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1、专题16：导数中的其它问题高考真题（文科）（解析版）一、单选题12019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）函数f(x)=在，的图像大致为ABCD【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又故选D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题22015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.
2、所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.32019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）函数在的图像大致为ABCD【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识
3、、基本计算能力的考查二、填空题42020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设函数若，则a=_【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.三、解答题52018年全国卷文数高考试题已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程（2）当时，,令，只需证明即可【详解】（1），因此曲线在点
4、处的切线方程是（2）当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；所以 因此【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度62014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）设函数，曲线处的切线斜率为0求b;若存在使得，求a的取值范围。【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第（1）小题中所求b，则函数完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（）若，则，故
5、当时，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（）若，则，故当时，；当时，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，无解则不合题意.（）若，则.综上，a的取值范围是.试题解析：（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，（）若，则，故当时，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（）若，则，故当时，；当时，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（）若，则.综上，a的取值范围是.考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用72014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国卷）已知函
6、数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（1）求；（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1），由导数的几何意义得，故切线方程为，将点代入求；（2）曲线与直线只有一个交点转化为函数有且只有零点一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与轴只有一个交点本题首先入手点为，当时，且，所以在有唯一实根只需说明当时无根即可，因为，故只需说明，进而转化为求函数的最小值问题处理（1），曲线在点处的切线方程为由题设得，所以（2）由（1）得，设由题设得当时，单调递增，所以在有唯一实根当时，令，则，在单调递减；在单调递增所以所以在
7、没有实根，综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值82020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明：；（3）设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1
8、)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，据此可得：，即.(3)结合(2)的结论有：.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函
9、数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用9（12分）2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3）已知函数 =x1alnx（1）若 ，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，m，求m的最小值【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）的定义域为.若，因为，所以不满足题意；若，由知，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1（2）由（1）知当时，令得，从而故而，所以m的最小值为3.102015年全国普通高等学校招生统一考试
10、理科数学（新课标）设函数（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】（）若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由（）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是考点：导数的综合应用122014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2
11、.(1)求 (2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数的定义域为，.由题意可得，.故，.（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当，；当时，.故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.
12、故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，即.考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.11原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！