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1、2024 年北京高考数学真题一、单选题1已知集合 M =x | -4 x 1， N =x | -1 x 3，则 M N = （ ）Ax -4 x 3 Bx -1 x 1C0,1, 2 Dx -1 x 0)， f (x1 )= -1， ( 2 ) 1f x = ，| x - x | = ，则w =（ ）1 2 min2A1 B2 C3 D47记水的质量为 dS -1= ，并且 d 越大，水质量越好若 S 不变，且 d1 = 2.1， 2 2.2d = ，则n 与 n 的关系为（ ）1 2ln nAn1 n2n n ； C若 S 1，则 n 1，则1 2 1 2D若 S n2 ；若 S 1，则 n
2、 1 2 Blog 1 2 x + x Dlog 1 2 x + x2 1 2 2 1 22 210若集合( ) x, y | y = x + t(x - x),0 t 1,1 x 2 表示的图形中，两点间最大距离为 d、面积为 S，则（ ）21Ad = 3， S 1Cd = 10 ， S 1二、填空题11已知抛物线 y2 =16x ，则焦点坐标为 12已知a , 6 3，且与的终边关于原点对称，则cosb 的最大值为 13已知双曲线x24- y2 = 1，则过(3, 0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 14已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列第一个圆柱的直径为 65mm，第二、
3、三个圆柱的直径为 325mm，第三个圆柱的高为 230mm，求前两个圆柱的高度分别为 15已知 M =k | a = b ， b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .a ，k k n n a ，b 均为等差数列，则 M 中最多一个元素；n n a ，b 均为等比数列，则 M 中最多三个元素；n n a 为等差数列，b 为等比数列，则 M 中最多三个元素；n n a 单调递增，b 单调递减，则 M 中最多一个元素.n n三、解答题316在ABC 中， a = 7，A 为钝角，sin 2B = bcos B 7(1)求A ；(2)从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面
4、积b = 7 ；cos 13 5B = ；csin A = 3 14 2注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分17已知四棱锥 P-ABCD， AD/BC ， AB = BC =1， AD = 3， DE = PE = 2 ，E 是 AD 上一点， PE AD (1)若 F 是 PE 中点，证明： BF/ 平面 PCD(2)若 AB 平面 PED ，求平面 PAB 与平面 PCD夹角的余弦值218已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付0.8万元，第 4 次赔付0.6 万元赔偿次数 0 1 2 3 4单数 800 100 60 30 10在总体中抽样 100 单，
5、以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；(2)（i）毛利润是保费与赔偿金额之差设毛利润为 X ，估计 X 的数学期望；（）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 4% ，已赔偿过的增加20% 估计保单下一保险期毛利润的数学期望x y2 219已知椭圆方程 C： ( )2 2 1 a b 0+ = ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过(0,t) (t 2)的直线 l 与a b椭圆交于 A，B，C(0,1)，连接 AC 交椭圆于 D(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线 BD 的斜率为 0，求 t320已知 f (x)= x + kln(1+ x)在(t, f (t)
6、(t 0)处切线为 l(1)若切线 l 的斜率k = -1，求 f (x)单调区间；(2)证明：切线 l 不经过(0, 0)；(3)已知 k =1， A(t, f (t)，C(0, f (t)，O(0, 0)，其中t 0，切线 l 与 y 轴交于点 B 时当 2 15S = S ，符合ACO ABO条件的 A 的个数为？（参考数据：1.09 ln31.10，1.60 ln5 1.61，1.94 ln7 0，所以w = = 2 .T故选：B.7C S-1n = e 2.11【分析】根据题意分析可得 S-1 =n e2.22，讨论S 与 1 的大小关系，结合指数函数单调性分析判断. S -1d =
7、 = 2.11lnn1【详解】由题意可得 S -1，解得 = =d 2.2 lnn22S-1n = e 2.11S-1 =n e2.22，若 S 1，则S -1 S -1S -1 S -1 ，可得 ，即e 2.1 e 2.22.1 2.2n n ；1 2若 S =1，则S -1 S -1= = 0 ，可得n1 = n2 =1；2.1 2.2若 S 1，则S -1 S -1S-1 S-1 ，可得 ，即e 2.1 e2.22.1 2.2n n ；1 2结合选项可知 C 正确，ABD 错误；故选：C.8D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面 PEF 平面 ABCD，可知 PO 平面 ABCD，
8、利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面 ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设 PA = PB = AB = 4, PC = PD = 2 2 ，2分别取 AB,CD 的中点 E,F ，连接 PE, PF, EF ，则 PE AB,EF AB ，且 PE EF = E ， PE,EF 平面 PEF ，可知 AB 平面 PEF ，且 AB 平面 ABCD，所以平面 PEF 平面 ABCD，过 P 作 EF 的垂线，垂足为O，即 PO EF ，由平面 PEF I平面 ABCD = EF ， PO 平面 PEF ，所以 PO 平面 ABCD，由题意可得： PE = 2 3, PF =
9、2, EF = 4，则 PE2 + PF2 = EF2 ，即 PE PF ，则1 1 PE PFPE PF = PO EF ，可得 PO = = 3 ，2 2 EF所以四棱锥的高为 3 .当相对的棱长相等时，不妨设 PA = PC = 4， PB = PD = 2 2 ，因为 BD = 4 2 = PB + PD，此时不能形成三角形 PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可.【详解】由题意不妨设 x1 x2 ，因为函数 y = 2x 是增函数，所以0 2x 2x ，即0 y1 2 2 = 2 ，
10、即x x 1 2 2 2 2 = 2 ，即x +xy + y 1 21 2 2 2 0 ，2x + xy + y x + x1 2根据函数 y = log2 x是增函数，所以 1 2 2 1 2log log 2 = ，故 A 正确，B 错误；2 22 2对于选项 C：例如 x1 = 0, x2 =1，则 y1 =1, y2 = 2，y + y 3 y + y可得log 1 2 = log (0,1)，即log 1 2 -3 = x + x ，故 D 错误，2 2 2 2 1 22 8 2故选：A.10C3y x2【分析】先以 t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 y x 1 x
11、 2，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定 x1, 2，则 x2 - x = x(x -1) 0 ，且t 0,1，可知 ( )x x + t x - x x + x - x = x ，即 x y x2 ，2 2 2y x2再结合 x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 y x 1 x 2，如图阴影部分所示，其中 A(1, 1),B(2, 2),C(2, 4)，可知任意两点间距离最大值 d = AC = 10 ；1阴影部分面积 1 2 1.S 0,q 1，则由 y = Aqn 和 y = kn + b 的散点图可得关于 n 的方程 Aqn = kn+b 至多有两个不同的解，矛盾；若
12、 q 0，n否则 Ak ln q 0即 Ak ln q 0，因 y = -A q , y = kn + b 单调性相反，方程nA q = kn + b 至多一个奇数解，因为 Ak ln q 0， Ak ln q 2 )， ( ) ( )A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有1, 1 , 2, 2-4kt 2t - 42x + x = ,x x =1 2 2 1 2 21+ 2k 2k +1y - y，而 AD : y = 1 2 (x - x )+ y，令 x = 0 ，即可得解.1 1x + x1 22【详解】（1）由题意b = c = = ，从而a = b2 +c2 = 2，
13、2 29所以椭圆方程为x y 22 2+ = 1，离心率为e = ；4 2 2（2）显然直线 AB 斜率存在，否则 B, D重合，直线 BD 斜率不存在与题意不符，同样直线 AB 斜率不为 0，否则直线 AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 AB : y = kx +t, (t 2 )， ( ) ( )A x1, y1 ,B x2, y2 ， x2 y2 + =联立 4 2 = +y kx t1，化简并整理得(1+ 2k )x + 4ktx + 2t - 4 = 0 ，2 2 2由题意 ( )( ) ( ) =16k t -8 2k +1 t - 2 = 8 4k + 2 -t 0 ，即 k,t
14、应满足 4k2 +2 -t2 0 ，2 2 2 2 2 2所以-4kt 2t - 42x + x = ,x x =1 2 2 1 2 21+ 2k 2k +1，若直线 BD 斜率为 0，由椭圆的对称性可设 ( 2, 2 )D -x y ，y - y所以 1 2 ( )AD : y = x - x + y，在直线 AD 方程中令 x = 0 ， 1 1x + x1 2得 ( ) ( ) ( ) ( )4k t - 22x y + x y x kx + t + x kx + t 2kx x + t x + x 2y = = = = + t = =1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 21， C
15、x + x x + x x + x -4kt t1 2 1 2 1 2所以t = 2，4k + 2-t = 4k -2 02 2 2此时 k 应满足k 0，即 k 应满足2 2k ，2 22综上所述，t = 2满足题意，此时 k .220(1)单调递减区间为(-1, 0) ，单调递增区间为(0,+).(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入 k = -1，再利用导数研究其单调性即可； k （2）写出切线方程 y - f (t) = 1+ (x -t)(t 0) 1+ t，将(0, 0) 代入再设新函数 F(t) = ln(1+t) -t1+ t，利用导数研究其零点即可；10t（3）分别写
16、出面积表达式，代入 2SV =15S 得到13ln(1+ t) -2t -15 = 0ACO ABO1+ t15th(t) =13 ln(1+ t)- 2t - (t 0)研究其零点即可. 1+t，再设新函数【详解】（1）1 xf (x) = x -ln(1+ x), f (x) =1- = (x -1)1+ x 1+ x，当 x(-1, 0)时， f (x) 0； 在(-1, 0) 上单调递减，在(0,+)上单调递增.f (x)则 f (x) 的单调递减区间为(-1, 0) ，单调递增区间为 (0,+).（2） f (x) =1+k1+xk，切线l 的斜率为1+1+t， k 则切线方程为 y
17、 - f (t) = 1+ (x -t)(t 0) 1+ t， k k 将(0, 0) 代入则 - f (t) = -t 1+ , f (t) = t 1+ 1+ t 1+ t，k即t + k ln(1+t) = t +t1+t，则ln(1+t) =t1+t t，ln(1+t)- = 0 ， 1+t令 F(t) = ln(1+t) -t1+ t，假设l 过(0, 0) ，则 F(t) 在t (0,+) 存在零点. 1 1+t -t tF(t) = - = 0 1+t (1+t) (1+t)， F (t) 在(0,+)上单调递增， F(t) F(0) = 0 ， 2 2 在(0,+)无零点，与假
18、设矛盾，故直线l 不过(0, 0) .F (t)（3） k =1时，1 x + 2f (x) = x+ ln(1+ x), f (x) =1+ = 0.1+ x 1+ x1V ，设l 与 y 轴交点 B 为(0,q)，ACOS = tf (t)2t 时，若q 0 ， 1 则切线l 的方程为 - - ln( +1)= 1+ ( - ) 1+ ty t t x t ， 令 x = 0，则 y = q = y =ln(1+ t) -tt.+1 t Q2S =15S ，则 2tf (t) =15t ln(1+t) - VACO ABO t +1，t13 ln(1+ t)- 2t-15 = 01+ t，记 15th(t) =13 ln(1+ t)- 2t - (t 0)， 1+t满足条件的 A 有几个即 h(t) 有几个零点.13 +13-2 +2 +1 -15 + - - + -