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1、姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:密封线答题时不要超过此线第七届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准(数学类,2015年10月)考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分一、(本题 15 分)设 L1和L2是空间中两异面直线.设在标准直角坐标系下直线L1过坐标为a的点，以单位向量v为直线方向；直线L2过坐标为b的点，以单位向量w为直线方向.1)证明：存在唯一点P L1和Q L2使得两点连线PQ 同时垂直于 L1和L2.2)求P点和Q点坐标(用a,b,v,w表示).解解解：1）过直线L2上一点和线性无关向量 v 和w 做平面，则直线L2落在平面上，且直线L1平行于平面。过
2、L1做平面 垂直于平面，记两平面交线为L1。设两直线L1和L2的交点为Q,过Q做平面 的法线，交直线L1为P,则 PQ 同时垂直于L1和L2。.(4分)设X=P+sv L1和Y=Q+tw L2也使得XY 同时垂直于L1和L2，则有 XY=PQ sv+tw垂直于 v 和w，故有 s+(v w)t=0 和 s(v w)+t=0。由于(v w)2 0.求证 limnn(ann)存在.证证证明明明 a2=a1+1a1 2.若 an n,则an+1(n+1)=an+nan n 1=(1 1an)(an n)0,故an n,n 2,且an n单调递减.(5分)令 bn=n(an n),则bn+1=(n+1
3、)(an+1 n 1)=(n+1)(an+nan n 1)=(an n)(n+1)(1 1an)=(1+1n)(1 1an)bn=(1+annnan1nan)bn=(1+Rn)bn,其中 Rn=annnan1nan.从而 bn=b2Qn1k=2(1+Rk).(10分)考察Rn.|Rn|6|annnan|+1nan61+|a22|n2,n 2.结果由limQn1k=2(1+Rk)存在知lim n(an n)存在.(15分)第 4 页（共 7 页）姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:密封线答题时不要超过此线五、(本题 15 分)设 f(x)是 0,+)上有界连续函数,h(x)是 0,+)上连续函数,且R+0|h(t)|dt=a 0.这说明 eaxg(x)是递增函数。.10分由(1),可得A=g(x)+aZxx1eatg(t)eatdt6 g(x)+aeaxg(x)Zxx1eatdt=g(x)+eaxg(x)ea(x1)eax=eag(x).由此，可得g(x)Aea.15分由 g(x)的定义知，g(x)的下确界为零，因此 A=0.再根据(1)可知 g(x)恒等于零，即 f(x)为常数。.20分第 7 页（共 7 页）