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1、专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较
2、强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是( )A4B3C2D1【答案】A【解析】由点在抛物线上，可得，解得，即抛物线，焦点坐标，准线方程为所以，点到抛物线焦点的距离为：故选：A2（2020山东高三模拟）已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切
3、点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）AB2C4D【答案】C【解析】圆可化为.设，则的斜率分别为，所以的方程为，即，即，由于都过点，所以，即都在直线上，所以直线的方程为，恒过定点，即直线过圆心，则直线截圆所得弦长为4.故选:C.3（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点的直线将圆分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )ABCD【答案】D【解析】点为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，只有当过点的直线与过点和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，过点和圆心的直线斜率为过点的直线斜率为故选：D4（2020届山东省济宁市第一中学高
4、三一轮检测）过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）A0 B C0或 D【答案】C【解析】当时，直线，即直线，此时过点且与直线垂直的直线为，而是与圆相交，不满足题意，所以不成立，当时，过点且与直线垂直的直线斜率为，可设该直线方程为，即，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得， ，解得.故本题正确答案为C.5（2020届山东省高考模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若则该双曲线的离心率为( )A2B3CD【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
5、因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，故选D。6（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)故选：C7（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD【答案】D【解
6、析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.8（2020届山东省烟台市高三模拟）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A内切B相交C外切D相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B9（20202020届山东省淄博市高三二模）已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】直线F2A的直线方程为：ykx，F1（0，），
7、F2（0，），代入抛物线C：x22py方程，整理得：x22pkx+p20，4k2p24p20，解得：k1，A（p，），设双曲线方程为：1，丨AF1丨p，丨AF2丨p，2a丨AF2丨丨AF1丨（ 1）p，2cp，离心率e1，故选：D10（2020届山东省潍坊市高三模拟二）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）ABCD【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性
8、质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故ABM的周长为,本题选择D选项.11（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知双曲线C:,(,)的左右焦点分别为, O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,(),则双曲线C的渐近线方程为( )ABCD【答案】D【解析】因为，可得，由可得，所以，即有，即，所以，所以双曲线的渐近线方程为：故选：D12（2020山东高三下学期开学）已知抛物线的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且三点共线，则（ ）A12B10C6D8【答案】A【解析】因为三点共线，所以为圆的直
9、径，轴，为中点，因为到准线的距离为6，所以 由抛物线定义知，故选：A13（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是ABCD【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.14（2020届山东省青岛市高三上期末）已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是( )A4B3C2D1【答案】A【解析】由点在抛物线上，可得，解得，即抛物线，焦点坐标，准线
10、方程为所以，点到抛物线焦点的距离为：故选：A15（2020山东曲阜一中高三3月月考）过点的直线将圆分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )ABCD【答案】D【解析】点为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，只有当过点的直线与过点和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，过点和圆心的直线斜率为过点的直线斜率为故选：D16（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为( )ABC D【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，故选A
11、17（2020届山东省青岛市高三上期末）已知双曲线C:,(,)的左右焦点分别为, O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,(),则双曲线C的渐近线方程为( )ABCD【答案】D【解析】因为，可得，由可得，所以，即有，即，所以，所以双曲线的渐近线方程为：故选：D18（2020山东滕州市第一中学高三3月模拟）设双曲线的右焦点是，左右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设双曲线的半焦距为，令，则，不妨设，故，因为，故，整理得到，故离心率.故选：A.二、多选题19（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直
12、线与椭圆相交于点、，则（ ）A当时，的面积为B不存在使为直角三角形C存在使四边形面积最大D存在，使的周长最大【答案】AC【解析】如图：对于A选项，经计算显然正确；对于B选项，时，可以得出，当时，根据对称性，存在使为直角三角形，故B错误；对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确；对于D选项，由椭圆的定义得：的周长；，当过点时取等号；即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大；此时直线；但，所以不存在，使的周长最大.故D错误.故选：AC20（2020山东高三模拟）设为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是（ ）A直线倾斜角的余弦值为B若，
13、则的离心率C若，则的离心率D不可能是等边三角形【答案】AD【解析】设直线倾斜角为，则，所以.在第一象限内，若，则，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.若，则，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.由，知不可能为等边三角形.故选:AD.21（2020届山东省高考模拟）设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A若，则B若，直线AB过定点C若，到直线AB的距离不大于1D若直线AB过抛物线的焦点F，且，则【答案】ACD【解析】B.设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，得，则，于是直线方程为，该直线过定点故不正确；C.到直线的距离，即正确；A.正确；D.由题得,所以，不妨取.所以，所
14、以直线AB的方程为，所以.由题得=.所以.所以D正确.故选：ACD22（2020届山东省济宁市高三3月月考）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则( )AB是等边三角形C点 到准线的距离为3D抛物的方程为【答案】BCD【解析】由题意，以为圆心，为半径的圆交于两点，且由抛物线定义，可得，所以是等边三角形，所以，又焦点到准线的距离为，则抛物线方程为则有BCD正确，A错误.故选：BCD23（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q若抛物
15、线C上存在一点到焦点F的距离等于3则下列说法正确的是（ ）A抛物线的方程是B抛物线的准线是C的最小值是D线段AB的最小值是6【答案】BC【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，设，直线的方程为，由，消去得，所以，所以，所以AB的中点Q的坐标为，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰中，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选：BC.24（2020山东曲阜一中高三3月月考）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则( )A
16、B是等边三角形C点 到准线的距离为3D抛物的方程为【答案】BCD【解析】由题意，以为圆心，为半径的圆交于两点，且由抛物线定义，可得，所以是等边三角形，所以，又焦点到准线的距离为，则抛物线方程为则有BCD正确，A错误.故选：BCD25（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）
17、 ，故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确.故选：ABD26（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A点的横坐标为B的周长为C小于D的内切圆半径为【答案】ABC【解析】设的内心为，连接，双曲线：中的，不妨设，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A符合题意；由，且，可得，则，则，故C符合题意；由，则的周长为，故B符合题意；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D不符合题意故选：ABC27（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）设椭圆的
18、方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）A直线与垂直；B若点坐标为，则直线方程为；C若直线方程为，则点坐标为D若直线方程为，则.【答案】BD【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，所以A项不正确；对于B项，根据，所以，所以直线方程为，即，所以B项正确；对于C项，若直线方程为，点，则，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，所以，所以D正确；故选：BD.28（20202020届山东省淄博市高三二模）已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（ ）A点到轴的距离为B
19、C为钝角三角形D【答案】BC【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，在中，.且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，所以选项D错误.故选：BC.三、填空题29（2020届山东省青岛市高三上期末）已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为_【答案】【解析】为等腰直角三角形 ，又 又圆的圆心到直线距离，解得：故答案为30（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M
20、的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， 31（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线的渐近线与直线围成的图形绕y轴旋转，则所得旋转体的体积为_；表面积为_【答案】 【解析】双曲线的渐近线，与直线的交点为和，该旋转体
21、为底面半径是，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥，所以所得旋转体的体积为，表面积为，故答案为：，.32（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,所以,且,则三角形为等腰直角三角形,设 ,则,解得,在三角形 中由勾股定理得,所以,故答案为:.33（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单
22、位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是_.【答案】6x8y10【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，则直线l1：yk（x3）5b，平移后的直线方程为yk（x31）b52即ykx34kb，b34kb，解得k ，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b.直线l的方程是 ，即6x8y10.故答案为：6x8y1034（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为_；【答案】【解析】
23、由题,因为为等腰直角三角形,故,故圆心到直线的距离.即.故答案为：35（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yx，即bxay0，焦点到渐近线的距离d，|AF|BF|a，|AD|，则|AB|2|AD|2c，平方得4（a2b2）c2，即a2c2+a2c2，则2a2c2，则c2a2，则ca，即离心率e，故答案为：36（2020届山东省潍坊市高三模拟一）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：离心率为2；一条渐近线的倾斜角为；实轴长为4，且焦点
24、在x轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程_.【答案】或；【解析】若选：若双曲线的焦点在轴上，则设双曲线方程为，所以，所以，所以双曲线方程为，若双曲线的焦点在轴上，则设双曲线方程为，所以，所以，所以双曲线方程为；若选：因为，所以，所以，所以双曲线方程为：；若选：因为，所以，所以双曲线方程为：.故答案为：(或或或).37（2020届山东省高考模拟）已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，即，即有双曲线的故答案为：238（2020山东高三下学期开学）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且
25、，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为_，此时该双曲线的离心率为_【答案】1 【解析】根据题意画出抛物线，过作抛物线准线于，连接.由抛物线定义可知，由，（），设直线的倾斜角为，则，可得，当k最大时，取得最小值，且，当取得最小值时直线与抛物线相切，设直线的方程为，则，化简可得，因为直线与抛物线相切，则，解得，由可得，同时可得切点横坐标为，将切点横坐标带入抛物线可得，因为点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得，所以双曲线离心率为，故答案为：1；.39（2020届山东省济宁市高三3月月考）设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为
26、为原点，则双曲线的右焦点的坐标为_；离心率为_.【答案】 5 【解析】如图所示：直线过点，半焦距，则右焦点为为中点，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理可得：，再由双曲线定义可得：，则离心率故答案为：，40（2020届山东省潍坊市高三模拟二）双曲线C：的左、右焦点为F1，F2，直线yb与C的右支相交于点P，若|PF1|2|PF2|，则双曲线C的离心率为_；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则双曲线的方程为_.【答案】 . 【解析】把yb代入C的方程可得x2a，P（2a，b），F1（c，0），F2（c，0），由双曲线的定义可知：|PF1|4a，|PF2|2a，整理可得8ac12a2，2c3a，
27、所以双曲线的离心率为.该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，可得b，所以，解得a2，所以双曲线的方程为：.故答案为：；41（2020届山东省烟台市高三模拟）已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为_.【答案】【解析】由题设双曲线的左、右焦点分别为,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:42（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_【答案】或【解析】由是与的等比中项有,故.当时圆锥曲线方程,为焦点在轴的双曲线,其中,此时离
28、心率当时圆锥曲线方程,为焦点在轴的椭圆,其中,此时离心率故答案为：或四、解答题43（2020届山东省烟台市高三模拟）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端
29、点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.44（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）.【解析】（）设直线AP的斜率为k，因为，所以直线AP斜率的取值范围是（）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是因为|PA|=，|PQ|= ，所以令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值45（2020山东高三模拟）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦
30、点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，又由得，则，故椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率都存在时，由对称性不妨设直线的方程为，由，设，则，则，由椭圆对称性可设直线的斜率为，则，.令，则，当时，当时，由得，所以，即，且.当直线的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，则，此时.若设的方程为，斜率不存在，则，综上可知的取值范围是.46（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线
31、C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】() ，；()见解析.【解析】 ()将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.()很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.47（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，、
32、是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；当直线的方程为时，的面积取最大值.【解析】（1）由题意得，椭圆的方程为；（2）设、，由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，故点到直线的距离为，又圆，又，直线的方程为，由，消去，整理得，故，代入的方程得，设的面积为，则，当且仅当，即时上式取等号，当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为48（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两
33、点，且与圆：交于E、F两点，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得，所以， 所以椭圆的方程为，将点带入方程得，即，所以椭圆C的标准方程为。（2）椭圆的右焦点为，若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，所以，；若直线的斜率存在，设直线方程为，设，联立直线与椭圆方程，可得，则，所以，因为圆心到直线的距离，所以，所以，因为，所以，综上，。49（2020山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（）求椭圆的方程； （）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答
34、案】（）（）见解析【解析】 ()由解得 得椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值，其定值为50（2020届山东省高考模拟）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（）求椭圆的方程； （）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（）（）见解析【解析】 ()由解得 得椭圆的方程为. （）
35、当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值，其定值为51（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）抛物线的焦点为，又，又，椭圆的方程是：；（2）设当直线与轴垂直时，易
36、得：或，又，或者，当直线与不垂直时，设直线的方程为：，联方程组，消去整理得：，所以：，又共线，得，同理：，又因为，则综上，为定值.52（2020届山东省淄博市高三二模）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】（）详见解析；（）能，或【解析】 (1)设直线，由得，直线的斜率，即即直线的斜率与的斜率的乘积为定值（2）四边形能为平行四边形直线过点，不过原点且与有两个交点的充要条件是，由 ()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入
37、直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即解得，当的斜率为或时，四边形为平行四边形53（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）由已知可得：解得，所以椭圆：.（2）由已知可得，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，则，.即，因为，即.所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.54（2020山东高三下学期开学）已
38、知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.（1）证明：点恒在椭圆上.（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】（1）证明：由题意知，设，则.直线的方程为，直线的方程为，联立可得，即的坐标为.因为，所以点恒在椭圆上.（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在轴上，故设，由可得.因为直线与椭圆只有一个公共点，所以，所以.又因为，所以，即.所以对于任意
39、的满足的恒成立，所以解得.故在平面内存在定点，使得恒成立.55（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由，得，设，则，即，解得，所以抛物线C的方程； （2）由（1）得，即AB的中点坐标为，则AB的中垂线方程为，即. 设所求圆的圆心坐标为，则，解得或， 因此所求圆的方程为或点睛：（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：，.5
40、6（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】 (1)由条件可得:解得，所以椭圆的方程为，卫星圆的方程为(2)当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，线段应为“
41、卫星圆”的直径，当，都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，所以，满足条件的两直线，垂直线段应为“卫星圆”的直径，综合知：因为，经过点，又分别交“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，为定值57（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知椭圆，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且。(1)抛物线C的标准方程;(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，焦点的坐标为，则，又，解得：.故抛物线的标准方程为.（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，显然直线的斜率不为0.设直线的方程为.联立方程消去，并整理得，则且，.由，.有 若为定值，必有.所以当为定值时，点的坐标为.58（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知P是圆F1：（x+1）2+y216上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF