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1、Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学试题卷命题: 海宁高级中学 谢 艳、倪 娜磨题: 余姚中学 徐凤莹 玉环中学 徐伟建 龙湾中学 梁世日 校稿: 张艳宗、过利霞注意事项：1. 答卷前, 务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 请保持答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的.1. 集合 A=x2x4，B=xx-18-2x ，则 AB=A. 2,4) B. 3,4) C. 2,+) D. 3,+)2. 复数的虚部是A. i B. 1 C. -2i D. -23. 已知单位向量 a,b 满足 ab=0 ，则 cos=A. 0 B. C. D. 14. 设 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S3=a4-2，S2=a3-2 ，则公比 q=A. 2 B. -2 C. D.5. 已知 A-2,-2，B1,3 ，点 P 在圆 x2+y2=4 上运动，则 PA2+PB2 的最大值为A. 16-62 B. 26+22 C. 26+42 D. 3
3、26. 若函数 fx=sinx+cosx 的最大值为 2，则常数 的取值可以为A. 1 B. C. D.7. 已知 x 表示不超过 x 的最大整数，若 x=t 为函数的极值点，则 ft=A. B. C. D.8. 设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足， ，则该双曲线的渐近线方程为A. 2xy=0 B. x2y=0 C. 3xy=0 D. x3y=0二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是A. 数据 7，5，3，10，2 的第 40 百分位数是 3B. 已知随
4、机变量 X 服从正态分布 N，2， 越小，表示随机变量 X 分布越集中C. 已知一组数据的方差为 3，则 x1-1，x2-1，x3-1,，xn-1 的方差为 3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y=0.3x-m ，若其中一个散点为 m，-0.28 ，则 m=410. 已知 ABC 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是A. B. 若 a=4,b=5 ，则 ABC 有两解C.当时， ABC 为直角三角形D. 若 ABC 为锐角三角形，则 cosA+cosC 的取值范围是11. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 E
5、、F 分别为线段 B1C，D1C1 的中点，点 P 满足 DP=DD1+DB，0,1，0,1 ，则A. 当 +=1 时，三棱雉 D-PEF 的体积为定值B. 当，四棱雉 P-ABCD 的外接球的表面积是C. PEF 周长的最小值为D. 若，则点 P 的轨迹长为第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 5，侧面积为 30 ，则圆台的高为 .13. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同 一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 种. (用数字作答)14. 已知关于 x
6、的不等式 lnx-2axx2-2a+1x+10 对任意 x0,+ 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. （13分）已知等差数列 an 的公差不为零， a1、a2、a5 成等比数列，且 a2n=2an+1 .（1）求数列 an 的通项公式;（2）求 a1+a3+a5+a2n-1 .16. （15分）已知四面体 A-BCD,AB=AD=BC=CD=2,AC=3 .（1）证明: ACBD ;（2）若 BD=23 ，求直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值.17. （15分）为了增强身体素质，寒假期间小
7、王每天坚持在 “跑步 20 分钟”和“跳绳 20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为 80% ，跳绳的概率为 20% ，在下雪天他跑步的概率为 20% ，跳绳的概率为 80% . 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 40% . 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳 20 分钟大约消耗能量 200 卡路里. 记寒假第 n 天不下雪的概率为 Pn .（1）求 P1、P2、P3 的值，并求 Pn ;（2）设小王寒假第 n 天通过运动消耗的能量为 X ，求 X 的数学期望.18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F
8、1、F2 ，焦距为 23 ，离心率为， 直线 l:y=x+m 与椭圆交于 A、B 两点 （其中点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方）.（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 AF1F2）与 y 轴 负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 BF1F2 ) 垂直.若折叠后 OAOB ，求 m 的值;是否存在 m ，使折叠后 A、B 两点间的距离与折叠前 A、B 两点间的距离之比为 ? 折叠前 折叠后19. （17分）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，
9、则称 fx 为 “旋转函数”.（1）判断函数 y=3x 是否为“旋转函数”，并说明理由;（2）已知函数 fx=ln2x+1x0 是“旋转函数”，求tan 的最大值;（3）若函数 gx=mx-1ex-xlnx-x22 是“旋转函数”，求m的取值范围.Z20 名校联盟 (浙江省名校新高考研究联盟) 2024 届高三第三次联考数学参考答案一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.题号12345678答案CDBACDBB8. 设 PF1=m,PF2=n ,由双曲线的定义知 m-n=2a (1),在 F1PF2 中,由余弦
10、定理得 4c2=m2+n2-2mncosF1PF2, 4c2=m2+n2-67mn (2),又 2m2+n2=3a2+2c2 , m2+n2=9a2+4c22 (3),由 (1) (3) 得 mn=14a2+c2 (4), 把 (3) (4) 代入 (2) 得 4c2=9a2+4c22-6714a2+c2 ,化简得 20c2=30a2,20a2+20b2=30a2a2b, 渐近线方程 为 x2y=0 .二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.题号91011
11、答案BCACDABD11. A 选项当 +=1 时,点 P 在线段 D1B 上,且 D1B/EF,VD-PEF=VB-DEF 为定值,A 正确.B 选项当 =12 时,点 P 为线段 D1B 的中点,易求正四棱雉 P-ABCD 的外接球的半径为 34 , 则表面积是 94,B 正确.C 选项点 P 在矩形 D1B1BD 及其内部,取线段 A1D1 的中点 F1 ,由对称性知, PF=PF1 ,PF+PE=PF1+PEF1E=52PF+PE+FE52+32 ,C 错误.D 选项 AP=62 ,又点 P 在矩形 D1B1BD 及其内部, 点 P 的轨迹为点 A 为球心,半径长为 62 的球面被平面
12、 D1B1BD 截且在矩形 D1B1BD 及其内部的图形,为圆（部分）, r=622-222=1 ,该圆是以 BD 的中点为圆心,半径为 1 的圆的一部分 (即 14 圆周), 则轨迹长为 2,D 正确.三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 3; 13. 180 ; 14. 12e,1214. 不等式可化为 2ax-lnx2ax-x2-x+10 ,即 lnx2axx2-x+1 ,数形结合得, k12ak2其中 k1 为过原点且与 y=lnx 相切的直线, k2 为过原点且与 y=x2-x+1 相切的直线,易得 k1=1e,k2=1 .故 1e2a1,12e
13、a12 .四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. (13 分) 解: (1) 由题意 a2n=2an+1a2=2a1+1d=a1+1 (1) .2 分a22=a1a5a1+d2=a1a1+4dd=2a12. 2 分由(1)(2)可得 a1=1,d=2 2 分所以 an=1+n-12=2n-1 .1 分(2) a1+a3+a5+a2n-1=a1+a2n-1n2=nan=2n2-n .6 分16. (15 分) 解:(1) 取 BD 的中点 M ,连 AM,CM ,由 AB=AD=BC=BD ,可得 BDAM,BDCM , .2 分又因为
14、AMCM=M , AM、CM 平面 ACM ,所以 BD 平面 ACM , .2 分因为 AC 平面 ACM ,所以 ACBD .2 分(2) 方法 1:因为 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,又 AC=3 ,所以 AMC=120 ,由 (1) 可得 BD 平面 ACM ,所以平面 BCD 平面 ACM ,作 AHCM 交 CM 延长线于点 H ,则 AH 平面 BCD 且 AH=32 , .3 分设点 B 到平面 ACD 的距离为 h ,VB-ACD=VA-BCD .2 分 13SACDh=13SBCD32h=122332123132=2313.2 分设直线 AB 与平面 ACD 所成角
15、为 ，sin=hAB=3913所以直线 AB 与平面 ACD 取成线面角的正弦值为 3913 2 分 方法 2:因为 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,又 AC=3 ,所以 AMC=120 ,由 (1) 可得 BD 平面 ACM所以平面 BCD 平面 ACM ,作 AHCM 交 CM 延长线于点 H ,则 AH 平面 BCD 且 AH=32 , 如图,以 MB 为 x 轴, MC 为 y 轴, z 轴 /AH 建立空间直角坐标系A0,-12,32,B3,0,0,C0,1,0,D-3,0,0 .3 分AC=0,32,-32,DC=3,1,0,AB=3,12,-32设面 ACD 的一个法向量为
16、 n=x,y,znAC=0nDC=03y=3z3x+y=0 令 x=1 ,则 y=-3,z=-3所以 n=1,-3,-3 .4 分设直线 AB 与平面 ACD 所成角为 ,sin=cos=ABnABn=23132=3913所以直线 AB 与平面 ACD 取成线面角的正弦值为 3913 .2 分17. (15 分) 解:(1) 依题意, P1=1,P2=10.4=0.4,P3=0.40.4+0.60.6=0.52 3 分依题意 Pn=0.4Pn-1+0.61-Pn-1=-15Pn-1+35 , 2 分整理得 Pn-12=-15Pn-1-12 ,所以 Pn-12 是以 P1-12=12 为首项,
17、-15 为公比的等比数列, .2 分即 Pn-12=12-15n-1,Pn=12+12-15n-1 .1 分(3) X=200,300 .1 分PX=300=0.8Pn+0.21-Pn=0.6Pn+0.2, 3 分则他第 n 天通过运动锻炼消耗的能量 X 的期望为 300PX=300+2001-PX=300=200+100PX=300=220+60Pn=250+30-15n-1 . .3 分18. (17 分) 解:(1) 由题意 c=3,ca=32 ,解得: a=2,b=1 ,所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 .4 分(2) 折叠前设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,联立 y=x+
18、mx2+4y2=45x2+8mx+4m2-1=0直线 y=kx+m 与椭圆交于不同两点,所以 0 ,解得 m25 ,从而 x1+x2=-8m5x1x2=4m2-15因为 AB 位于 x 轴两侧,则 m24 ,从而 -2m0 与函数 y=kx+b 最多有 1 个交点,且 k=tan2-即 ln2x+1=kx+bx0 最多有一个根,ln2x+1-kx=bx0即函数 y=ln2x+1-kxx0 与函数 y=bbR 最多有 1 个交点,即函数 y=ln2x+1-kx 在 0,+ 上单调, .2 分y=22x+1-k.因为 x0,22x+10,2 ,所以 y=22x+1-k0,k22x+1 ,所以 k2
19、 , 2 分即 tan2-2,tan12 ,即 tan 的最大值为 12 . .2 分(3) 由题意可得函数 gx=mx-1ex-xlnx-x22 与函数 y=x+b 最多有 1 个交点,即 mx-1ex-xlnx-x22=x+bmx-1ex-xlnx-x22-x=b ,即函数 y=mx-1ex-xlnx-x22-x 与函数 y=b 最多有 1 个交点,即函数 y=mx-1ex-xlnx-x22-x 在 0,+ 上单调,y=mxex-lnx-x-2 ,当 x0 时, y+,所以 y0mlnx+x+2xexmax , .4 分令 x=lnx+x+2xex ,则 x=x+1-lnx-x-1x2ex ,因为 t=-lnx-x-1 在 0,+ 上单调减,且 t140,t10 ,所以存在 x014,1 ,使 tx0=0 ,即 lnx0+x0=-1lnx0ex0=-1x0ex0=1e ,所以 x 在 0,x0,x0,+ ,所以 max x=x0=lnx0+x0+2x0ex0=1x0ex0=e ,即 me . 4 分学科网（北京）股份有限公司