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1、立体几何初步复习题一、 单选题：1.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则AD的长为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列说法正确的是()A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则3.如图，在正三棱柱中，若，点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为A. 1 B. 2 C. D. 4.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且面积为的扇形，则该圆锥的高为()A. B. C. D. 5.圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的侧面积为A. B. C. D. 6.在正三棱台中，
2、已知，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为()A. B. C. D. 7.在直三棱柱中，则异面直线与BC所成角的余弦值为()A. B. C. D. 8.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑中，面BCD，则下列选项中，不正确的是()A. 平面平面 ACD B. 二面角的余弦值为C. AD与平面BCD所成角为 D. 三棱锥外接球的表面积为二、多选题：9.等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A. B. C. D. 10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中
3、，直线AB与平面MNQ平行的是()A. B. C. D. 11.正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC、的中点，则()A. 直线与直线 AF垂直B. 直线与平面 AEF平行C. 平面 AEF截正方体所得的截面面积为D. 点到平面 AEF的距离为三、填空题：12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：；AB与CM所成的角为；EF与MN是异面直线；以上结论中正确结论的序号为13.如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的有_.E为的中点时，直线平面三棱锥的体积为定值E为的中点时，E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为14.已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，
4、它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，则该四面体的内切球表面积为_.四、解答题：15如图，边长为4的正方形中，点是的中点，点是中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点（）求证；（）求三棱锥的体积16如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且（1）证明：；（2）证明：平面17如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点（1）求证：平面；（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值18在三棱锥中，底面（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点求与平面所成角的正切值；求二面角的大小19. 如图1，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，且连结AE，并以AE为折痕
5、将ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥，如图2（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：ADl；（2）在图2中，已知证明：平面PAE平面AECD；求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的表面积立体几何初步复习题【答案】1. C2. D3. C4. B5. D6. C7. C 8. D9. AB10. BCD11. BC12. 13. 14. 4515【解答】解：（）证明：取中点，连接，显然，故；显然，则，又，且都在平面内，平面，平面，；（）易知，16.【解答】证明：（1）平面，平面，又，且、平面，平面，平面；（2）取的中点，在线段上取点，使得，连接，、分别是、的中点，为的中位线，
6、且，即，且，在中，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面17【解答】（1）证明：在正方形中，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，则，又，平面，所以平面；（2）解：取，的中点分别为，连接，则，所以，在正中，因为，平面，则平面，在正方形中，故平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，由平面，则平面，又平面，所以，设正方形的边长，则，所以，则，故侧面与底面所成二面角的余弦值为18【解答】证明：（1）由题意，因为面，面，又，即，平面，平面，平面平面；解：（2）取的中点，连接，由（1）知，平面，又平面，而平面，所以是斜线在平面上的射影，所以是与平面所成角，
7、且，设，则由是中点得，所以，即与平面所成角的正切值为；（2）取中点，过作于，连接，由可得，又面，平面，是在平面上的射影，是二面角的平面角，在中，由可得，又，所以在直角中，故19.（1）由题设，而面，面，所以面，又面，面，平面PEC与平面PAD的交线为l，面所以且，综上，.（2）若为中点，连接，由题设，则，所以，故，又，平行四边形ABCD中，可得，在中，故，在中，即，所以，又为中点，故，在中，则，所以，由，面，故面，又面，则面面.由知：为直角三角形，则外接圆圆心为，故外接圆半径为，又面，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线上，若外接球半径为，则，可得，所以外接球的表面积为.【解析】1
8、. 【分析】根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中BC的值即可本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题【解答】解：由题意知OB=1，BC=1,OC= 2，如图，将直观图复原为四边形ABCD，则四边形ABCD为平行四边形，因为AB=2，O是AB的中点，故OB=1，且OC=2 2，故BC= OB2+OC2= 1+8=3，故AD=3，故选：C2. 【分析】本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题利用空间中线、面平行、垂直关系逐个判断即可【解答】解：对于A、若/，m，n，则m/n或m与n异面，故A错误；对于B、若m，nm，则n/或n，故B错误；对于C、若，=n，nm，只有当m，才能得
9、到m，故C错误；对于D、若=n，m，m/，由线面平行的性质可知m/n，故D正确3. 【分析】本题考查三棱锥的体积，属于中档题利用等体积法结合体积公式解出即可【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1/平面B1BD，故点E到平面B1BD的距离等于点A到平面B1BD的距离，因为AMBC，AM在平面ABC内，且平面ABC平面B1BD，且平面ABC平面B1BD=BC，所以AM平面B1BD，故AM就是点A到平面B1BD的距离，且AM= 2212= 3，又因为SB1BD=1232=3，所以VB1BDE=VEB1BD=13SB1BDAM= 3，故选C4. 【分析】本
10、题考查圆锥的结构特征，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用设圆锥的母线为l，底面半径为r，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高 【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，3=13l2，l=3，120=r3360，r=1，圆锥的高是 91=2 25. 【分析】本题考查圆台的轴截面，属于基础题设圆台的上、下底面半径为2r，3r，高为，结合已知可得答案【解答】解：因为圆台的两个底面面积之比为4:9，所以圆台的两个底面半径之比为2：3，设圆台的上、下底面半径为2r，3r，高为， 又母线与底面的夹角是60，则= 3r，由4r+6r 3r2=180 3，得r=6，则l=2r=1
11、2则圆台的侧面积为(2r+3r)l=360，故选D. 6. 【分析】本题考查棱台的体积，属于基础题求出棱台的高，由棱台的体积公式即可求解【解答】解：由题意，得棱台的高为 22 332 3 32= 3，则此正三棱台的体积为13 3 34 32+ 342 32+ 34 32 342 32=2147. 【分析】本题考查异面直线所成的角，利用余弦定理解三角形，棱柱的结构特征，属于中档题根据异面直线所成的角的定义，取AC中点M，CC1中点N，AB中点T，则有BC/MT，AC1/MN，连接NT，所以TMN(或其补角)即为异面直线AC1与BC所成角，再由余弦定理求角即可【解答】解：取AC中点M，CC1中点N
12、，AB中点T，则有BC/MT，AC1/MN，连接NT，所以TMN(或其补角)即为异面直线AC1与BC所成角，因为ABAC，AB=AC=1，AA1= 2，所以MT=12BC= 22，MN=12AC1= 32，由勾股定理可得NT= TC2+CN2= 522+ 222= 72，所以cosTMN= 222+ 322 7222 22 32= 66，所以异面直线AC1与BC所成角的余弦值为 66故选：C8. 【分析】本题考查球的表面积、线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定、直线与平面所成角、二面角，属于中档题对于A，证明CD平面ABC，利用面面垂直的判定定理可得面ABC平面ACD；对于B，由AB平面BCD
13、得ABBD，ABBC，可得CBD就是二面角DABC的平面角，解三角形BCD即可；对于C，AB平面BCD易得AD与平面BCD所成角为ADB；对于D，取AD的中点为M，则MA=MB=MC=MD=1，可得外接球的半径为1，即得表面积【解答】解：对于A，AB平面BCD，BC平面BCD，BD平面BCD，所以ABBC，ABBD，可得AC= AB2+CB2= 3，AD= AB2+BD2=2，则有AC2+CD2=AD2，ACCDAB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又ABAC=A，AB,AC平面ABC，CD平面ABC，又CD平面ACD，平面ABC平面ACD，故A正确；对于B，AB平面BCD，BC平面BCD
14、，BD平面BCD，ABBD，ABCB，CBD就是二面角DABC的平面角，又AB=CD=1，BC= 2，BD= 3，BC2+CD2=BD2，BCCD，在直角三角形BCD中，cosCBD=BCDB= 2 3= 63，故B正确；对于C，AB平面BCD，AD与平面BCD所成角为ADB，在直角三角形ABD中，AB=1，BD= 3，所以AD=2，所以ADB=30，故C正确；对于D，取AD的中点为M，则MA=MB=MC=MD=1，所以三棱锥ABCD外接球的半径为1，其表面积S=4R2=4，故D错误故选D9. 【分析】本题考查旋转体的表面积，属于基础题如果是绕直角边旋转，形成圆锥，如果绕斜边旋转，形成的是上下
15、两个圆锥，分两类即可得解【解答】解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边 2，所以所形成的几何体的表面积是S=rl+r2=1 2+12=( 2+1)如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S=2rl=2 221= 2综上可知形成几何体的表面积是( 2+1)或 2故答案选AB10. 【分析】本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，平行公理与等角定理，空间中直线与平面的位置关系和线面平行的判定，属于基础题连接BC，取D为BC的中点，
16、利用平面几何知识得QD/AB，再利用空间中直线与平面的位置关系，结合QD与平面MNQ相交，对A进行判断，连接CD，利用正方体的结构特征得AB/CD，再利用平面几何知识得CD/MQ，再利用平行公理AB/MQ，再利用线面平行的判定，对B进行判断，同理对C、D进行判断，从而得结论【解答】解：A选项：如图：连接BC，取D为BC的中点，而Q是AC的中点，因此QD/ABQD平面MNQ=Q，QD与平面MNQ相交，因此直线AB与平面MNQ相交所以A项错误；B选项：如图：连接CD，在正方体中，AB/CD因为M、Q分别为所在棱的中点，所以CD/MQ，因此AB/MQ又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB/平面M
17、NQ，因此B项正确C选项：如图：连接CD，在正方体中，AB/CD因为M、Q分别为所在棱的中点，所以CD/MQ，因此AB/MQ又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB/平面MNQ，因此C项正确；D选项：如图：连接CD，在正方体中，AB/CD因为N、Q分别为所在棱的中点，所以CD/NQ，因此AB/NQ又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB/平面MNQ，因此D项正确故选BCD11. 【分析】本题考查空间线线关系，线面关系，考查空间距离的计算，属于困难题对选项A，取DD1中点M，连接AM，MF，运用反证法即可判断，对选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，得出平面平面AEF.由性质定理即可
18、判断，对选项C，连接AD1，FD1，得到平面AD1FE为平面AFE截正方体所得的截面.计算其面积即可，对选项D，连接A1F,A1E，由VEA1AF=VA1AEF即可解决【解答】解：对选项A，如图所示：取DD1中点M，连接AM，MF，即DD1FM，假设DD1AF，因为AFFM=F，AF，FM平面AFM，所以DD1平面AFM，又AM平面AFM，所以AMDD1，由于AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A错误对选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，如图所示：因为A1N/AE，GN/EF，A1N,GN平面A1GN，A1NGN=N，AE,EF平面AEF，AEEF=E，所以由面面平行的判定
19、定理得出平面平面AEF因为A1G平面A1GN，所以平面AEF，故B正确对选项C，连接AD1，FD1，如图所示：因为，所以平面AD1FE为平面AFE截正方体所得的截面又AD1= 12+12= 2，EF= 122+122= 22D1F=AE= 12+122= 52，所以四边形AD1FE为等腰梯形，高为 522 242=34 2，SAD1FE=12 22+ 234 2=98故C正确对选项D，连接A1F,A1E，如图所示：则VEA1AF=VA1AEF，可求得SAEF= 64，即13121 2 24=1312 64，解得=2 66，所以D不正确故选BC12. 【分析】本题考查异面直线及其所成的角，直线与
20、直线的位置关系，属于基础题先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可得到结果【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，可知AB/MC，MCEF，则ABEF，可知EF与MN异面，MNCD，只有正确故答案为13. 【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积，直线与平面所成的角，属于中档题由线面平行的性质判断，由等体积法判断，当E为DD1的中点时，连结BD1交DB1于点O，利用反证法判断，由B1C1平面CDD1C1，得出直线B1E与平面CDD1C1所成的角为C1EB1，再求出其正切值即可【解答】解：因为B1E平面BDE
21、B1，平面BDEB1平面A1BD=BD，若直线B1E/平面A1BD，则由线面平行的性质可知，B1E/BD，但是B1E与BD不平行，故错误；VC1B1CE=VEB1CC1=13(12a2)a=16a3，故错误；如下图所示，当E为DD1的中点时，连结BD1交DB1于点O，若B1EBD1，设垂足为F，根据题意得BB1=a，D1B1= 2a，因为BB1D1B1，所以过点B1作DB1的垂线，垂足必在OB上且除去两个端点，而点F不在OB上，所以B1E和BD1不垂直，故错误；因为B1C1平面CDD1C1，所以直线B1E与平面CDD1C1所成的角为C1EB1，EC1= a2+a24= 52a，tanC1EB1
22、=B1C1EC1=2 55，故正确；故答案为14. 【分析】本题考查空间四面体的内切球问题，属于中档题设等腰四面体ABCD的内切球的半径为r，由13SABCr4=VABCD，即可求解【解答】解：如图所示：在等腰四面体ABCD中，AB=AC=3，BC=4，则AC=CD=BD=3，BC=AD=4，取BC的中点E，连接AE，DE，则BCAE,BCDE，而AEDE=E，AE，DE平面AED，得BC平面ADE，因为AE=DE= 3222= 5，SABC=124 5=2 5，则VABCD=VBADE+VCADE=13SADEBC=13124 52224=83，设等腰四面体ABCD的内切球的半径为r，则13SABCr4=VABCD，得132 5r4=83，解得r= 55，则该四面体的内切球表面积为4r2=45第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司