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1、近世代数课程教学改革与探索 摘要：近世代数是我校数学与应用数学专业开设的一门内容高度概括、抽象、逻辑推理严谨、系统的课程。随着科学技术的发展，近世代数的基本思想、理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面。本文从分析近世代数课程特点和当前教学面临的现状动身，结合对近世代数课程的教学实践和阅历，提出了在近世代数教学中提高教学质量的一些建议。 关键词：近世代数 课程改革 教学实践 中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1673-157810-0021-02 1 引言 代数是探讨数、数量、关系与结构的数学分支，其探讨对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。根据探讨对象不同，代数可以分为初等代数
2、，线性代数，抽象代数，泛代数以及计算代数等几类。 近世代数课程是高校开设的代数课程之一。 近世代数是探讨各种代数结构的性质与分类的一门学科，是现代数学的基础。该课程具有形式化推理多、应用范围广、抽象程度高、逻辑性强等特点。近年来，近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的许多方面，实际应用也日趋广泛。同时近世代数课程具有高度的抽象性，它的内容很难与现实生活中的实际形体相联系，理论上具有很强的逻辑性，并且近世代数的习题比较难，再加上学时有限，要想让学生在这有限的学时内较好的驾驭近世代数的内容要领，在讲课方法上必需细致揣摩。传统的近世代数课程教学是单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、
3、结论的明确性和体系的完整性，这样势必会使近世代数课程的学问与现实脱节，导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用，从而干脆影响了学生对近世代数课程和后继课程的学习热忱。所以，近世代数课程的教学改革势在必行，在教学内容、教学方法、教学手段上都必需进行改革。 2 近世代数课程改革的措施 2.1从学生动身，激发学生的学习爱好 2.1.1 注意背景学问的介绍 近世代数探讨各种代数结构的性质和分类，形式化推理多， 习题比较难。数学的抽象是各种详细对象中提炼出共性，从而使应用更加广泛。而学生通常就会问：为什么要学近世代数？以及近世代数是如何演化而来的？ 历史上， 伽罗华探讨高次代数方程根式可解性提出群的思想，
4、 高斯探讨二次型整数解探讨高斯整数环的惟一因子分解， 库默尔探讨费马猜想导致环中的志向概念， 但是这些内容 大都要到课程的最终才讲到， 甚至由于学时太少不能讲。学生只能盲目的为了学习而学。因此，在近世代数第一堂课上，首先介绍近世代数课程相关的背景学问是特别有必要的。 2.1.2 注意由详细到抽象的教学方法 要讲好近世代数这门课程， 我们就必需重视由详细到抽象原则的讲课方法。所谓由详细到抽象的原则是指先举出详细实例，由详细实例得出性质、结论，进而猜想抽象到一般状况是否成立，再利用逻辑推演证明其正确性，若能根据这样的思路来处理每一个问题，势必会使学生感觉到近世代数也不是那么难，也是有例可寻的。比如
5、，在学习群的概念时，可以依次地列举下面例子：以学生在中学里学过的有理数为例列举非零有理数乘群和正有理数乘群，使学生简单接受；接着再从前修课程高等代数的特别矩阵集合中引出一般线性群和特别线性群，使学生感到亲切熟识。以后再介绍n次单位根群和四元数群这些比较抽象的例子时，学生就不会感到这个概念难懂了。 2.2加强与数学相关课程的联系 2.2.1 加强与前修课程的联系 近世代数课程属于代数范畴，粗略地说，代数分成初等代数、高等代数和抽象代数三大部分，在进入高校之前我们学习的内容就是初等代数，初等代数以方程理论为核心内容，侧重计算和分析实力的培育。初等代数和高等代数都是抽象代数的前期铺垫，近世代数是初等
6、代数和高等代数的后继与提高。但是，大部分的学生都没有意识这一点，在他们的印象中，他们高校里学的每门课程都是相互独立的，彼此之间好像没有什么联系，我们可以通过把近世代数的部分学问与高等代数等基础课程联系起来，加深对这部分学问点的理解。 近世代数中许多定义或定理可以看作是高等代数中相关定义或定理的推广。所以在给出这些定义或定理的时候，可以让学生用联系的观点，先回忆一下以前在高等代数中学过的类似的结论，这样学生对这些概念或定理既易于接受，印象也会特别深刻。比如：在环里，1-b有逆元，则1-b也有逆元。我们的问题首先是这只是个证明，假如你要导出逆元的关系，唯恐就更难了，相当于我们要完成数学归纳法的结果
7、探究过程。其次这个结论类似的我们在矩阵中见过，那就是E-AB和E-BA的关系。同学们立刻反映出了矩阵环其实就是不行换环的典型例子。再次就是无论是矩阵也好，一般环的元素也好，有逆元就能看作数有倒数一样，原来1/1-b还可以用级数的方法绽开！最终我们的同学超乎想象，根本就导出了两个逆元之间的关系。 2.2.2 适当介绍初等数论的学问 初等数论是进一步学习近世代数的必要课程，由于教学时数的限制，许多学校不再开设。我校也是，在学习代数系列课程时有必要介绍初等数论整数的整除理论、同余理论等内容，这个课对新生有亲近感，是联系中学和高校数学的一个纽带，保持他们对抽象数学的爱好。初等数论中的同余类环是有限交换
8、群和交换环的最基本例子，数论中的原根与指数就是循环群的生成元和群中元素的阶，同余类本身可引伸出群对子群的陪集分解，以及商群和商环的思想等等。通过简要介绍初等数论的学问让学生心中有足够多的例子，通过这些例子直观地体会抽象概念和定理的意义，然后把握和应用它，使得学生在接触新的概念时不至于太生疏和突然，我们可以用两到三个学时向学生介绍了初等数论的主要内容，学生能听懂、喜爱听，后来的教学中也说明加入初等数论内容对代数课程的学习是特别必要性的。 2.3引导学生自主学习，培育学生发觉问题的实力 引导学生进行课前预习，课后复习以及归纳总结，熬炼学生自主学习的实力。通过预习对新课有个整体的了解，对新课要讲什么
9、，重点和难点是什么，做到心中有数，给接着要上的新课打好基础，提高听课效率。课后习题是为巩固学习效果而支配的作业，既可以作为学生理解学问的基本训练，又能作为深化学问相识的增长点，是学习过程中不行跳动的一环，要求学生赐予高度重视。近世代数的每一章都有许多概念定理等新的学问点，易出现几种概念混淆、定理之间的联系不非常清晰的现象，因此，在学习过程中有必要刚好地归纳总结，做到对所学学问的透彻驾驭。比如群和环是我们接触到的最基本的两个代数系统，在讲授环的理论时，引导学生对它们的定义和性质进行比较，达到温故而知新、系统驾驭这两种代数系统的目的 另外，我们要培育学生发觉问题以及解决问题的实力。我们的学生在高校
10、之前，都是被动的接受学问， 都是为了学习学问而学习。明显，这种被动接受学问的思想，在如今严峻的就业形势下，已经完全的被淘汰。所以进入高校我们应当着重培育学生自主学习的实力，并且培育学生发觉问题，进而思索如何解决问题的实力。这样我们的学生在以后的生活工作中更好地把握机遇。 2.4 注意反例 近世代数课程理论性强、内容抽象，学生学习有肯定困难，特殊是对一些概念的理解、性质的运用简单出现偏差。而学生最大的问题是心中没有多少例子，不知道形式化推理在干什么，不了解为什么要探讨群、环、域这些代数结构。而通过正反举例帮助学生理解概念、驾驭性质有着重要的作用。例如，正规子群概念：设N是群的一个子群，若对每个G
11、，都有N=N，则称N是群G的一个正规子群。教授此概念时，举一些正反方面的例子，使学生简单理解正规子群是集合的相等，而不是对应元素的相等。正例：N=，是三次对称群S3的正规子群。反例：子群H=，不是S3的正规子群，因为HH。 又设为半群。问题：何时为群？可以证明假如半群G有左单位元，并且每个元素都有左逆元，则G为群。那么假如半群G有左单位元，并且每个元素都有右逆元，则G是群吗？回答是否定的。既然不肯定是群，那么能否给出反例呢？反例：设G1为群，I为非空集合。令X=G1I=|gG1，iI，并在X上定义运算：=，g，hG1，i，jI。可以验证为半群。设e=G1为G1的单位元。则对随意i0I，=，？坌
12、gG1，表明为X中一个左单位元。又当|I|1时，X中左单位元不唯一。即半群X的左单位元不唯一。又对随意的X，就有=，表明半群X的每个元素都有右逆元。但明显X不是群，因为X中没有单位元。 2.5注意应用 近世代数的生命力在于其深刻的理论和广泛的应用，其实，一般来说，深刻的理论和广泛的应用是相辅相成的。但是教材中不讲应用。常常会有学生问：学近世代数有什么用？有时候老师也回答不清，不免使学生感到悲观，大大打击了学生的学习爱好。事实上，近世代数有广泛的应用，如晶体的对称性、三大几何作图难题、同余方程组、一些组合计算问题等。2O世纪初群论已经应用于理论物理和分子化学，而到2O世纪中叶，志向理论和域论在计
13、算理论、编码、信息平安等领域更是大显身手。因此，老师讲授时适当地介绍近世代数的应用，一方面可让学生看到该理论的巨大应用价值，另一方面，也可大大调动学生的学习爱好。 3 结语 对于近世代数教学教法的改革必需贯彻以学生为主，通过各种教学手段和教学方法的改进来提高学生对该课程的学习爱好，培育学生的逻辑思维、抽象思维实力，使学生驾驭基本的代数方法，驾驭详细与抽象、一般与特别的辩证关系，培育学生自主学习的实力以及发觉问题的实力，为以后的学习工作打下坚固的基础。 参考文献： 1张禾瑞.近世代数基础M.北京：高等教化出版社，11018. 2杨子胥.近世代数M.北京：高等教化出版社，2003. 3石生明.近世
14、代数初步M.北京：高等教化出版社，2022. 4韩士安，林磊.近世代数M.北京：科学出版社，2022. 5李浏兰，邓义华，杨柳，黄灿. 数学与应用数学专业抽象代数课程分层次教学的探究J.高等函授学报：自然科学版，2022：38-39. 6冯克勤. 高校代数课教学的一些作法和看法J.高校数学， 2004，20：5-7. 作者简介：官欢欢 ，女，博士，贵州财经高校副教授，探讨方向为数论及其应用。 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页