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1、2024 年新课标全国卷数学真题一、单选题1已知集合 A = x-5 x 5 , B =-3,-1, 0, 2,3，则 AI B = （ ）3A-1, 0 B2, 3 C-3,-1, 0 D-1, 0, 2 z2若 =1+i z -1，则 z = （ ）A-1-i B -1+ i C1-i D1+ ir r3已知向量a = (0,1),b = (2, x)，若b (b - 4a)，则 x =（ ）A-2 B -1 C1 D24已知cos(a + b) = m, tana tan b = 2 ，则cos(a - b) = （ ）mA-3m B - C3m3D3m5已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧
2、面积相等，且它们的高均为 3 ，则圆锥的体积为（ ）A2 3 B3 3 C6 3 D9 36已知函数为f (x)-x2 -2ax -a, x f (x-1)+ f (x- 2)，且 当 x 100 B f (20) 1000C f (10) 1000 D f (20) 10000二、多选题9为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 x = 2.1，样本方差 s2 = 0.01，已知该种植区以往的亩收入 X 服从正态分布 ( )N 1.8,0.1 ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态2分布 N (x s2 )，则（ ）（若随机变量 Z 服从正
3、态分布 ( ), N u,s ， P(Z 2) 0.2 B P(X 2) 2) 0.5 D P(Y 2) 0.810设函数f (x) = (x -1) (x -4) ，则（ ）2A x = 3是 f (x) 的极小值点 B当0 x 1时， f (x) f (x )2C当1 x 2时， -4 f (2x-1) 0 D当 -1 x f (x)111造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分.已知 C 过坐标原点 O.且 C 上的点满足横坐标大于- ，到点 F(2,0)的距离与到定直线 x = a(a 的左右焦点分别为 F1、F2 ，过C : 1(a 0,b 0)a b2 2F 作平行
4、于 y 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若2| F A|=13,| AB |=10，则 C 的离心率为 1y = x + x 在点(0,1)处的切线也是曲线 y = ln(x +1)+ a 的切线，则a = . 13若曲线 e14甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2
5、 的概率为 .四、解答题15记 VABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知sinC = 2 cos B， a2 +b2 -c2 = 2ab(1)求 B；(2)若 VABC 的面积为3+ 3 ，求 c216已知 A(0,3) 和 3P 3, 2x y2 2为椭圆C : + =1(a b 0) 上两点.a b2 2(1)求 C 的离心率;(2)若过 P 的直线l 交 C 于另一点 B，且VABP 的面积为 9，求l 的方程17如图，四棱锥 P- ABCD中， PA 底面 ABCD， PA = AC = 2 ， BC =1, AB = 3 (1)若 AD PB ，证明： AD/ 平面
6、 PBC ；(2)若 AD DC ，且二面角 A-CP - D 的正弦值为427，求 AD 318已知函数xf (x) = ln + ax + b(x -1) 2 - x3(1)若b = 0，且 f (x) 0 ，求 a 的最小值；(2)证明：曲线 y = f (x) 是中心对称图形；(3)若 f (x) -2当且仅当1 x 2，求b 的取值范围19设 m 为正整数，数列 a1,a2 ,.,a4 m+2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai 和a (i j)后剩余的 4m 项可j被平均分为 m 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 1, 2 ,., 4m+ 2 是(i,
7、 j)-可分数列a a a(1)写出所有的(i, j)，1 i j 6，使数列 a1,a2 ,.,a6 是(i, j)-可分数列；(2)当m 3时，证明：数列a1,a2 ,.,a4m+ 2 是(2,13)-可分数列；(3)从1, 2,., 4m + 2 中一次任取两个数i 和 j(i m m842024 年新课标全国卷数学真题参考答案：1A【分析】化简集合 A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为 | 3 5 3 5, 3, 1,0, 2,3 A = x - x B = - - ，且注意到1 3 5 2 ，从而 AI B = -1, 0.故选：A.2C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解
8、.【详解】因为z z -1+1 1 = =1+ =1+i ，所以z -1 z -1 z -11z =1+ =1-i .i故选：C.3D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 x 的值.【详解】因为b (b-4a)，所以b(b - 4a)= 0 ，2所以b - ab = 即4 04 + x - 4x = 0，故 x = 2 ，2故选：D.4A【分析】根据两角和的余弦可求cosa cos b,sina sin b 的关系，结合 tana tan b 的值可求前者，故可求cos(a - b )的值.【详解】因为cos(a + b )= m，所以cosa cos b -sina sin b = m，而 t
9、ana tan b = 2，所以sina sin b = 2 cosa cos b ，故cosa cos b - 2 cosa cos b = m即cosa cos b = -m，从而sina sin b = -2m ，故cos(a - b )= -3m，故选：A.5B【分析】设圆柱的底面半径为 r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为 r ，则圆锥的母线长为 r2 +3 ，而它们的侧面积相等，所以 2r 3 = r 3+ r2 即 2 3 = 3+ r2 ，1故 r = 3，故圆锥的体积为139 3 = 3 3 .故选：B.6B
10、【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为 f (x)在 R 上单调递增，且 x 0 时， f (x)= e +ln(x +1)单调递增，x -2a- 0 -则需满足 ( )2 1 - +a e ln10，解得 -1 a 0，即 a 的范围是-1, 0.故选：B.7C【分析】画出两函数在0, 2上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数 y = sin x 的的最小正周期为T = 2，函数 y 2sin 3x= - 62的最小正周期为T = ，3所以在 x0, 2上函数 y 2sin 3x= - 6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
11、如图所示：由图可知，两函数图象有 6 个交点.故选：C8B【分析】代入得到 f (1) =1, f (2) = 2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当 x f (x-1)+ f (x- 2)，则 f (3) f (2) + f (1) = 3, f (4) f (3) + f (2) 5 ，f (5) f (4) + f (3) 8, f (6) f (5) + f (4) 13, f (7) f (6) + f (5) 21，2f (8) f (7) + f (6) 34, f (9) f (8) + f (7) 55, f (10) f (9) + f (8)
12、89，f (11) f (10) + f (9) 144, f (12) f (11) + f (10) 233, f (13) f (12) + f (11) 377f (14) f (13) + f (12) 610, f (15) f (14) + f (13) 987，f (16) f (15) + f (14) 1597 1000，则依次下去可知 f (20) 1000，则 B 正确；且无证据表明 ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 f (1) =1, f (2) = 2，再利用题目所给的函数性质 f (x) f (x-1)+ f (x- 2)，代入函数
13、值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.9BC【分析】根据正态分布的3s 原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知， x = 2.1,s2 = 0.01，所以Y : N (2.1, 0.1)，故 P(Y 2) = P(Y 2.1- 0.1) = P(Y 0.5，C 正确，D 错误；因为 X : N (1.8,0.1)，所以 P(X 2) = P(X 1.8+ 20.1)，因为 P(X 1.8+ 0.1)1- 0.8413 = 0.1587 2) = P( X 1.8+ 20.1) 1.8+0.1) 0.2，B 正确，A 错误，故选：BC10ACD【分析】求出函数 f (x)的导数，得
14、到极值点，即可判断 A；利用函数的单调性可判断 B；根据函数 f (x)在(1, 3)上的值域即可判断 C；直接作差可判断 D.【详解】对 A，因为函数 f (x)的定义域为 R，而 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )f x = 2 x -1 x - 4 + x -1 = 3 x -1 x -3 ，2易知当 x(1, 3)时， f (x) 0函数 f (x)在(-,1)上单调递增，在(1, 3)上单调递减，在(3,+)上单调递增，故 x = 3是函数 f (x)的极小值点，正确；对 B，当 0 x 0，所以1 x x2 0 ，而由上可知，函数 f (x)在(0,1)上单调递增，所以 (
15、 ) ( )f x f x ，错误；2对 C，当1 x 2时，1 2x -1 f (2x -1) f (3)，即 -4 f (2x -1) 0，正确；2 2 2对 D，当 -1 x 0 ，所以 f (2 - x) f (x)，正确；故选：ACD.11ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 a ，故可判断 A 的正误，结合曲线方程可判断 B 的正误，利用特例法可判断 C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断 D 的正误.【详解】对于 A：设曲线上的动点 P(x, y)，则 x -2 且 ( )2 2 x -2 + y x -a = 4，2 2因为曲线过坐标原点，故 (0- 2)
16、 + 0 0-a = 4，解得 a = -2 ，故 A 正确.2 2对于 B：又曲线方程为 (x -2) + y x + 2 = 4 ，而 x -2 ，2 2故 (x -2) + y (x + 2)= 4.2当 x = 2 2, y = 0时， (2 2 -2) (2 2 +2 )=8 -4 = 4 ，故(2 2,0)在曲线上，故 B 正确.对于 C：由曲线的方程可得162y = - x - 22 ( )2，取(x + 2) 3x = ， 2则2 64 1y = - ，而49 464 1 64 5 256 - 245 - -1= - = 0，故此时 y2 1，49 4 49 4 494故C 在
17、第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故 C 错误.对于 D：当点(x0, y0 )在曲线上时，由 C 的分析可得16 162y (x 2)2= - - 0 2 0 2(x + 2) (x + 2 )0 0，4 4- y 故 0x + 2 x + 20 0，故 D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.12 32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF ，结合双曲线第一定义求出2AF ，即可得到 a,b,c 的值，从而求出1离心率.【详解】由题可知A,B,F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将 x = c 代
18、入2x y2 22 2 1- =a b4得yb2= ，即a b2 b2 A c, ,B c,- a a ，故AB2b2= =10，ab2AF2 = = 5，ab2又 AF1 - AF2 = 2a ，得 AF1 = AF2 + 2a = 2a +5 =13，解得 a = 4 ，代入a= 5 得b2 = 20 ，故c2 = a2 + b2 = 36, ，即c = 6 ，所以e c 6 3= = = . a 4 2故答案为：3213ln 2【分析】先求出曲线 y = ex + x 在(0,1)的切线方程，再设曲线 y = ln(x +1)+ a 的切点为( 0 ,ln( 0 1) )x x + +
19、a ，求出 y，利用公切线斜率相等求出x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.0【详解】由 y = ex + x 得 e 1y = x + ， = 0 + = ，y | e 1 2x=0故曲线 y = ex + x 在(0,1)处的切线方程为 y = 2x +1；由 y = ln(x +1)+ a 得y =1，x +1设切线与曲线 y = ln(x +1)+ a 相切的切点为( ( ) )x0 ,ln x0 +1 + a ，由两曲线有公切线得1y = =x +102，解得1 1 1 x = - ，则切点为 - ,a+ ln 02 22 ，切线方程为 1 1y 2 x a ln 2x
20、1 a ln 2，= + + + = + + - 2 2根据两切线重合,所以 a - ln 2 = 0，解得 a = ln 2.故答案为：ln 214 12/0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1, X2, X3, X4 ，四轮的总得分为 X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜6 3的概率 P(X =1)= =k44 83，所以 E (X )= (k =1, 2,3, 4) .k854 43 3从而 ( ) ( ) ( )E X E X X X X E X
21、= + + + = = = .1 2 3 4 k8 2 k=1 k=1记 p = P(X = k)(k = 0,1, 2, 3).k1 1p = = ； 如果甲得 0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出 1，3，5，7 分别对应乙出 2，4，6，8，所以 0 4A 2441 1p = = . 如果甲得 3 分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出 1，3，5，7 分别对应乙出 8，2，4，6，所以 3 4A 2443而 X 的所有可能取值是 0，1，2，3，故 p0 + p1 + p2 + p3 = 1， ( )p + 2p + 3p = E X = .1 2 32所以1p + p + =1，1
22、2121 3p + 2p + = ，两式相减即得1 28 21 1p + = ，故224 21p + p = .2 32所以甲的总得分不小于 2 的概率为1p + p = .2 32故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.15(1)B =3(2) 2 2【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC ，最后结合已知sinC = 2 cos B 得cosB的值即可；（2）首先求出 A, B,C ，然后由正弦定理可将 a,b 均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余
23、弦定理有 a2 + b2 - c2 = 2abcosC ，对比已知 a2 +b2 -c2 = 2ab，可得cosCa2 + b2 - c2 2ab 2= = = ，2ab 2ab 2因为C (0, )，所以sinC 0，22 2 2 从而 = - = - =sinC 1 cos C 12 2 ，1又因为sinC = 2 cos B ，即 B = ，cos 2注意到 B(0, )，所以 B = . 3（2）由（1）可得B = ，cos 2 C = ， 4C = ，C (0, )，从而32 5A = - - = ， 3 4 12 5 2 3 2 1 6+ 2而sin = sin = sin + =
24、 + =A ， 12 4 6 2 2 2 2 46a b c = =由正弦定理有 5 sin sin sin12 3 4，从而 6 + 2 2 3 +1 , 3 2 6 a = c = c b = c = c，4 2 2 2由三角形面积公式可知， VABC 的面积可表示为1 1 3 +1 6 2 3+ 3S = absinC = c c = cV ，2 ABC2 2 2 2 2 83+ 3由已知 VABC 的面积为3+ 3 ，可得 2c8= 3+ 3 ，所以c = 2 2 .16(1)12(2)直线l 的方程为3x - 2y - 6 = 0或 x - 2y = 0.【分析】（1）代入两点得到关
25、于 a,b 的方程，解出即可；（2）方法一：以 AP 为底，求出三角形的高，即点 B 到直线 AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到 B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点 B 到直线 AP 的距离，再设 ( 0, 0 )B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 B 到直线 AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线 AB 斜率不存在的情况，再设直线 y = kx + 3，联立椭圆方程，得到点 B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线 PB 斜率不存在的情况，再设3PB
26、 : y - = k(x -3) ，利用弦长公2式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可. b = 3 9 2 =b 9【详解】（1）由题意得 ，解得 ，9 4 1 2a =12 + = 2 2所以eb 9 12= 1- = 1- = .a 12 22（2）法一：kAP33- 2 1= = -0 -3 2，则直线 AP 的方程为1y = - x + 3，即 x + 2y -6 = 0，2AP22 3 3 5= - + - =( )0 3 3 2 2x y2 2，由（1）知C : + =1 ，12 9d设点 B 到直线 AP 的距离为d ，
27、则29 12 5= =3 5 52，7则将直线 AP 沿着与 AP 垂直的方向平移12 55单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点 B ，设该平行线的方程为： x + 2y + C = 0 ，则C + 6 12 5= ，解得C = 6 或C = -18 ，5 5当C = 6 时，联立 x y x = -3 + =1 12 9 ，解得2 2x = 0或 3y = -3 y = - + + =x 2y 6 0 2， 3 即 B(0,-3)或-3,- ， 23当 B(0,-3)时，此时k = ，直线l 的方程为l23y = x - 3，即3x -2y -6 = 0 ，2当 3B -3,- 21时，
28、此时 k = ，直线l 的方程为l21y = x，即 x - 2y = 0，2当C = -18 时，联立 x y2 2 + = 1 12 9 + - =x 2y 18 0得 2y2 - 27y +117 = 0 ，D = 27 - 42117 = -207 0，且 k kAP ，即2 2 2k - ，2 24 -12 27k k2x x 4 3 k 1 3k 9k + = 2 + 2 + + 4k +3 , PB k 1 x x 4x x 41 2 22= + + - =2 ( )1 2 1 2 236k -36k -272 4k +3 =x x 1 2 2 + 4k 3，3 27 33k 4
29、 3 k2 1 3k2 9k 3k+ + + + +A 到直线 PB 距离 2 , 4 2 91d = S = =VPAB22 2 4 3 2k +k +1 k +1，1k = 或2321，均满足题意，l : y = x 或23y = x -3，即3x -2y -6 = 0 或 x - 2y = 0.29 3法六：当l 的斜率不存在时，l : x 3,B 3, , PB 3,A= - = 21 9此时 SV = 33 = 9不满足条件.ABP2 23当直线l 斜率存在时，设l : y = k(x -3)+ ，2到 PB 距离 d = 3， 3设l 与 y 轴的交点为Q ，令 x = 0 ，则Q
30、 0,-3k + 2， 3y = kx -3k +联立 2 2 + 2 =3x 4y 362 2 3 2，则有( + k )x - k k - x + k - k - =3 4 8 3 36 36 27 0 2，2 2 3 2( )3+ 4 -8 3 - + 36 -36 - 27 = 0k x k k x k k 2，22 3 2 2其中 = - - ( + )( - - ) 8k 3k 4 3 4k 36k 36k 27 0 2 1，且 k - ， 236k -36k -27 12k -12k -92 2则3x = , x =B B2 23+ 4k 3+ 4k，1 1 3 12k +18
31、13则 S = AQ x - x = k + = k = ，经代入判别式验证均满足题意.3 9，解的 k = 或 P B22 2 2 3+ 4k 22则直线l 为 1y = x或 23y = x - 3，即3x -2y -6 = 0 或 x - 2y = 0.217(1)证明见解析(2) 3【分析】（1）先证出 AD 平面 PAB ，即可得 AD AB ，由勾股定理逆定理可得 BC AB，从而 AD / /BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点 D 作 DE AC 于 E ，再过点 E 作 EF CP 于 F ，连接 DF ，根据三垂线法可知，DFE 即为二面角A-CP - D
32、的平面角，即可求得 tanDFE = 6 ，再分别用 AD 的长度表示出 DE, EF ，即可解方程求出 AD 【详解】（1）（1）因为 PA 平面 ABCD，而 AD 平面 ABCD，所以 PA AD ，又 AD PB ， PB I PA = P， PB, PA 平面 PAB ，所以 AD 平面 PAB ，而 AB 平面 PAB ，所以 AD AB .因为 BC2 + AB2 = AC2 ，所以 BC AB， 根据平面知识可知 AD / /BC ，10又 AD 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，所以 AD / / 平面 PBC （2）如图所示，过点 D 作 DE AC 于 E ，再过点 E 作 EF CP 于 F ，连接 DF ，因为 PA 平面 ABCD，所以平面 PAC 平面 ABCD，而平面 PAC I 平面 ABCD = AC ，所以 DE 平面 PAC ，又 EF CP ，所以CP 平面 DEF ，根据二面角的定义可知，DFE 即为二面角 A-CP - D 的平面角，即sin 42DFE = ，即 tanDFE = 6 7因为 AD DC ，设 AD = x ，则CD = 4- x2 ，由等面积法可得，DEx 4- x2= ，2x2 ( x2 ) x24 - 4 -又 ( )= - - = ，而VEFC 为等腰直角三角形，所以