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1、高二数学期末模拟卷+人教A版2019选修二+三全部+-学易金卷+2023-2024学年高中下学期期末模拟考试2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷（考试时间：120 分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5.考试范围：选择性必修2、选择性必修3（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据分析）第
2、卷一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列中，为数列的前项和，则（）A115B110CD2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）X0123Pa5aA. B. C. D. 3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A. B. C. D. 4.已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A在，上为减函数B在，上为增函数
3、C的极小值为，极大值为D的极大值为，极小值为5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（）ABCD6.下列说法正确的是（）A若数据的极差和平均数相等，则B数据的中位数为8C若，随机变量，则D若，则7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（）A240种 B640种C1350种D1440种8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌
4、经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ）A. B. C.D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列命题中，正确的有（ ）A. 若随机变量，则B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是C. 若随机变量，则D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强10. 若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 11.已知函数，则（）A有两个极值点B点是曲线的对称中心C有三个零点且三个零点的和为0D直线是曲线的切线 第卷三、填空题：本题共3小
5、题，每小题5分，共15分12若的展开式中常数项为，则的最小值为_.13. 若随机变量，随机变量，则_.14. 已知函数在处取得极大值，则的取值范围是_. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设等比数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前项和.16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标
6、”社区（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望；（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值(参考数据：； ；)17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2），求的取值范围.18.Chat
7、GPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：x（月份）12345y（万人）3.66.411.718.827.5（1）根据表中数据信息及模型与模型，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；（2
8、）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：基本适应不适应年龄小于30岁10050年龄不小于30岁7575根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：，；，.15559796826411220.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82819. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.（1）设曲线C：，在直
9、角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）（2）证明：当时，函数不存在“自公切线”；（3）证明：当，时，.2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷数学参考答案 第卷二、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678DABDACCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分91011ACABDABC 第卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分1231314三、解答题（本
10、大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（13分）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，即可求解公比得解，（2）利用错位相减法求和即可求解【小问1详解】由以及可得，又，故，因此公比，故【小问2详解】，则，两式相减可得，.16. （15分）【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3）0.35【解析】【分析】（1）由题意，利用原则可求解；（2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望；（3）由二项分布可求.【小问1详解】因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，所以，因为，所以这个社区中“超标
11、”社区的个数为.【小问2详解】由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3，则，所以，的分布列为：则.【小问3详解】由（1）可知随机变量所以，所以的值约为0.3517. （15分）【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解；（2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最大值即可得解.【小问1详解】的定义域为，当时，所以在上单调递增；当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，显然成立，此时可为任意实数；当时，由，在上恒成立，得，令，则，设，由（1）可知，在上单调递增，所以，当时，当时，
12、所以在上单调递增，在上单调递减；则，所以，综上，实数的取值范围为.18. （17分）【答案】（1）模型， （2）认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关【解析】【分析】（1）根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型：. 然后结合线性回归分析，求得函数;（2）列联表，计算卡方，然后对比的数据，做出判断即可；【小问1详解】选择模型：. 记，则. 由题知，所以，所以，即y关于x的回归方程为.【小问2详解】由题意，得到列联表：基本适应不适应合计年龄不小于30岁7575150年龄小于30岁10050150合计175125300， 根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有
13、关，此推断犯错误的概率不大于0.01.(17分）【答案】（1）图象见解析，存在“自公切线” （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）将曲线C：方程变形，由圆的函数图象作出其图象，结合“自公切线”定义即可判断.（2）结合“自公切线”定义将所证不等式转化为证明在上单调即可，构造函数，利用导数研究其单调性，即可证明.（3）根据将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数研究其最值证明，进一步转化为证明，设，求导，利用（2）的结论，得在上单调递增，即可证明.【小问1详解】曲线C：，当时，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：由图象可知，存在
14、“自公切线”；【小问2详解】由题意，下面只需证明在上单调即可，令，则，当时，此时单调递减，即单调递减；当时，此时单调递减，即单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.【小问3详解】，故只需证明，即只需证明，构造函数，则，当时，从而在上单调递减，所以，即，故只需证，设，注意到，注意到，令，则由（2）知，且由（2）知，在上单调递减，所以，从而在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，从而，当，时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进
15、而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷数学全解全析考试范围：选择性必修2、选择性必修3（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据分析）第卷三、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列中，为数列的前项和，则（）A115B110CD【答案】D【分析】由等差数列的基本量法求得公差，再由等差数列前项和公式计算【详解】设数列的公差为，则由
16、得，解得，故选：D2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）X0123Pa5aA. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可.【详解】由题意可知：，所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为：Y-1135P所以.故选：A.3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进
17、一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，甲不去场馆，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为.故选：B4.已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A在，上为减函数B在，上为增函数C的极小值为，极大值为D的极大值为，极小值为【答案】D【解析】根据图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对的性质进行判断即可.【详解】根据函数的图象可知：当时，即，因此当时，函
18、数单调递增；当时，即，因此当时，函数单调递减，显然当，函数有极小值，极小值为；当时，即，因此当时，函数单调递减；当时，即，因此当时，函数单调递增，显然当，函数有极大值，极大值为，由上可以判断D是正确的.故选：D5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（）ABCD【答案】A【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可.【详解】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， 故选：A6.下列说法正确的是（）A若数据的极差和平均数相等，则B数据的中位数为8C若，随机变量，则D若，则【答案】C【分析】选项A，根据条件，利用极差和平均数的
19、定义即可求解；选项B，利用中位数的定义，即可求解；选项C，利用二项分布的期望公式和性质即可求解；选项D，利用正态分布的对称性，即可求解.【解析】对于选项A，因为数据的平均数为，当时，极差为，由题知，解得，满足题意，当时，极差为，由题知，解得，满足题意，所以选项A错误，对于选项B，因为数据的中位数为，所以选项B错误，对于选项C，因为，所以，又，所以，所以选项C正确，对于选项D，因为，所以，从而有，故选项D错误，故选：C.7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（）A240种 B640种C1350种D1440种【答
20、案】C【分析】将2名说书演员分配到3个居民区，共有9种分配方法. 对京剧演员进行分组分配，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 分别计算两种情况下的分配方法数，最后根据分类加法计数原理可得每个居民区都有京剧演员的分配方法共有1350种.【解析】将2名说书演员分配到3个居民区，有（种）分配方法. 若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有（种）分配方法；当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有（种）分配方法.综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有（种）.故选：C8.假设在某种细菌培养
21、过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ）A. B. C.D. 【答案】B【解析】【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，进一步求出，的通项公式，即可得出答案.【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，所以，则，则，所以是首项为和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给
22、出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列命题中，正确的有（ ）A. 若随机变量，则B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是C. 若随机变量，则D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强【答案】AC【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据百分位数的概念及求法，可判定B不正确；根据二项分布的方差的计算公式，可判定C正确；根据，结合相关性的含义，可判定D不正确.【详解】对于A中，若随机变量，且，根据正态分布曲线对称性，可得，所以，所以A正确；对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8
23、，9，10，共有10个数据，则，所以数据的分位数为，所以B不正确；对于C中，若随机变量，可得，所以C正确；对于D中，若两组成对数据的样本相关系数分别为，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，所以D不正确.故选：AC.10. 若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法，结合二项式定理逐项判断即可.【详解】令得：，所以，故A正确；令得：，即，故B正确；展开式的第项为：，所以，即，所以，故C错误；令得：，所以，故D正确；故选：ABD11.已知函数，则（）A有两个极值点B点是曲线的对称中心C有三个零点且三个零点的和为0D直线是曲线的切线【答案】ABC【
24、分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；计算可判断B；根据函数的单调性结合零点存在定理以及设这3个零点为，利用，求得零点和，判断C；根据导数的几何意义可判断D.【详解】因为函数，所以，令，当或时，在上都单调递增，当时，在上单调递减，故为函数的极大值点，为函数的极小值点，即有两个极值点，A正确；因为，故点是曲线的对称中心，B正确；由A可知有两个极值点，且，结合的单调性可知函数在各有一个零点，即函数有3个零点；由于，故之间的零点处于内，不妨设这3个零点为，且，满足，即，故，C正确；不妨设直线是曲线的切线，则满足，则，即切点坐标为，而，说明假设不成立，即直线不是曲线的切线，D错误
25、，故选：ABC 第卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12若的展开式中常数项为，则的最小值为_.【答案】3【解析】由，有，令，即，故，即，即，则，当且仅当或时，等号成立，故的最小值为.故答案为：313.若随机变量，随机变量，则_.【答案】【解析】由可知：，又因为，所以，则，故答案为：14.已知函数在处取得极大值，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【详解】的定义域是，由于函数在处取得极大值，所以，且在上单调递增，在上单调递减，所以单调递减，所以，所以，构造函数，显然，所以在区间上单调递增，在区间
26、上单调递减，所以是的极大值也即是最大值，所以，也即的取值范围是.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设等比数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，即可求解公比得解，（2）利用错位相减法求和即可求解【小问1详解】由以及可得，又，故，因此公比，故【小问2详解】，则，两式相减可得，.16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这3
27、00个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望；（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天
28、垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值(参考数据：； ；)【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3）0.35【解析】【分析】（1）由题意，利用原则可求解；（2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望；（3）由二项分布可求.【小问1详解】因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，所以，因为，所以这个社区中“超标”社区的个数为.【小问2详解】由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3，则，所以，的分布列为：则.【小问3详解】由（1）可知随机变量所以，所以的值约为0.3517.已知函数.（1）讨论的单调性；（2），求的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）
29、【解析】【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解；（2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最大值即可得解.【小问1详解】的定义域为，当时，所以在上单调递增；当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，显然成立，此时可为任意实数；当时，由，在上恒成立，得，令，则，设，由（1）可知，在上单调递增，所以，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减；则，所以，综上，实数的取值范围为.18.ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至
30、能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：x（月份）12345y（万人）3.66.411.718.827.5（1）根据表中数据信息及模型与模型，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区
31、随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：基本适应不适应年龄小于30岁10050年龄不小于30岁7575根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：，；，.15559796826411220.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）模型， （2）认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关【解析】【分析】（1）根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型：. 然后结合线性回归分析，求得函数;（2）列联表，计算卡方，然后对比的数据，做出判断即可；【小问1详解】选择模型
32、：. 记，则. 由题知，所以，所以，即y关于x的回归方程为.【小问2详解】由题意，得到列联表：基本适应不适应合计年龄不小于30岁7575150年龄小于30岁10050150合计175125300， 根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.（1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）（2）证明：当时，函数不存在“自公切线”；（3）证明：当，时，.【答案】（1）图象见解
33、析，存在“自公切线” （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）将曲线C：方程变形，由圆的函数图象作出其图象，结合“自公切线”定义即可判断.（2）结合“自公切线”定义将所证不等式转化为证明在上单调即可，构造函数，利用导数研究其单调性，即可证明.（3）根据将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数研究其最值证明，进一步转化为证明，设，求导，利用（2）的结论，得在上单调递增，即可证明.【小问1详解】曲线C：，当时，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：由图象可知，存在“自公切线”；【小问2详解】由题意，下面只需证明在上单调即可，令，则，
34、当时，此时单调递减，即单调递减；当时，此时单调递减，即单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.【小问3详解】，故只需证明，即只需证明，构造函数，则，当时，从而在上单调递减，所以，即，故只需证，设，注意到，注意到，令，则由（2）知，且由（2）知，在上单调递减，所以，从而在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，从而，当，时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.