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1、方法技巧专题20 轨迹方程问题一、 轨迹方程问题知识框架二、求轨迹方程的常用方法【一】定义法定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.例题【例1】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【例2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 2.巩
2、固提升综合练习【练习1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【练习2】一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（ ）A. 抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支【练习3】已知ABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且acb，a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【二】直译法直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。1.例题【例1】一条线段AB
3、的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？【例2】双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，两点A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线【例3】已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2.巩固提升综合练习【练习1】动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【练习2】某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个
4、标准圆柱的直径为多少？【练习3】已知平面上两定点、，为一动点，满足求动点的轨迹的方程.【三】参数法参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。1.例题【例1】过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【例2】设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。【例3】 过抛物线（）的顶
5、点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.2.巩固提升综合练习【练习1】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。【练习2】过点A（1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。【四】代入法（相关点法）代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
6、1.例题【例1】 轨迹方程。【例2】双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。【例3】如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.yQOxNP2.巩固提升综合练习【练习1】 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程【练习2】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【五】交轨法交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参
7、数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。1.例题【例1】抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。【例2】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程.2.巩固提升综合练习【练习1】如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 【六】点差法点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，
8、由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.1.例题【例1】已知椭圆，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程.2.巩固提升综合练习【练习1】抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 .【练习2】已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点P(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 .三、 阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿
9、波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证明：设以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则又设，则由得:， 两边平方并化简整理得:， 当时，轨迹为线段的垂直平分线；当时，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆 1.例题【例1】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且（）圆的标准方程为 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：；其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）2.巩固提升综合练习【练习1】若，则的最大值为 四
10、、课后自我检测 1在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_.2两条直线与的交点的轨迹方程是 .3已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .4当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 .5点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为 .6求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。8已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。10 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.11已知点到两定点、距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程.