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1、专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、-2，-1,0,1,2等特殊值代入求解；2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（
2、且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T81已知函数的定义域为R，且，则（）ABC0D1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出【详解】方法一：赋值加性质因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A方法二：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，且，所以，由于22除以6余4，所以故选：A【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是
3、该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112（多选）已知函数的定义域为，则（）ABC是偶函数D为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，故正确.对于B，令，则，故B正确.对于C，令，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于
4、A，令，故正确.对于B，令，则，故B正确.对于C，令，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.重点题型归类精讲2023山东青岛统考三模1 设为定义在整数集上的函数，对任意的整数均有则_【答案】【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令，则，；令，则，又，；令，则，关于直线对称；令，则，不恒成立，恒成立，为奇函数，是周期为的周
5、期函数，.故答案为：.2023山东滨州三模2 （多选）已知连续函数对任意实数x恒有，当时，则以下说法中正确的是（）Af（0）0Bf(x)是R上的奇函数Cf(x)在3，3上的最大值是6D不等式的解集为【答案】ABC【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有，令，可得，A正确；对于B，令，可得，所以，所以是奇函数；B正确；对于C，令，则，因为当x0时，f(x)0，所以，即，所以在均递减，因为，所以在上递减； ，可得；令，可得，；，在，上的最大值是6，C正确；对于D，由不等式的可得，即，则，解得：或；D不对；故选：ABC安徽省皖
6、江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3 已知函数不是常数函数，且满足以下条件：，其中；，则（）A0B1C2D【答案】D【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得，即，则，即，故，所以函数的周期为，所以，故选：D.4 （多选）已知定义在上的函数满足，且，则（）ABCD【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在上的函数满足，令，得，而，则，A正确；令1，得，而，则， 令，得，即，而，即，则，B正确；令，得，即有，因此，C错误，D正确.故选：ABD5 已知函数及其导函数的定义域均
7、为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（）；必为奇函数；若，则.A1B2C3D4【答案】C【分析】利用赋值法可判断；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断；赋值，令，得出，变量代换可判断；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故正确；对于D，若，令 ，则，则，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，由此可得的值有周期性，且6个为一周
8、期，且 ，故，故正确，即正确的是，故选：C.2023浙江嘉兴统考模拟6 已知函数的定义域为，且，则的值是（）A9B10C11D12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解【详解】中令，则，中令，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，则故选：D2023届江苏连云港校考7 已知函数，任意，满足，且，则的值为（）AB0C2D4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，则，所以；令，则，所以；令，则，所以，.令，则，令，则，令，则，假设，那么由可知，将，代入式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x为偶数时，.所以原
9、式=.故选：C.8 已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（）AB函数的图象关于点对称CD若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；对于B，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，代入已知等式得，可得，结合得， 再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
10、令，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴高二期末9 已知函数的定义域为R，且，为奇函数，则（）A
11、BC0D【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则，所以，周期为4，所以.由，令，则有，所以，.因为为奇函数，所以，所以，所以函数关于点对称，所以，.令，则.令可得，所以，所以，所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，.所以，所以，.故选：B.10 （多选）已知函数的定义域为,则（）AB是奇函数C为的极小值点D若,则【答案】ABD【分析】利用赋值法,令判断A得正误;令,结合奇函数的定义判断B的正误;举例判断C的正误;令,则,再利用累加
12、法即可判断D的正误.【详解】令，则，所以，故A正确;令，则，所以是奇函数，故B正确;令，其定义域为,且满足题意，因为函数为上的增函数,所以不是的极小值点,故C错误;令,则,即,故D正确.故选:ABD.11 （多选）设是定义在上的函数，对，有，且，则（）ABCD【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可.【详解】A：在中，令，则有，在中，令，则有，因此本选项正确；B：若成立，即有，在中，令，则有，这与相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确；C：在中，以代，得，以代，得，上面两个等式相加，得，或，当时，则有，显然与矛盾，因此，于是有，因此函数
13、的周期为，由，由，在中，令，得，令，得，由，于是有，因为，所以由，于是，因此，因此本选项正确；D：在中，令，所以有，因此有：因为，函数的周期为，所以，因此本选项正确，故选：ACD.12 （多选）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（）AB必为奇函数CD若，则【答案】BCD【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.【详解】对于A，令，则由可得，故或，故A错误；对于B，当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上
14、可知必为奇函数，B正确；对于C，令 ，则，故.由于,令,即，即有，故C正确；对于D，若，令 ，则，则 ，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即， 由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故D正确，故选：BCD.13 已知函数的定义域为，满足，且，则（）AB为奇函数CD【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求的值；B.赋值，即可判断函数的奇偶性；C.赋值，利用函数的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明，即可判断.【详解】A.令，有，得，A正确；B.令，得，则，函数的定义域为，所以函数为偶函数，故B错误；C.令，得，即，设，则，所以，所以函数的周期为2，
15、所以，所以，故C正确，D.由，令，得，所以，将换成，得，将换成，得，将换成，换成，得,+-,得，则，得，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14 （多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（）AB是偶函数C关于中心对称D【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.【详解】令，则或，故A错误，若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；
16、因此B正确，令，则，所以关于中心对称，故C正确，由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，令，则，故，进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.故选：BC15 函数的定义域为，且，则 .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答.【详解】函数的定义域为，由，得，因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，由，得，又，从而，所以.故答案为：216 已知函数满足：，则 .【答案】【分析】由已知等式联想到三角公式，构造函数求解.【详解】由已知等式联想到三角公式，注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数，则，故函数满足题意，而函数是周期的函数，.故答案为：.【点
17、睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式，并且还要根据构造出合适的函数，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。17 已知函数定义域为，满足，则 .【答案】【分析】根据题意，由条件可得函数为周期函数，且周期为，然后求得即可得到结果.【详解】因为，令，可得，所以，所以，即函数为周期函数，且周期为，当时，所以，所以，则.18 设为定义在整数集上的函数，对任意的整数均有则 【答案】【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令，则，；令，则，又，；令，则，关于直线对称；令，则，不恒成立，恒成立，
18、为奇函数，是周期为的周期函数，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.19 （2024届厦门一中校考）若定义域为的奇函数满足，且，则 【答案】2【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函数的周期为.因为是定义域为的奇函数，所以，即.令，则，解得，所以.故答案为：.20 函数的定义域为，对任意，恒有，若，则 ， 【答案】 , 【分析】取特殊值可得
19、；取特殊值可得是周期为函数，计算出的值可得答案.【详解】令，则，解得，令，则，因为，所以；令，则，令，则，令，则，令，则，即，可得，令，则，令，则，可得，从而，所以，可得，所以，是周期为的函数，.故答案为：；0.深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（）A为偶函数BCD【答案】BCD【分析】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到.【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误；对于B，因为为偶函数，所以，所以关于对称，所以，故B正确；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：BCD23