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1、圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系班 朱家庆 指导教师 向长福摘 要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的
2、数学能力和应用能力。关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high s
3、chool, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what t
4、o begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the na
5、ture of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key wor
6、ds: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点
7、弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献2主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献7主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献2、7都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献1、10主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献2、7的不足之处.文献9主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地
8、归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形1.2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，叫做椭圆的焦点三角形2.设=，=，=，椭圆的离心率为，则有以下性质：性质1:.证明：在中，由余弦定理，有 整理，得 例1 如图：、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为1的正三角形，求的值分析：此题按常规思路是从入手，即，求得所以点的坐标分别为，.由于点在椭圆上，有 解此
9、方程组就可得到的值但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化解：连接则， 有性质2:证明：由性质1得 例2 已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，且，求的面积分析：如果设点的坐标为，由点在已知椭圆上且，利用这两个条件，列出关于,的两个方程，解出,再求的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径知道，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解： 例3:已知点是椭圆上任一点，且.求证：.证明： 例4:点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标分析：要求点的坐标，不妨设点坐标为，由点在已知椭圆上和的面积等于1，可列两个方程，解方程可
10、得点的坐标此题也可在例3的基础上进行求解3解：设点坐标为,则有 把代入得性质3 :.证明：由正弦定理，有 即 . 因为，所以 .当点P在长轴上的端点时，这时，不存在，因此，4.性质4:离心率 证明：由正弦定理，有例5 （2004年福建高考题）已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，求这个椭圆的离心率5. 分析：由是正三角形可知，根据椭圆的第一定义可求得.再由可求得离心率e.若用性质4解题，求解更简便解：根据已知条件有（如图） 性质5: .证明：由正弦定理，有 .例6:如图，是椭圆上一点，、是焦点，已知求椭圆的离心率6分析：知道我们可以直接利用性质5解题解：
11、由性质5有 化简，得2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，叫做双曲线的焦点三角形7.设=，=，=，双曲线的离心率为，则有以下性质：性质1:证明：在中，由余弦定理，有 由得 例1:设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积.解： .性质2 :.证明：由性质1得 .例2:已知点（）、（），动点满足.当点的纵坐标是时，若令，求的值解：由双曲线的第一定义可知点P的轨迹方程为则.所以 例3:设点是双曲线上任一点，且 求证：分析：此题根据已知条件列方程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于和的高相等，不妨从的面积入手进行求解.
12、证明： 性质3:离心率 （）.证明：由正弦定理，有 即 又 .例4:（2002年上海高考题） 如图，已知、为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点，且.求双曲线的渐近线方程分析：由于双曲线的渐近线方程为，若能求出,的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出,的值，我们将作一下变形，若能求出e的值，则渐近线方程就求出知道，利用性质4可求e.解： 性质4 :（1）当P点在双曲线右支上时 （2）当P点在双曲线左支上时 证明：（1）当P点在双曲线右支上时 由正弦定理，有 例5:（2005年福建高考题）已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率8.
13、解：连接，则所以 3圆锥曲线焦点弦的性质性质1:过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于点、，、为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.证明：如图，设椭圆的方程为，则可设点的坐标为点、的坐标分别为，则的方程为 的方程为 由得 由于点、共线，则有 化简，得 将式代入式，得所以，点的坐标为 同理，点的坐标为9. 即 性质2:过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于、两点，、为双曲线实轴上的顶点，和相交于点，和相交于点，则.证明与性质1的证明类似，从略性质3:过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点、，为抛物线的顶点，过点作抛物线对称轴的平行线交于点，过点作抛物线对称轴的平行线交于点，则.证明：设抛物线方程为，则点
14、、的坐标可分别设为，.因为、三点共线，所以化简，得 . 又的方程为 ， 的方程为 由得 即 点的坐标为. 同理点的坐标为10. 即 4总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.参考文献1唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微J.数学通报,2000,(9):2425.2熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质J.数学通报,2
15、004,(5):2425.3人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）M，北京：人民教育出版社，2004.4李迪淼.关于椭圆的十个最值问题J.数学通报,2002,(4):2425.5任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）M.海南：南方出版社，2005.6薛金星.中学教材全解高二数学（上）M.陕西：陕西人民教育出版社,2003.7徐希扬.双曲线焦点三角形的几个性质J.数学通报,2002,(7):27.8潘际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势M.吉林：延边大学出版社，2005.9李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质J. 数学通报,2001，（5）：23.1
16、0毛美生 范慧珍.圆锥曲线的一组相关性质J.数学通报,2002,(12):2728.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，现行高中教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关内容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。文章通过大量的资料查阅、素材积累，在分析、归纳、探索的基础上，给出了椭圆、双曲线焦点三角形的七条性质及圆锥曲线焦点弦的三条性质。其中椭圆、双曲线焦点三角形的七条性质是在文献2、7中几个例题的基础上经过分析、综合，升华而提出的，并给出了严格的数学证明；圆锥曲线焦点弦的三条性质是在文献9的基础上归纳、总结、整合而成的，也给出了严格的数学证明。文章的闪光点在于：通过对他人文献的研究，在对一些零散例子分析，探索的基础上而提出了独立的理论体系，较好的解决了圆锥曲线中参数a，b，离心率e、焦点三角形面积和焦半径四者之间的联系及计算的转换的问题，这等价于解决了中学解析几何的难点。文章表明，作者已具备了一定的查阅资料，研究阅题的能力，就文章本身而言也达到了优秀毕业论文的水平。建议评为优秀毕业论文。建议：可否把椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形的性质统一起来。