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1、专题6：函数的最值与导数基础知识与典型例题（解析版）函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的
2、一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。1已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.1（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2）由（1
3、），令，得或知：，为增函数，为减函数，为增函数.，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.2若，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.2(1) 增区间为;(2) .【解析】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由 解得，的增区间为；（2）， （舍）或，, , ， 点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递
4、减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值3设函数 （1）求的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值3（1）见解析；（2）1【分析】(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.【详解】（1）定义域为，由得，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），由得，在上单调递减，在（1，2）上单调递增，的最小值为.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间.4已知函数，是的一个极值点（1）求的单调递增
5、区间；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围4(1) 的单调递增区间为，(2) 【解析】试题分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（x）0即可求出函数的单调增区间；（II）先利用导数求出函数f（x）在区间1，3上的最小值，若当x1，3时，要使f(x)-a2 恒成立，只需f(x) mina2+，即可求出a的范围解：（）. 是的一个极值点，是方程的一个根，解得. 令，则，解得或.函数的单调递增区间为，. （）当时，时，在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. 是在区间1，3上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得 .
6、 考点：本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题点评：解决该试题的关键是利用极值点处导数为零，那么得到参数b的值，然后求解二次不等式同时能将不等式的恒成立问题，转换为求解函数的最小值大于参数问题即f(x) mina2+体现了转换与化归思想的和运用5已知函数.（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）求在，上的最大值和最小值.5（1） ；（2）最大值(2)，最小值(1) .【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）结合导数与单调性关系可分析出函数在，上的单调性，进而可求最值.【详解】解：（1）由得，所以，所以
7、曲线在点，处的切线方程即；（2）令可得或，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，故函数在，上单调递增，所以的最大值（2），最小值（1）.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性的关系，属于基础试题.6已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.（1） 求函数的单调区间；（2） 求函数在区间-2，2上的最小值.6（1）f(x)的单调递增区间是(-，-1)，(3，+)；单调递减区间是(-1，3)；（2）-20.【分析】（1）求导后，令f(x)=0，得x=-1或x=3，再列表，由表格可得结果；（2）根据函数在区间-2，2上的单调性可求得最小值.【详解】f(x)=3x2-6x-9=3(x
8、+1)(x-3)，令f(x)=0，得x=-1或x=3，当x变化时，f(x)，f(x)在区间R上的变化状态如下：3+0-0+极大极小所以f(x)的单调递增区间是(-，-1)，(3，+)；单调递减区间是(-1，3)；（2）解：因为f(-2)=0，f(2)=-20，再结合f(x)的单调性可知，函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-20.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，属于基础题.7已知函数，且.（1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.7（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；（2）由函数
9、在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.【详解】解：（1）因为，所以，因为,所以,解得所以.（2）由（1）可知，则，令，得,和的变化情况如下表：20极小值因为，所以函数在上的最大值为,所以，解得,所以,由上面可知在上单调递增，在上单调递减；又因为，所以函数在上的最小值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.8已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.8（1）区间上单调递增；在区间和上单调递减；（2）5和1【分析】（1）区间上单调递增；在区间和上单调递减（2）5和1【详解】（1）因为函数，则令，或故函数在区间上单调递增；在
10、区间和上单调递减（2）由（1）可知函数在区间上单调递增；在上单调递减所以函数的极大值也为最大值两端点，即最小值为故函数在上的最大值和最小值分别为5和1【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及求最值，属于基础题.9已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.9（1）；（2）.【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，故函数的最小值为.【点睛】本题考查了求闭
11、区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.10已知函数.(I) 求的减区间;(II)当时, 求的值域.10(I) (II) 【解析】【分析】(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，的取值范围即可。(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当时，函数的单调性，然后求出最值。【详解】解: (I) 由函数, 求导 当, 解得即的减区间 (II) 当, 解得即在上递减, 在上递增 故的值域【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题。11已知函数（1）求函数的单调区间（2）若对恒成立，求实数的取值范围.11（1）单调增区间 单调减区间 （2） 【解析】试题
12、分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。试题解析：（1）令，解得或， 令，解得：. 故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又， 对恒成立，即，12已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.13原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12(1) ; (2)【详解】由已知函数的定义域均为,且.(1)函数, 因f(x)在上为减函数，故在上恒成立所以当时，又，故当，即时，所以于是，故a的最小值为 (2)命题“若使成立”等价于 “当时，有”由（1），当时，问题等价于：“当时，有” 当时，由（1），在上为减函数，则=，故 当时，由于在上为增函数，故的值域为，即由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，=，所以，与矛盾，不合题意 综上，得 考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.