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1、华师大版初中数学知识点梳理华师大版初中数学知识点梳理第一单元 数与式第 1 讲 实 数（1）按定义分正有理数（2）按正、负性分（1）0 既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：含的式有理数0负有理数有限小数或正实数无限循环小数实数 0子；构造型：如 3.010010001（每两个 1之间多个 0）就是一个无限不循环小数；实数开方开不尽的数：如，；三角函数型：如正无理数负实数sin60，tan25.无理数无限不循环小数（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于负无理数有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1. 实数知识点二 ：实
2、数的相关概念（1）三要素：原点、正方向、单位长度例：2. 数轴3. 相反数4. 绝对值（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（1） 概念：只有符号不同的两个数（2） 代数意义：a、b 互为相反数 a+b=0（3） 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等（1） 几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2） 运算性质：|a|=a (a0)； |a-b|=a-b(ab)-a(a0).b-a(ab)（3） 非负性：|a|0，若|a|+b2=0,则 a=b=0.数轴上-2.5 表示的点到原点的距离是2.5. a 的相反数为-a，特别的 0 的绝对值
3、是 0.例：3 的相反数是-3，-1 的相反数是 1.（1）若|x|=a（a0），则 x=a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5 的绝对值是 5；|-2|=2；绝对值等于3 的是3;|1-|=-1.5. 倒数（1） 概念：乘积为 1 的两个数互为倒数.a 的倒数为 1/a(a0)例：（2） 代数意义：ab=1a,b 互为倒数-2 的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有1.知识点三 ：科学记数法、近似数（1）形式：a10n,其中 1|a|10，n 为整数例：6. 科学记数法7. 近似数（2）确定 n 的方法：对于数位较多的大数，n 等于原数的整数为减去 1；对于小数，写成 a10-n
4、，1|a|10，n 等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）（1） 定义：一个与实际数值很接近的数.（2） 精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.21000 用科学记数法表示为 2.1104；19 万用科学记数法表示为 1.9105；0.0007 用科学记数法表示为 710-4.例：3.14159 精确到百分位是 3.14；精确到 0.001 是 3.142.知识点四 ：实数的大小比较8. 实数的大小比较（1） 数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.例：（2） 性质比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值把 1，-2,0，-2.3
5、按从大到小的顺序排大的反而 小.列结果为10-2-2.3_.（3） 作差比较法：a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab.（4） 平方法：ab0a2b2.知识点五 ：实数的运算9. 乘 方零次幂几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） a0=_1_(a0)例：（1）计算：1-2-6=_-7 ;(-2)2=4 ;常负指数幂a-p=1/ap（a0，p 为整数）3-1=_1/3_;0= 1 ;见平方根、2 aa(2)64 的平方根是_8 ,算术平方根是运算术平方根算若 x =a（a0）,则x=.其中是算术平方根. 8_,立方根是 4 .立方根若 x3=a,则 x= 3 a失分点警示：类似
6、 “的算术平方根”计10. 混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化算错误.例：相互对比填一填：16 的算术平方根是 4,的算术平方根是2 .知识点一：代数式及相关概念第 2 讲 整式与因式分解关键点拨及对应举例1. 代数式2. 整 式（1） 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2） 求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值（1） 单项式：表示数字与字母积的
7、代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.求代数式的值常运用整体代入法计算.例：ab3，则 3b3a9.例：（1）下列式子：-2a2;3a-5b；x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y；2017.其中属于（ 单 （2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高单项式的是；多项式是；项式、的项的次数叫做多项式的次数.同类项是和.多 项 （3）整式：单项式和多项式统称为整式.式）（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.知识点二：整式的运算3.(1)合并同类项法
8、则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指整 式数不变（2） 多项式 7m5n-11mn2+1 是六次三项式，常数项是 1 .失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，的 加 (2)去括号法则: 若括号外是“”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，减 运则括号里的各项都变号.算(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. (1)同底数幂的乘法：amanamn；不要有漏项.例：2(3a2b1)6a4b2.(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆4. 幂 运算 法则(2)幂的乘方：(am)namn； (3)积的乘方：(ab)nanbn；(4)
9、同底数幂的除法：amanamn (a0).其中 m,n都在整数运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 3 2m2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m4m=23m.5. 整 式的 乘(1) 单项式单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄 (2)单项式多项式： m(a+b)=ma+mb.(3) 多项式多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4) 单项式单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5) 多项式单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a1)(b2)2ab4ab
10、2.除 运 （ 6 ）算乘法公式平方差公式：(ab)(ab)a2b2.完全平方公式：(ab)2a22abb2. 变形公式：a2+b2=(ab)22ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用6. 混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a .知识点五：因式分解(1) 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式7. 因式分解(2) 常用方法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2.(3) 一般步
11、骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解.(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算第 3 讲 分 式知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判1. 分式的（1） 分式：形如 A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B0)B断化简之间的式子；（2）是常数，不是字母.例：下列分式：; ; 2 x + 2 ，其中是分概念的式子.（2） 最简分式：分子和分母没有公因式的分式.(1) 无意义的条件：当 B0 时，分式 A 无意义；式是；最简分式
12、.x2 - 12. 分式的意义B(2) 有意义的条件：当 B0 时，分式 A 有意义；B失分点警示：在解决分式的值为 0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为 0.x2 -1(3) 值为零的条件：当 A0，B0 时，分式 A 0.B例： 当的值为 0 时，则 x-1.x -1( 1 ) 基本性质：A ACA C=(C0)B B CB C由分式的基本性质可将分式进行化简：3. 基本性（2）由基本性质可推理出变号法则为：例：化简：x2 - 1= x - 1 .质A- A-(- A)A- AAx2 + 2 x + 1x + 1=； -=.B-BBBB-B知识点三 ：分式的运算(1) 约分(
13、可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最即 am = a ；简公分母，然后根据分式的性质通分.4. 分式的约分和通分bmb11+( -1)(2) 通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 例：分式 2和的最简公分母xxx x为 ( 2 -1)式化为同分母的分式，即 a , c ac , bdb dbc bcx x.(1)同分母：分母不变，分子相加减.a bab例：1 +x1.即.5. 分式的即cc c ；x - 11 - x加减法(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.acadbc1 + 1= 2a .(1)a cacacadb
14、dbda +1a -1a2 -1乘法：bdbd；(2)除法： b d bc ；例： a b 1 ； 2 12y；6. 分式的乘除法(3) 乘方： a nan2b a2xxy(n 为正整数).3 3 b bn- - 27 . 2x 8x37. 分式的(1) 仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入混合运算(2) 含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的整体代入.第 4 讲
15、 二次根式知识点一：二次根式（1） 二次根式的概念：形如 a(a0)的式子.（2） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0.1. 有关概念（3）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整关键点拨及对应举例失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为 0，被开方数大于等于 01式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式等.例：若代数式范围是 x1.x -1有意义，则 x 的取值2. 二次根式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即 a0；二次根式的值是非负数，即 a 0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、
16、算式平方根、二次根式.(2) 两个重要性质：a (a 0)a (a0)( a)2a(a0)； a2|a| ；-0 时，原方程有两个不相等的实数根例：把方程 x2+6x+3=0 变形为(x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6.例：方程 x2 + 2x -1 = 0 的判别式等于 8，故该方程有两个不相等的3. 根的判别式(2) 当 b2 - 4ac =0 时，原方程有两个相等的实数根(3) 当 b2 - 4ac bc；例：“a 与 b 的差不大于 1”用不等式表示为 ab1.2. 不等式 性质 2：若ab,c0，则 acbc， a b ；cc的基本ab性质性质 3：若ab,c0，则 acbc
17、， c 0 是关于 x 的一左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.4. 解法（1） 步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为 1.（2） 解集在数轴上表示:xaxaxaxa元一次不等式，则 m 的值为-1.失分点警示系数化为 1 时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5. 定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组（1）在表示解集时“”，“”6. 解法表示含有，要用实心圆点表先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分示；“”，“”表示不包含要用空心圆点表示假设 ab解集数轴表示口诀
18、（2）已知不等式（组）的解集7. 不等式x ax b x axb大大取大情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推组解集 x bxa小小取小出含字母的方程，最后求出字母的值.的类型x aaxb大小，小大中间找x b如：已知不等式（a-1）x1-a的解集是 x-1，则 a 的取值x ax b无解大大，小小取不了范围是 a1.知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题（1） 一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.注意：8. 列不等式解应用题（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（）”、“最多（）”、“不低于（）
19、”、“不高于（）”、“不大（小）于”、“超过（）”、“不足（）”等； b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第 9 讲 平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1. 相关概念（1） 定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系（2） 几何意义：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).点 P(x
20、,y)在第一象限x0，y0；点 P(x,y)在第二象限x0，y0；第二象限( ， )y32第一象限1( ， )x（1） 坐标轴上的点不属于任点 P（x,y）在第三象限x0，y0；点 P（x,y）在第四象限x0，y0.（2） 坐标轴上点的坐标特征：3 2 1 O第三象限1( ， ) 2312 3第四象限( ， )何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.2. 点的坐标特征在横轴上y0；在纵轴上x0；原点x0，y0.（3） 各象限角平分线上点的坐标第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4） 点 P（a,b）的对
21、称点的坐标特征：关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为(a，b)；关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(a，b)；关于原点对称的点 P3 的坐标为(a，b)（5） 点 M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向 x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3. 坐标点的（1） 点 M(a,b)到 x 轴，y 轴的距离：到 x 轴的距离为|b|；)到 y 轴的距离为|a|（2） 平行于
22、 x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1x2|；平行于 x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于 y 轴的直距离问题点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1y2| 线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4. 函数的相关概念（1） 常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量（2） 函数：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其
23、对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3） 函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义（1） 分析实际问题判断函数图象的方法：找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数 y=x + 3 中自变量的取值范围x - 5是 x-3 且 x5.读取函数图象增减性的技巧：当函数图象从左到右呈“上升”
24、（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减5. 函数的图象判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：设时间为 t（或线段长为 x），找因变量与 t(或 x)之间存在的函数关系，用含 t(或 x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.小）；函数值变化越大，图象越陡峭；当函数 y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于 x 轴的线段.第 10 讲一次函数知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质（1） 概念：一般来说，形如 ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地，当 b 0关键
25、点拨与对应举例1. 一次函数的时，称为正比例函数例：当 k1 时，函数 ykxk相关概念（2） 图象形状：一次函数 ykxb 是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地， 1 是正比例函数,正比例函数 ykx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.2. 一次函数k，b符号大致图象K0， b0K0， b0K0，b=0k0k0， b0k0， b0（1） 一次函数 y=kx+b 中，k 确定了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与 y 轴交点的位置.（2） 比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，的性质经 过 一、二、三一、三、象限四一、三一、二、四二、三、四二、四也可以运用数值
26、代入法.例：已知函数 y=2xb，函数值图 象y 随 x 的增大而增大性质y 随 x 的增大而减小y 随 x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)3. 一次函数与(1) 交点坐标：求一次函数与 x 轴的交点，只需令 y=0,解出 x 即可；求与 y 轴的交点， 例：只需令 x=0, 求出 y 即可. 故一次函数 y kx b(k0) 的图象与 x 轴的交点是 一次函数 yx2 与 x 轴交点的坐 标 轴 交点坐标(b，0)，与 y 轴的交点是(0，b)；k(2) 正比例函数 ykx(k0)的图象恒过点(0，0)坐标是（-2,0），与 y 轴交点的坐标是（0,2）.知识点二 ：确定一次函数的表达
27、式（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：设：设函数表达式为 ykxb(k0)；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.4. 确定一次函数 表 达 式的条件5. 一次函数图象的平移解：求出 k 与 b 的值，得到函数表达式（2） 常见类型：已知两点确定表达式；已知两对函数对应值确定表达式；平移转化型：如已知函数是由 y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为 y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.规律：一次函数图象平移前后 k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的 k 值相同.若向上平移 h 单位，则b 值增大 h；若向下平移h 单位，则 b 值减小h.(2)只要给出一次函数与 y 轴交点坐标即可得出 b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知 b=2.例：将一次函数 y=-2x+4 的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象的函数关系式为 y