 4,5,9， B = x x +1 A，则 AI B = （ ）A1, 2,3, 4 B1, 2,3 C3, 4 D1, 2,92设 z = 2i ，则 z z = （ ）A-i B1 C-1 D23若实数 x, y 满足约束条件4x -3y -3 0x -2y -2 0 ，则 z = x - 5y 的最小值为（ ） + - 2x 6y 9 0A5 B12C -2 D -724等差数列a 的前 n 项和为 S ，若n nS = ，9 1a + a = （ ）3 7A-2 B73C1 D295甲、乙、丙、丁四人排成一列
2、，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A14B13C12D23y x2 2 - = 的上、下焦点分别为 F1 (0, 4),F2 (0,-4)，点 P(-6, 4)在该双曲线上，则该双6已知双曲线C : 1(a 0,b 0)a b2 2曲线的离心率为（ ）A4 B3 C2 D 27曲线 f (x)= x6 +3x-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A16B32C12D -328函数 ( ) ( )f x = -x2 + ex - e-x sinx 在区间-2.8,2.8的大致图像为（ ）A B C D9已知cosacosa -sina=3，则 tan a + =（ ） 4A
3、2 3 +1 B 2 3 -1 C32D1- 310设a、b 是两个平面， m、n是两条直线，且a I b = m .下列四个命题：若 m/ n，则 n / /a 或 n / /b 若m n ，则 n a,n b若 n / /a ，且 n / /b ，则 m/ n 若n 与a 和 b 所成的角相等，则m n1其中所有真命题的编号是（ ）A B C D 2 911在 VABC 中内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c ，若 b = ac ，则sinA + sinC = （ ）B = ，34A32B 2 C72D32二、填空题12函数 f (x) = sin x - 3 cos x 在0,
4、上的最大值是 13已知 a 1 ，1 1 5- = - ，则a = log a log 4 28 a14曲线y = - x - + a 在(0,+ )上有两个不同的交点，则 a 的取值范围为 2y = x3 - 3x 与 ( 1)三、解答题15已知等比数列a 的前 n 项和为 = - .S ，且 2S 3a 3 n n n n +1(1)求 a 的通项公式；n(2)求数列S 的通项公式.n16如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为等腰梯形，BC / /AD,EF / /AD ，AD = 4, AB = BC = EF = 2， ED =
5、 10, FB = 2 3 ， M 为 AD 的中点.(1)证明： BM / 平面CDE ；(2)求点 M 到 ABF 的距离.217已知函数 f (x)= a(x -1)- ln x +1(1)求 f (x)的单调区间；(2)若a 2时，证明：当 x 1时， f (x) b 0)的右焦点为 F ，点a b2 2M 3 1,在C 上，且 MF x 轴 2(1)求C 的方程；(2)过点 P(4, 0)的直线与C 交于 A, B 两点， N 为线段 FP 的中点，直线 NB交直线 MF 于点Q ，证明： AQ y 轴19在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极
6、坐标系，曲线C 的极坐标方程为r = rcosq +1.(1)写出C 的直角坐标方程；x = t(2)设直线 l： y = t + a（t 为参数），若C 与 l 相交于 A、B 两点，若 AB = 2 ，求 a 的值.20实数 a,b 满足 a +b 3(1)证明：2a2 + 2b2 a + b；(2)证明：a - 2b + b - 2a 6 2 232024 年高考全国甲卷数学（文）真题参考答案：1A【分析】根据集合 B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合 B 中的元素 x ，满足 x +1=1, 2,3, 4,5,9 ，则 x 可能的取值为0,
7、1, 2,3, 4,8，即 B =0,1, 2, 3, 4,8，于是 A B =1, 2,3, 4.故选：A2D【分析】先根据共轭复数的定义写出 z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得， z = - 2i ，故 zz = -2i2 = 2 .故选：D3D【分析】画出可行域后，利用 z 的几何意义计算即可得.【详解】实数 x, y 满足4x -3y -3 0x - 2y - 2 0 + - 2x 6y 9 0，作出可行域如图：由 z = x -5 y可得 1 1y = x - z ， 5 5即 z 的几何意义为1 1y = x - z 的截距的 5 51- ， 5则该直线截距取最大值时，
8、 z 有最小值，此时直线1 1y = x - z 过点 A ， 5 5 34x - 3y - 3 = 0 x =联立 2，解得2x + 6y - 9 = 0 =y 1，即 3 A ,1 ， 2则3 7z = -51= - .min2 2故选：D.4D1【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或1者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由S9 =1，根据等差数列的求和公式，98S = 9a + d =1 9a + 36d =1，9 1 122 2又 a + a = a + 2d + a + 6d = 2a +8d = (9
9、a + 36d) = .3 7 1 1 1 19 9故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，a + a = a + a ，由 9 1S = ，根据等差数列的求和公式，1 9 3 7S99(a + a ) 9(a + a ) 2= = =1，故 a + a = .1 9 3 73 72 2 9故选：D方法三：特殊值法1 2不妨取等差数列公差 d = 0 ，则 S =1= 9a a = ，则 a + a = 2a = .9 1 1 3 7 19 9故选：D5B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有 2
10、种排法，丁就1种，共2 种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共 2 种；于是甲排在排尾共 4 种方法，同理乙排在排尾共 4 种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是 A = 24 ，4 4根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为8 1= .24 3故选：B6C【分析】由焦点坐标可得焦距 2c，结合双曲线定义计算可得 2a ，即可得离心率.【详解】由题意， F1 (0,-4)、 F2 (0, 4)、 P(-6, 4)，则 F1F2 = 2c = 8， PF = +( + ) = ， 2 ( )1 6 4 4 10 PF = + - = ， 2
11、222 6 4 4 6则 2a = PF1 - PF2 =10-6 = 4，则e2c 8= = = 2. 2a 4故选：C.27A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】 ( ) 5f x = 6x +3，所以 f (0)= 3，故切线方程为 y = 3(x - 0) -1= 3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为 -1，故切线与坐标轴围成的面积为1 1 11 =2 3 6故选：A.8B【分析】利用函数的奇偶性可排除 A、C，代入 x =1可得 f (1) 0，可排除 D.【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f -x = -x2 + e-x - ex s
12、in -x = -x2 + ex - e-x sin x = f x ，又函数定义域为-2.8, 2.8，故该函数为偶函数，可排除 A、C， 1 1 e 1 1 1又 f ( )1 = -1+ e - sin1 -1+ e - sin = -1- - 0 e e 6 2 2e 4 2e，故可排除 D.故选：B.9B【分析】先将cosacosa-sina弦化切求得 tana ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cosacosa -sina=3，1所以1- tana= 3， tan 1 3 a = - ，3a + = = -p tan a +1所以 tan 2 3 1， 4 1- tan
13、 a故选：B.10A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断；举反例即可判断；根据线面平行的性质即可判断.【详解】对，当n a，因为 m/ n， m b ，则 n / /b ，当 n b ，因为m/ n，m a ，则 n / /a ，当 n既不在a 也不在 b 内，因为 m/ n，m a,m b ，则 n / /a 且n / /b ，故正确；对，若m n ，则 n 与a,b 不一定垂直，故错误；对，过直线 n 分别作两平面与a,b 分别相交于直线 s 和直线t ，因为 n / /a ，过直线 n的平面与平面a 的交线为直线 s ，则根据线面平行的性质定理知 n / /s ，同理可得 n / /t
14、 ，则 s / /t ，因为 s 平面 b ，t 平面 b ，则 s / / 平面 b ，3因为 s 平面a ，a I b = m ，则 s / /m ，又因为 n / /s ，则 m/ n，故正确；对，若a b = m,n 与a 和 b 所成的角相等，如果 n / /a,n / /b ，则 m/ n，故错误；综上只有正确，故选：A.11C1 13【分析】利用正弦定理得sin sinA C = ，再利用余弦定理有 a2 +c2 = ac ，再利用正弦定理得到sin2 A+sin2 C 的3 4值，最后代入计算即可.【详解】因为p 2 9 4 1B b ac= , = ，则由正弦定理得sin A
15、sinC = sin2 B = .3 4 9 32 2 2 9由余弦定理可得:b = a + c - ac = ac ，42 2 13 13 13 sin sin sin sin即: a +c = ac ，根据正弦定理得 2 A+ 2 C = A C = ，4 4 122 2 2 7所以(sin A+ sinC) = sin A+ sin C + 2sin AsinC = ，4因为 A,C 为三角形内角，则sin A+ sinC 0，则sin sin 7 A+ C = .2故选：C.122【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】 ( )= - = - ，当 x0
16、, 时，f x sin x 3 cos x 2sin x 3x 2- - , 3 3 3 ，当 x - = 时，即3 25x = 时， ( )f x max = 2.6故答案为：21364【分析】将log a, log 4利用换底公式转化成log a 来表示即可求解.8 a 21 1 3 1 5- = - log a = - ，整理得( ) log a - a - = ，2【详解】由题 2 2 5 log 6 0log a log 4 log a 2 22 8 a 2 log a = -1或log a = 6 ，又 a 1 ，2 24所以log a = 6 = log 2 ，故 a = 26
17、= 646 2 2故答案为：64.14(-2,1)【分析】将函数转化为方程，令 x - x = -(x - ) + a ，分离参数 a ，构造新函数 ( )3 3 1 g x = x3 + x2 -5x +1,结合导数求2得 g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 x3 -3x = -(x -1) + a ，即 a = x3 + x2 -5x +1，令 ( ) ( )2 3 2 5 1 0 ,g x = x + x - x + x 则 g(x)= 3x + 2x -5 = (3x +5)(x -1)，令 g(x)= 0(x 0)得 x =1，2当 x(0,1)时， g(x)
18、 0， g(x)单调递增， g(0)=1, g(1)= -2，因为曲线 y = x3 - 3x 与 y = -(x - ) + a 在(0,+)上有两个不同的交点，21所以等价于 y = a 与 g(x)有两个交点，所以 a(-2,1).故答案为：(-2,1)15(1) ann-1 5= 3(2)n3 5 3- 2 3 2 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求 Sn .【详解】（1）因为 2Sn = 3an +1 -3 ,故2Sn-1 = 3an -3 ，5所以 ( )2a = 3a -3a n 2 即5a = 3a 故等比数列的公比为q =
19、 ，n n+1 n n n+1355故 2a = 3a -3 = 3a -3 = 5a -3 ，故 1 1 aa = ，故1 2 1 1n3n-1 5 = 3.（2）由等比数列求和公式得Sn n 51 1- 3 3 5 n 3 = = -5 2 3 2 1-3.16(1)证明见详解；(2)6 1313【分析】（1）结合已知易证四边形 BCDM 为平行四边形，可证 BM /CD ，进而得证；（2）作 FO AD ，连接OB ，易证OB,OD,OF 三垂直，结合等体积法 - = - 即可求解.V VM ABF F ABM【详解】（1）因为 BC/AD, BC = 2, AD = 4,M 为 AD
20、的中点，所以 BC/MD,BC = MD ，四边形 BCDM 为平行四边形，所以 BM /CD ，又因为 BM 平面CDE ，CD 平面CDE ，所以 BM / 平面CDE ；（2）如图所示，作 BO AD 交 AD 于O，连接OF ，因为四边形 ABCD为等腰梯形，BC/AD, AD = 4, AB = BC = 2，所以CD = 2 ，结合（1） BCDM 为平行四边形，可得 BM = CD = 2，又 AM = 2 ，所以VABM 为等边三角形，O为 AM 中点，所以OB = 3 ，又因为四边形 ADEF 为等腰梯形， M 为 AD 中点，所以 EF = MD, EF/MD ，四边形 E
21、FMD为平行四边形， FM = ED = AF ，所以AFM 为等腰三角形，V 与AFM 底边上中点O重合，OF AM ，OF = AF 2 - AO2 = 3 ，ABM因为OB2 + OF2 = BF2 ，所以OB OF ，所以OB,OD,OF 互相垂直，由等体积法可得V V- = = = ， V S FOM ABF F ABM- = - ， 1 1 3 22 3 3F ABM ABM3 3 42 22 2 2 10 2 2 3 1 39( ) 2 ( )+ -FA + AB - FB，cosFAB = = = ,sinFAB =2FA AB 2 10 2 2 10 2 101 1 39 3
22、9S = FA AB FAB = = sin 10 2 ，FAB2 2 2 10 21 1 39设点 M 到 FAB 的距离为d ，则 - = - = = = ，V V S d d 3M FAB F ABM FAB3 3 2解得 6 13d = ，即点 M 到 ABF 的距离为136 1313.617(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当 x 1时，ex-1 - 2x +1+ ln x 0 即可.【详解】（1） f (x) 定义域为(0,+)， 1 ax -1f (x) = a - =x x当
23、a 0时，ax -1f (x) = 0时， 1 x ,+ 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增， a当 1 x 0, a时， f (x) 0时， f (x) 在,+ a 1 上单调递增，在 0, a上单调递减.（2） a 2，且 x 1时，ex- - f (x) = ex- - a(x -1) + ln x -1 ex- - 2x +1+ ln x ，1 1 1令 g(x) = ex-1 - 2x +1+ ln x(x 1) ，下证 g(x) 0 即可.-1 1 1h x = - ，( ) ex- g(x) = ex - 2 + ，再令h(x) = g(x)，则 1x x2显然 h
24、(x) 在(1,+) 上递增，则h(x) h(1) = e0 -1= 0，即 g(x) = h(x)在(1,+)上递增，故 g(x) g(1) = e0 - 2 +1= 0 ，即 g(x) 在(1,+)上单调递增，故 g(x) g(1) = e0 - 2 +1+ ln1= 0 ，问题得证18(1)x y2 2+ =4 31(2)证明见解析7【分析】（1）设 F (c,0)，根据 M 的坐标及 MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设 AB : y = k(x - 4) ， A(x y )， ( )1, 1 B x2, y2 ，联立直线方程和椭圆方程，用 A, B 的坐标表示y - y
25、，结合韦达1 Q定理化简前者可得 y1 - yQ = 0 ，故可证 AQ y 轴.【详解】（1）设 F (c,0)，由题设有c =1且b2 3= ，故a 2a2 -1 3= ，故 a = 2，故b = 3 ，a 2故椭圆方程为x y2 2+ = 1.4 3（2）直线 AB 的斜率必定存在，设 AB : y = k(x - 4) ， ( ) 2, 2A x1, y1 ， B(x y )，3x2 + 4y2 =12 可得(3+ 4k )x -32k x + 64k -12 = 0 ，由 2 2 2 2y = k(x -4) 1 1故 =1024k - 4(3+ 4k )(64k -12) 0 ，故4 2 2- k 0 ，故 a 0 ，解得a a + b;（2）a - 2b + b - 2a a - 2b + b - 2a = 2a + 2b - (a + b)2 2 2 2 2 2= 2a + 2b - (a +b) (a +b) - (a +b) = (a +b)(a +b -1) 32 = 62 2 210