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1、2024年全国硕士研究生考试数学二（真题卷）单选题1.函数的第一类间断点的个数是()。A.3B.2C.1D.0 正确答案：C参考解析：根据题意，无定义的点为1，2，0。所以第一类间断点的个数是1个，故选择C项。单选题2.设函数yf（x）由参数方程确定，则()。A.2eB.C.D. 正确答案：B参考解析：函数f（x）可导，且，当x2，t1时，所以，故选择B项。单选题3.设函数，则()。A.f（x）是奇函数，g（x）是奇函数B.f（x）是奇函数，g（x）是偶函数C.f（x）是偶函数，g（x）是偶函数D.f（x）是偶函数，g（x）是奇函数 正确答案：D参考解析：令，此时h（x）是一个偶函数，所以，f
2、（x）h（sinx）为偶函数，从而g（x）为奇函数，故选择D项。单选题4.已知数列an（an0），若an发散，则()。A.发散B.发散C.发散D.发散 正确答案：D参考解析：对于A项，令，所以收敛。对于B项，令，所以收敛。对于C项，令，所以收敛。故选择D项。单选题5.已知函数，则在点（0，0）处()。A.连续，f（x，y）可微B.连续，f（x，y）不可微C.不连续，f（x，y）可微D.不连续，f（x，y）不可微 正确答案：C参考解析：点（0，0）处，。同理。x0时，。因为故f（x，y）在（0，0）点处可微，排除B项和C项；当（x，y）（0，0）时，极限不存在，故在（0，0）点处不连续，故选择C
3、项。单选题6.设f（x，y）是连续函数，则()。A.B.C.D. 正确答案：A参考解析：积分区域为D：，sinxy1，故交换积分次序可得：故选择A项。单选题7.设非负函数f（x）在0，）上连续，给出以下三个命题：若收敛，则收敛。若存在p1，使得存在，则收敛。若收敛，则存在p1，使得存在。其中真命题的个数为()。A.0B.1C.2D.3 正确答案：B参考解析：若，收敛，但，故错误。当p1时，收敛，由于存在，故根据比较判别法，可知收敛，故正确。若，p4时，则不存在，故错误。单选题8.设A为3阶矩阵，若，则A()。A.B.C.D. 正确答案：C参考解析：由，则可得：故选择C项。单选题9.设A为4阶矩
4、阵，A*为A的伴随矩阵，若A（AA*）0，且AA*，则r（A）取值为()。A.0或1B.1或3C.2或3D.1或2 正确答案：D参考解析：由题设知r（A）r（AA*）4、A2AA*AE，又因为r（AA*）1，则1r（A）3，则A2O，故r（A）r（A）4，即r（A）2，综上1r（A）2。故选择D项。单选题10.设A、B为2阶矩阵，且ABBA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()。A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 正确答案：A参考解析：设A，同左乘B得BAB，即ABB。若B0，则B为A对应于的特征向量，则Bk（k0），则为B对应于k的特征
5、向量。若B0，则B0，则为B对应于0的特征向量。综上：必为B的特征向量，即A的特征向量都是B的特征向量，同理B的特征向量都是A的特征向量。故选择A项。问答题1.设平面有界区域D位于第一象限，由曲线，xy3与直线，y3x围成，计算。 正确答案：详见解析参考解析：积分区域的图像关于yx对称，由轮换对称性可得：因此，有：问答题2.设y（x）为微分方程x2yxy9y0满足条件，的解。（1）利用变换xet将上述方程化为常系数线性方程，并求y（x）；（2）计算。 正确答案：详见解析参考解析：（1）对于xet，有tlnx，因此可得：从而原方程化为，即。故可得通解yC1e3tC2e3tC1x3C2x3，代入，
6、可得C12，C20。因此，y（x）2x3。（2）问答题3.设t0，平面有界区域D由曲线与直线xt，x2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为V（t），求V（t）的最大值。 正确答案：详见解析参考解析：则V（t）te2t（14e2t），令V（t）0，可得tln2。因为t（ln2，ln2）有V（t）0，t（ln2，ln2）有V（t）0，所以tln2为V（t）的极大值点即最大值点。故最大值为。问答题4.已知函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，且函数g（x，y）f（2xy，3xy）满足。（1）求；（2）若，求f（u，v）的表达式。 正确答案：详见解析参考解析：（1），。，。代入原方程：。（2
7、）因为。又因为。所以。因为。所以。问答题5.设函数f（x）具有2阶导数，且f（0）f（1），|f（x）|1，证明：（1）当x（0，1）时，；（2）。 正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：令g（x）f（0）（1x）f（1）x。令。因为F（0）0，F（1）0。且F（x）f（x）10。（|f（x）|1）所以F（x）为凹函数，因此F（x）0。所以。令。因为F（0）0，F（1）0。且F（x）f（x）10。（|f（x）|1）所以F（x）为凸函数，因此F（x）0。所以。综上，。（2）由（1）中由第（1）中综上，。问答题6.设矩阵，二次型。已知方程组的解均是的解，但这两个方程组不同解。（1）求a、b的值；
8、（2）求正交变换xQy将f（x1，x2，x3）化为标准形。 正确答案：详见解析参考解析：由题知与同解，故。又由，故a1，b2。（2）由（1）知，故二次型矩阵为，由，得120，36。当120时，Cx0，可得基础解系为：，。当36时，（6EC）x0，可得基础解系为：。可知1，2，3为正交向量组，将其单位化如下：，故正交矩阵为：此时二次型经正交变换xQy可化为标准形为。填空题1.曲线y2x在点（0，0）处的曲率圆方程为()。 正确答案：或x2xy20参考解析：曲线的参数方程为。由曲率公式，可得在（0，0）处的曲率K2，则（0，0）处的曲率半径，又曲线在（0，0）处的切线为y轴，则曲率中心为，故曲率圆
9、的方程为，即x2xy20。填空题2.函数f（x，y）2x39x26y412x24y的极值点是()。 正确答案：（1，1）参考解析：由，可得驻点（1，1）和（2，1）。，。对于驻点（1，1）：A6，B0，C72，由ACB20且A0可知，驻点（1，1）是f（x，y）的极小值点。对于驻点（2，1）：A6，B0，C72，由ACB20可知，驻点（2，1）不是f（x，y）的极值点。填空题3.微分方程满足条件y（1）0的解为()。 正确答案：参考解析：令xyu，等式两边同时对x求导，得到u1y，代入原式可得，整理得，即，求得uarctanuxc，即yarctan（xy）c，把初始条件代入可得，解得。填空题4.已知函数f（x）（ex1）x2，则f（5）（1）()。 正确答案：31e参考解析：由莱布尼兹公式可得。因此，f（5）（1）31e。填空题5.某物体以速度v（t）tksint做直线运动，若它是从t0到t3的时间段内平均速度为，则k()。 正确答案：参考解析：由函数的平均值公式可得，解得。填空题6.设向量，若1，2，3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab()。 正确答案：4参考解析：由于任意两向量线性无关，则a1。因此，可得：由于1，2，3线性相关，所以r（1，2，3）3，因此a2，b2，故ab4。