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1、专题02 常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1函数的值域_【答案】【解析】由在上单调递增，在上单调递增，而当时，；当时，.函数值域为.【变式演练1】求函数的值域.【解析】2x0，082x802故函数的值域是.方法二 分离
2、常数法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如；第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数，第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：，所以，所以函数的值域为.【变式演练2】【北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测】若函数的定义域是，则的值域是_.【答案】【解析】由当时，所以，则所以，即的值域为 故答案为：方法三 配方法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的
3、图像和性质即可求出函数的值域. 例3 定义在上的函数的值域是_【解析】第一步，将函数配方成：由+10+241第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为,所以1即函数的值域是【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,因此当时, .故当,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数；第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值
4、为【答案】【解析】第一步，先判定函数在区间上是单调递增的；第二步，求出函数的值域；第三步，根据反函数的性质得出反函数在为增函数；所以在为增函数；所以的最大值为【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数， 的值域.【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：，设，第二步，求出换元后函数的定义域：，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ，综上所述：函数的值域为.【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟
5、】函数的值域为_.【答案】【解析】由题可得，令，则，即，当，即时，；当，即时，要使方程有解，则需，得.综上，例6 求函数的值域.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令，所以原函数可化为第二步，根据函数解析式判定单调性：因为其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为
6、所以第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实数根即，当时，方程化为7=0，显然不能成立，所以，将，分别代入检验的不符合方程，所以【变式演练7】求函数的值域.【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为.方法七 基本不等式法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：因为，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函数最小值：，当且仅当，即时
7、等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1.例9 已知函数，求的值域.【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：因为，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函数最小值：，当且仅当，即时等号成立。因为在定义域内，所以最小值为5.【变式演练8 】【2021届新高考同一套题信息原创卷】（多选）下列说法正确的是（ ）A已知，则函数B已知，则函数的值域为C已知，则函数的最小值为2D已知，则【答案】AB【解析】，当且仅当，即时取等号，故A正确；，在单调递增，故B正确；，当且仅当，即或时取等号，等号取不到，故C错误；，同号当，同负时，显然，故D错误，故选：AB【变式演练9】 求的最小值；【解析】由题意得，令，则，
8、又当时，函数单调递增，当时，有最小值，且最小值为，故的最小值是考点：函数的性质；基本不等式.方法八 单调性法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 求出函数的单调区间；第三步 确定函数的值域或最值.例10 求函数的值域.【解析】第一步，将函数化成基本初等函数的形式：令，所以第二步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是减函数，在上是增函数；第三步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是增函数，在上是减函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，所以函数的值域为。【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的
9、最大值和最小值，得到函数的值域.例11求函数的值域.【解析】第一步，将函数化成基本初等函数的形式：令，所以第二步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是增函数，在上是减函数；第三步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是减函数，在上是增函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，所以函数的值域为。【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】 已知函数.当时，求该函数的值域；【解析】，令，此时有， .【
10、变式演练11】 求函数的值域.【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，所以函数的值域是.方法九 数形结合法万能模板内 容使用场景函数值域求解解题模板第一步 作出函数在定义域范围内的图像；第二步 利用函数的图像求出函数的值域.例12 求函数的值域.【解析】第一步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率：由题意可得：函数可看成定点到动点的斜率，又因为动点在单位圆上，所以问题转化为求定点到单位圆连线的斜率的问题。第二步，根据直线与圆相切得出函数的值域：设直线的方程为，所以因为直线与圆相切，所以，所以，所以函数的值域为：【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可
11、以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.例13 求函数的值域.【解析】第一步，求函数的定义域，对数式应满足真数大于0:所以由得,所以函数的定义域是，第二步，求真数的取值范围，进而求出函数的值域：设点，所以,所以函数的值域为.【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率.来 【变式演练12】 定义运算ab，ab=ab(ab)(ab)，例如12=1，则函数y=12x的值域为（ ）A (0,1) B (,1) C 1,+) D (0,1【答案】D【解
12、析】当12x时，即x0时，函数y=1*2x=1，当12x时，即x0时，函数y=1*2x=2x由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1故选：D考点：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；根据定义域和解析式画出函数的图象根据图象分析函数的性质【高考再现】1. 【2014高考重庆理第12题】函数的最小值为_.【答案】考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.【名师点睛】本题考查了对数运算，二次函数，换元法，配方法求最值，本题属于基础题，注意函数的定义域.2.【2018年全
13、国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A B C D 【解析】不等式为 (*)，当时，(*)式即为， ，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为， ，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上故选A【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.3. 【2014上海理】若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 【答案】D【解
14、析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D【考点】分段函数的单调性与最值问题【名师点睛】(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围4.【2018高考福建】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是【答案】【考点定位】分段函数求值域【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合
15、之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题5.【2015高考北京，理14】设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】(1)1，(2)或.【解析】时，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；（2）若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，则，函数与轴有一个交点，所以；若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想
16、解【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合6. 【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是【答案】，.【解析】，当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为.【考点定位】分段函数【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段
17、上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.7. 【2017浙江】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B【考点】二次函数的最值【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点
18、的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值8. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版）】已知，函数在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_【答案】【解析】，分类讨论：当时，函数的最大值，舍去；当时，此时命题成立；当时，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：；，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论9.【2017北京，文11】已知，且x+y=1，则的取值范围是_【答案】【解析】【考点】二次函数【名师点睛】本题考
19、查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.10. 【2014福建,理13】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【答案】88【解析】试题分析：假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.考点：函数的最值.【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式
20、求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.11.【2014高考重庆理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：,由题意得：，解这得:所以答案应填：.考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.【名师点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值的性质，分段函数的图象，数形结合法，不等式的恒成立，属于基础题12. 【2016高考江苏卷】（本小题满分1
21、4分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. （1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【解析】试题分析：（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，最后利用导数求其最值试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1
22、C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0h6,OO1=4h.连结O1B1.因为在中，所以，即于是仓库的容积，从而.令，得 或（舍）.当时， ，V是单调增函数；当时，V是单调减函数.故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当 时，仓库的容积最大.考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数
23、学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.13 【2018年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）】设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2R，当x1x2时，都有f(x1)f(x2). （1）若f(x)=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；（3）设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值. 函数(x)=f(x)g(x). 证明：“(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.【答案】（1）a0；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）因为对于任意的，当时，都有，即可
24、知道函数是一个不递减的函数，即.若，其导函数为，可以得到.（2）假设不是常值函数，并且其周期为.令，且存在一个，使得.由于的性质可知，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数.必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.点睛：本题考查抽象函数的新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力
25、，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可，着重考查了逻辑思维能力与理论运算能力，及分类讨论的数学思想方法，试题难度较大，属于难题.【反馈练习】1【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】下列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.【详解】函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；幂函数的定义域为，值域也
26、为，即定义域和值域相同；故选：C.2【上海市杨浦区2021届高三上学期一模（期末）】下列函数中，值域为的是（）ABCD【答案】C【分析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论【详解】解：函数的值域为，故排除；函数的值域为，故排除；函数的值域为，故满足条件；函数的值域为，故排除，故选：3【上海市浦东新区2021届高三上学期一模】已知函数，则以下4个命题：是偶函数；在上是增函数；的值域为；对于任意的正有理数，存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【答案】B【分析】取特殊值可判断；根据值域中不含负无理数可判断；根据为有理数或为无理数，解出可判断.【详解】因为，所以，所以不是偶函数，
27、故错误；因为，所以在不是增函数，故错误；因为，显然的值域中不含负无理数，故的值域不为，故错误；的零点即为有理数或为无理数，对于为有理数，必有解，对于为无理数，必有解或无解，故有三个零点或一个，故正确；故选：B.4【贵州省安顺市2021届全市高三年级第一次教学质量监测统一考试】设集合，则（）ABCD【答案】B【分析】根据二次根式性质求得集合，然后再根据交集定义计算【详解】，又，故选：B5【上海市南模中学2021届高三三模数学试题】下列函数中，与函数的值域相同的函数为 （ ）ABCD【答案】B【详解】试题解析：函数的值域为，而，只有，所以选B.6【天津市南开中学2019-2020学年高三（上）】下
28、列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）ABCD【答案】B【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同.【详解】的定义域与值域均为R，的定义域为，值域为，的定义域为R，值域为，的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是，共有2个.故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单.7【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】函数的值域为（）A(-，-2B2，+)C(-，-2 2，+)D-2，2【答案】C【分析】利用基本不等式可求该函数的值域. 【详解】当时，当时，所以函数的值域为，故选：C【点睛
29、】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.8若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围.【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数令，解得：，即实数的取值范围为故选：9【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）文科】高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰卡尔弗里德里希高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影
30、，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（）A0，1BCD【答案】D【分析】先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.【详解】即函数的值域为由高斯函数定义可知函数的值域为故选：D10【金科大联考2020届高三5月质量检测数学（文科）】已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之差，若对恒成立，则实数的取值范围为（）.ABCD【答案】C【分析】由题干条件构造方程组解出函数和的解析式，再用分离参数法将对恒成立转化为对恒成立，进而求得实数的取值范围.【详解】由，有，解得，可化为，有，有，得，又由，有.故选：C11【2021年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学模
31、拟测试题（二）】函数的值域为_.【答案】【解析】由已知得，解得，所以的定义域为，且时与都是减函数，所以在上是减函数，所以的值域为.12函数的值域是_【答案】【解析】由题知，因为，所以，所以，则，因此，故答案为:.13函数的值域是_【答案】【解析】由题意，函数，因为，所以，则，可得，故函数的值域是.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 14函数的值域为_.【答案】【解析】令，则，故，7由于，即函数的值域为，故答案为：.15【江西省顶级名校2021届高三下学期三模数学（理）试题】若函数（且）
32、的值域是，则实数的取值范围是_【答案】【详解】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.16【河南省漯河市2020-2021学年高三上学期期末】已知函数，.（1）求函数的值域；（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数可化简为可得当时，.当时，.当
33、时，.故的值域.（2）当时，所以不符合题意.当时，因为，所以函数的值域，若，则，解得或，从而符合题意.当时，因为，所以函数的值域，此时一定满足，从而符合题意.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解析推理能力.17【陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题】已知（1）解不等式；（2）设(，且)，求的值域【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，函数，因为，可得，可得或，解得或，即，所以不等式的解集为（2）当，且时，当时，可得，当且仅当时等号成立，所以，可得，即；当时，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以的值域为【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.