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1、勾股定理竞赛培训题1、如图1，ABC和CDE都是等腰直角三角形，C=90，将CDE绕点C逆时针旋转一个角度（090），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE（1）依题意补全图2；求证：AD=BE，且ADBE；作CMDE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且BPD=90，请直接写出点A到BP的距离2、（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证BCEACD则BEC；线段AD、BE之间的数量关系是（2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰三角形，
2、且ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，若AE15，DE7，求AB的长度（3）探究发现：如图3，P为等边ABC内一点，且APC150，且APD30，AP5，CP4，DP8，求BD的长 3、如图1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC=10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t（秒），若DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三
3、角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由4、已知，ABC中，AC=BC，ACB=90，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DFDE，交直线BC于F点G为EF的中点，延长CG交AB于点H（1）若E在边AC上试说明DE=DF；试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5求边AC的长5、如图，在矩形ABCD中，AB5，AD，AEBD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连结AF，BF.(1)求AE和BE的长(2)若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)当点F分别平移到线段AB，AD上时，直接写出相应的m的值(3)如图，将ABF绕点B顺时针
4、旋转一个角(0180)，记旋转中的ABF为ABF，在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P，Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由参考答案1、【分析】（1）根据旋转的特性画出图象；由ACD、BCE均与DCB互余可得出ACD=BCE，由ABC和CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出ADCBEC，从而得出AD=BE，再由BCE=ADC=135，CED=45即可得出AEB=90，即证出ADBE；依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE
5、去表示CM；（2）根据题意画出图形，比照（1）的结论，套入数据即可得出结论【解答】解：（1）依照题意补全图2，如下图（一）所示证明：ACD+DCB=ACB=90，BCE+DCB=DCE=90，ACD=BCEABC和CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC在ADC和BEC中，有，ADCBEC（SAS），AD=BE，BEC=ADC点A，D，E在同一直线上，CDE是等腰直角三角形，CDE=CED=45，ADC=180CDE=135，AEB=BECCED=13545=90，ADBE依照题意画出图形，如图（二）所示SABC+SEBC=SCAE+SEAB，即ACBC+BECM=AE（CM+BE），
6、AC2AEBE=CM（AEBE）CDE为等腰直角三角形，DE=2CM，AEBE=2CM（2）依照题意画出图形（三）其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP=3结合（1）的结论可知：AM=1故点A到BP的距离为1【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）结合题意画出图形；找出ADCBEC；利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）的算式求出结论本题属于中档题，（1）难度不大；难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成已知量；（2）利用类比的方法套入（1）的算式即可解决该题型
7、题目时，画出图形，注意数形结合是关键2、解：（1）1202分，ADBE4分（2）（3）如下图所示由（2）知BECAPC，BE=AP5，BEC=APC150，APD=30，AP=5，CP=4，DP=8，APD=30，EPC=60，BED=BEC-PEC=90，DPC120又DPEDPCEPC12060180，即D、P、E在同一条直线上DE=DP+PE=8+4=12，BE=5，BD的长为133、【考点】三角形综合题【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，根据勾股定理求出AC根据等腰三角形的判定定理解答；（2）根据三角形的面积公式求出三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；（3
8、）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三种情况，根据等腰三角形的性质解答【解答】解：（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，在RtACD中，AC=5x，又AB=5x，AB=AC，ABC是等腰三角形；（2）SABC=5x4x=10cm2，解得，x=1cm，则BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，当MNBC时，AM=AN，即5t=t，t=2.5，当DNBC时，AD=AN，则t=3，故若DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3当点M在BD上，即0t2时，MDE为钝角三角形，但DMDE，当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即2t5时，MDE为等腰三角形，有3
9、种可能如果DE=DM，则t2=2.5，t=4.5，如果ED=EM，则点M运动到点A，t=5，如果MD=ME=t2，则（t2）2（t3.5）2=22，t=，综上所述，符合要求的t值为4.5或5或【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键4、【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】（1）连接CD，推出CD=AD，CDF=ADE，A=DCB，证ADECDF即可；连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出GCD=GDC，推出GDH=GHD，推出DG=
10、GH即可；（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案【解答】解：（1）连接CD，ACB=90，D为AB的中点，AC=BC，CD=AD=BD，又AC=BC，CDAB，EDA+EDC=90，DCF=DAE=45，DFDE，EDF=EDC+CDF=90，ADE=CDF，在ADE和CDF中ADECDF，DE=DF连接DG，ACB=90，G为EF的中点，CG=EG=FG，EDF=90，G为EF的中点，DG=EG=FG，CG=DG，GCD=CDG又CDAB，CDH=90，GHD+GCD=90，HDG+GDC=90，GHD=HDG，GH=GD，CG=GH（2）如图，当E在线段AC上时，CG=GH
11、=EG=GF，CH=EF=5，ADECDF，AE=CF=3，在RtECF中，由勾股定理得：，AC=AE+EC=3+4=7；如图，当E在线段CA延长线时，AC=ECAE=43=1，综合上述AC=7或15、解：(1)在RtABD中，AB5，AD，由勾股定理，得BD. SABDBDAEABAD，AE4. 在RtABE中，AB5，AE4，由勾股定理，得BE3. (第27题图解)(2)设平移中的三角形为ABF，如解图所示由对称点性质可知，12.由平移性质可知，ABAB，451，BFBF3.当点F落在AB上时，ABAB，34，312，BBBF3，即m3；当点F落在AD上时，ABAB，62.12，51，56
12、.又易知ABAD，BFD为等腰三角形，BDBF3，BBBDBD3，即m.m3或（对一个得2分） (3)存在理由如下：在旋转过程中，等腰DPQ依次有以下4种情形：如解图所示，点Q落在BD延长线上，且PDDQ，易知22Q.(第27题图解)13Q，12，3Q AQAB5，FQFAAQ459.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ3.(第27题图解)DQBQBD3.如解图所示，点Q落在BD上，且PQDQ，易知2P.12，1P，BAPD，则此时点A落在BC边上32，31，BQAQ，FQFAAQ4BQ.在RtBQF中，由勾股定理，得BF2FQ2BQ2，即32(4BQ)2BQ2，解得BQ.DQBDBQ.如解图所示，点Q落在BD上，且PDDQ，易知34.(第27题图解)234180，34，4902.12，4901.AQB4901，ABQ180AQB1901，AQBABQ，AQAB5，FQAQAF541.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ，DQBDBQ.如解图所示，点Q落在BD上，且PQPD，易知23.(第27题图解)12，34，23，14，BQBA5，DQBDBQ5.综上所述，存在4组符合条件的点P，Q，使DPQ为等腰三角形，其中DQ的长度分别为3，或