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1、专题07 平面向量一、单选题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知点P是所在平面内一点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：.如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】B【解析】A选项：因为，则，设中点为，所以，则为三角形重心；B选项：由得则，所以， 是直角三角形，；C选项：由得为三角形外心，；D选项：由得则 同理 ，所以为三角形垂心，因为只有一个等式不成立，所以ACD至少有两个成立，而其中任两个成立，则为三角形中心，即第三个必成立，因此只能是B错误故选：B2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学
2、期12月月考模拟】已知四边形中，分别为，的中点，若，则（ ）ABCD1【答案】A【解析】依题意，可知四边形为直角梯形，所以.故选：A3. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】在直角梯形中，是的中点，则ABCD【答案】D【解析】，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为=2，同理，故选D.4. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】梯形中，若，则（ ）A12B16C20D24【答案】C【解析】因为，所以，所以，可得，.故选：C.5. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】在平行四边形ABCD中，M，N分别
3、为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P.已知且，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，则，则P，M，N共线，故选：B.6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】平面向量，则向量、夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设平面向量、的夹角为，则，由平面向量数量的定义可得.故选：A.7. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古
4、代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设，由题意，可得，在中，可得，过点作于点，则，且，所以，所以，因此.故选：A.8. 【江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期末】已知向量，若，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】B【解析】向量，若，则，即，则与的夹角的余弦，又夹角，故夹角为故选：B9. 【江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考】如图，在中，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）A0BCD【答案】C【解析】如图所示，作，可得，即
5、，利用向量的三角形法则，可知若与O重合，则若在O左侧，即在上时, 若在O右侧，即在上时，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）故选：C.10. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】已知图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，是其中四个圆的圆心，则（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示,建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60,.故选：A.11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在梯形中，已知，为的中点，则（ ）A1BC3D【答案】B【解析】因为，为的中点
6、，所以，则为等边三角形，所以，又，所以，则，因为，所以，即为直角三角形，所以，因此.故选：B.12. 【江苏省南通市四校（四星级学校）2020-2021学年高三上学期第一次联考】平面向量，则向量、夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设平面向量、的夹角为，则，由平面向量数量的定义可得.故选：A.13. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】已知、为单位向量，且，则，的夹角为（ ）A或BC或D【答案】D【解析】，即.因为、为单位向量，即,所以，所以，又所以,即，的夹角为.故选：D.14. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上
7、学期12月三校联考】已知向量，满足1，2，且，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】D【解析】，故与的夹角为. 故选：D二、填空题1. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期初调研】已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是_.【答案】【解析】画出图形如图，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，由图可知，在处时，取得最大值，此时，可得，即最大值为6，在处取得最小值，此时，最小值为，因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，所以的取值范围是故答案为：2. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】平行四边形中,为的中点,点满足,若,则的值为_.【答案】【解析】因为为的中点
8、,点满足,所以,又因为所以 又因为在平行四边形中,所以整理得:即: ,又因为、不共线,由平面向量基本定理得：,解得：,所以.故答案为：3. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】已知ABC是边长为3的正三角形，点D在边BC上，且，则_【答案】6【解析】如图所示，ABC中，所以（），（）33cos60326故答案为：64. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则实数_.【答案】【解析】 ，是单位向量，与垂直，解得.故答案为：.5. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】半圆的直径
9、，为半圆上的点满足，为上的点满足，则_.【答案】【解析】如下图所示：由已知可得为直角，且，所以，因此，.故答案为：.6. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】已知正三角形的边长为，则_.【答案】【解析】正三角形的边长为，如图，,故答案为：7. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为_【答案】【解析】由题意可得，设，则，由，取得最大值1，则取得最大值2；由，取得最小值，则取得最小值0；故取值范围是，故答案为：.8. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学
10、期第一次联考】已知向量，且，则_.【答案】【解析】，又，解得：.故答案为：.9. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】已知正三角形的边长为，则_.【答案】【解析】正三角形的边长为，如图，,故答案为：三、解答题1. 【江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期末】在平面直角坐标系xoy中，已知点A(1，3)，B(2，-2)，C(4， 1).（1）若求点D的坐标;（2）设实数k满足，求实数k的值.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）因为、所以，设，所以因为所以所以解得所以点的坐标为（2），因为，所以解得2. 【江苏省南通市海门中学20
11、20-2021学年高三上学期10月月考】在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，且AOCx，其中O为坐标原点（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若x，向量，(1cos x，sin x2cos x)，求的最小值及对应的x值【答案】（1）；（2）的最小值为1 ，此时x【解析】（1）设D(t，0)(0t1)，由易知C， ，(0t1)，当t时，最小，为（2）由题意得C(cos x，sin x)，(cos x1，sin x)，则1cos2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sinx，2x，当2x，即x时，sin取最大值1，的最小值为1，此时x.