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1、方法技巧专题16 立体几何中平行与垂直证明 解析版 一、立体几何中平行与垂直知识框架 二、立体几何中的向量方法 【一】“平行关系”常见证明方法1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：b如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 1.1.6 利用直
2、线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。a1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相
3、交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。P1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】 如图，已知菱形，其边长为2，绕着顺时针旋转得到，是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【例2】 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点 【例3】如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，分别是，上的点且，求证：平面 2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在六面体中，平面平面，平面，,且, 求证： 平面； ABCDEGF【练习2】如图，分别是正方体
4、的棱，的中点求证：（1）平面；（2）平面平面【练习3】在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且， 平面， ， 为中点.求证： 平面.【二】“垂直关系”常见证明方法2.1直线与直线垂直的证明2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90，则两直线互相垂直。2.1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 b2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于
5、交线的直线，则这两条直线互相垂直。b2.1.5 利用常用结论：c 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。b b 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。2.2 直线与平面垂直的证明2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于
6、交线的直线与另一个平面垂直。2.2.5 利用常用结论： 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。2.3 平面与平面垂直的证明2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。1.例题【例1】APBCFED如图,四边形ABCD为矩形，CF平面ABCD，DE平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2
7、a，P为AB的中点.求证：平面PCF平面PDE.【例2】如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，点是的中点，点在上移动。求证：。【例3】如图，在四边形中，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.证明：平面.2.巩固提升综合练习【练习1】 如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且AD=2，SA=1。求证：PD平面SAP；【练习2】 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面；【练习3】如图，四棱锥中，为正三角形且证明：平面平面 三、课后自我检测 1如图，四边形为正方形，平面，（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；（3）求证：平面2直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点.（1）当点是的中点时，求证： 平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.3.如图， 为等边三角形， 平面， ， ， 为的中点.（）求证： 平面；（）求证：平面平面.4.已知平面四边形中， 中， ，现沿进行翻折，得到三棱锥，点， 分别是线段， 上的点，且平面.求证：（1）直线平面；来源:学*科*网（2）当是中点时，求证：平面平面.平面.