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1、核心素养系列（六）数学抽象、数学运算函数奇偶性的拓广性质及应用函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用一若函数f(x)是奇函数，且g(x)f(x)c，则必有g(x)g(x)2c.【典例1】已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5B1C3 D4【素养指导】首先确定自变量之间的关系，然后结合奇函数的性质整
2、理计算即可求得最终结果【答案】C【解析】设g(x)ax3bsin x，则f(x)g(x)4，且函数g(x)为奇函数又lg(lg 2)lg(log210)lg(lg 2log210)lg 10，所以f(lg(lg 2)f(lg(log210)248，又f(lg(log210)5，所以f(lg(lg 2)3.故选C.【素养点评】由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用【素养专练】对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果
3、一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2【答案】D【解析】设g(x)asin xbx，则f(x)g(x)c，且函数g(x)为奇函数注意到cZ，所以f(1)f(1)2c为偶数故选D.二已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【典例2】设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_【素养指导】函数化简f（x）=1+sinx+2xx2+1g（x）=-sinx-2xx2+1=-g（x）求出M+m2【答案】2【解析】显然函数f(x)的定义域为R，f(x)
4、1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【素养点评】利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.【素养专练】（2020河南平顶山月考（文）已知函数，若，则（ ）ABC1D2【答案】C【解析】因为是奇函数，又，故可得.故选C.三若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)【典例3】（2018大荔县模拟）设函数f（x）ln（1+|x|）-11+x2，则使得f（x）f（2x1）成
5、立的x的取值范围是（）A（13，1）B（，13）（1，+）C（-13，13）D（，-13）（13，+）【素养指导】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，化简不等式推出结果即可【答案】B【解析】函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2，是偶函数，x0时，函数是增函数，所以：f（x）f（2x1），可得|x|2x1|，即x2（2x1）2，可得3x24x+10，解得x（，13）（1，+）故选B【素养点评】本例结合函数的偶函数性质f(x)f(|x|)减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量【素养专练】设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2由f(x)x38，知f(x)在0，)上单调递增，且f(2)0.所以由已知条件可知f(x2)0f(|x2|)f(2)所以|x2|2，解得x4.故选B.3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！