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1、清北学堂高中物理竞赛模拟题清北学堂高中物理竞赛模拟题辐射不吸收也不反射，而地球的热辐射主要为长波辐射，大气对其吸收率和热辐射的放射率均为P,试求辐射平衡时地球和大气的温度分别为多少？（P?07?）（3）如果温室气体增多，且与大气分布在不同的高度,在大气层之内，相当于又增加了一层温室气体层，大气和温室气体的辐射也为长波辐射，温室气体对长波辐射吸收率和热辐射的放射率均为 W，试求稳定时地球的温度和由于温室气体增多带来的升温为多少（与第 2 问相比）？（W?07?）一、（40 分）同一平面内两个半径为 R 的圆环分别绕固定点 A 和 B 做定轴转动，角速度和角加速度大小与方向如图中所示。两圆环的交点
2、分别记为 M和 N。已知 A、B 间距离为 2R。在图示时刻 A、B、M 三点共线。M、N 均指空间中的点而非实际在环上的点。（1）求此时 M、N 两点的速度。（2）求此时 M、N 两点的加速度。二、温室效应对地表温度的影响。（35 分）假设把太阳和地球当做理想黑体，太阳的辐射场均匀，且不考虑太阳和地球相对运动带来的影响。已知太阳的温度为?,半径为 R;日地距离为 d，地球的半径为 r,地球表面由于冰川的存在对太阳辐射的平均反射率为 Q。试利用此简化模型进行估算（?6000K，R?7?0?，?0?，?600?，Q?03）（1）假设地球上没有大气，试计算地球达到辐射平衡时的温度?。（2）考虑大气
3、的影响，把大气理想化为灰体，已知太阳的辐射主要为短波辐射，大气层对这部分热三、（40 分）光滑地面上有一堆质量线密度为的绳子，绳子足够长。绳子的一端连着质量为 m 的小球，初始状态下小球几乎贴地放置，如图所示。将小球以?0竖直向上抛出。建立从地面向上的坐标系 x，原点在地面，如图。（注意：绳子没有离开地面的部分速度始终是 0）（1）图示系统能量守恒吗？为什么？（2）试求出小球的最大上升高度。（3）小球在达到最高点之后会沿着原来的轨迹竖直下落，请问小球达到最高点的时间和从顶部落下来的时间相同吗？如果不同，哪一个更长呢？试解释之。1四、电磁波是横波，因此具有偏振。本题将讨论一些关于偏振的问题。（3
4、5 分）（1）将两个偏振片叠在一起，使其透振方向相互垂直，此时在自然光入射的条件下，透过两偏振片的光强为 0。若在两偏振片之间再插入一个偏振片，求此偏振片透振方向与第一个偏振片透振方向夹角为时透过三个偏振片的光强。（设入射自然光的光强为I0）并求出变化时此光强的最大值。（2）若在两个偏振片（透振方向相互垂直）之间插入N个偏振片，再求透射光强的最大值。（3）众所周知，把两个偏振片叠在一起，在自然光条件下透射光强仅依赖于它们透振方向的夹角。0因此我们无法确定二者各自的透振方向。但某同学想到一种极其巧妙的方法可以在自然光条件下确定二者各自的透振方向。如图所示：在两个偏振片上各标一个箭头，再把两个偏振
5、片叠在一起。旋转它们之一，直到透过二者的光强为 0。测量靠近眼睛的这张偏振片上的箭头相对另一张偏振片上箭头方向的角度1（逆时针为正）。再把靠近眼睛这张偏振片以其任意一条直径为轴翻转，再旋转两张偏振片使得透过它们的光强为 0。再测量靠近眼睛这张偏振片上的箭头相对另一张偏振片上箭头方向的角度2（逆时针为正）。我们把前一种情形称为“偏振片正面朝向眼睛”，第二种情形称为“偏振片反面朝向眼睛”。求出在“偏振片正面朝向眼睛”情况下靠近眼睛的偏振片的透振方向相对其上所标箭头方向的夹角的可能取值（逆时针为正）。2变化，其磁感应强度为?（0，?0coskz，0），其中 k 是已知常量，而一束静止质量为?0的极端
6、相对论性电子以初速度（0,0，?）通过该装置。请以电子进入波荡器的距离 z 为变量，求出电子的速度。五、（40 分）磁场的作用，从宏观到微观，从电流到粒子：众所周知，磁场和电流满足安培环路定理?0?其中?为通过环路 L 的所有电流。，我们现将该定律扩展一下：“所有电流”包含两个部分：一类是传导电流，这是由导线中的自由电子决定的电流，有热效应；一类是磁化电流，它是由磁介质的分子决定的电流（安培曾提出过分子环流假说），没有热效应。为便于理解，如下图所示，?0为线圈中的传导电流，?为磁介质中的磁化电流。现定义，在线性磁?介质中，?0?，?称为磁介质的磁导率磁导率，?定义为磁场强度磁场强度。在本题中我
7、们认为?，然而对于空气（或真空），?恒成立。可以证明?0?其中?0?为通过环路 L 的传导电流。如图一，设环形细铁芯的磁导率为?，由于?很大，磁场线几乎全部集中在铁芯环中，漏磁可以忽略。在铁芯的一部分处缠绕线圈，匝数为 N，线圈电流为 I，铁芯的横截面积为 S，周长为 l，试求出磁通量大小?。磁通量仍然定义为：?0?（2）设这个环形铁芯中开了一个特别小的空气间隙，间隙宽度为 d（dl），忽略空气间隙的边缘效应，即在间隙中磁感应线通过的有效面积也 S，试求出此时的磁通量大小?。（提示：?在两种不同的介质表面法向连续不变，但?不适用于此结论）（3）如图二所示，电路中有两个带有环形细铁芯的电感线圈，
8、一个铁芯的横截面积为?，周长为?，磁导率为?，缠绕线圈匝数为?，无空气间隙；另一个铁芯的横截面积为?，周长为?，磁导率为?，缠绕线圈匝数为?，有空气间隙，间隙宽度为 d（d?）。电阻大小为 R，电源电动势为?，t?0 时刻，闭合开关，试求电流 I I 随时间 t 的函数关系。（4）下面我们考虑磁场中的粒子，在全空间中，存在一个随位置变化的磁场，磁场变化为正弦?0?图一图一图二图二六、氢原子光谱与氘的发现（35 分）（1）考虑玻尔的氢原子模型，写出模型的三条基本假设，假设氢原子玻尔半径，电子电荷量，真空介电常量已知，求出氢原子基态电离能。（2）利用玻尔的氢原子模型，推导出原子能级跃迁中光谱的里德
9、伯公式，并求出?。里德伯公式：?（?）（3）实际光谱学观测求出的?比理论值略小，现在考虑氢原子核在库伦力作用下的运动，说明为什么实际结果偏小，求出修正之后的?。(4)1932 年，尤雷在实验中发现，所摄液氢赖曼系的头四条谱线都是双线，双线之间波长差的测量值与通过里德伯常数 R 计算出的双线波长差非常相近，从而确定了氘的存在。设氢原子里德伯常量为?，氘原子里德伯常量为?。若已知对于同一条谱线，氢原子谱线波长为?氘原子谱线波长为?，有?0000?7?，试求?的值。3七、（50 分）无重力空间中有沿 z 方向的匀强磁场，磁感应强度为 B，XOY 平面如图所示。空间中有一个刚性轻圆环，上面等分固定了
10、2n 个点电荷，每个点电荷质量为 m。给它们从 0 2n 1 标号如图所示，其中 0 n 1 的带电量分别为 q，n 2n-1 的带电量分别为-q，刚性轻环半径为 R。初始时如图所示放置，圆心C 与 O 重合。给定一个沿 z 方向的初始角速度?0。为了方便分析，在环上固定一组坐标系?，与环保持相对静止，初始时?与 oxy 重合。设任意时刻圆心 C 沿 x 方向的速度为?，沿 y 方向的速度为?，并设?相对于 oxy 沿逆时针的旋转角度为。（1）为了分析这个模型，先考虑该空间中一组用刚性轻杆连接的偶极子，轻杆长 2R，引入?,?,如图所示。试写出?,?,?三个速度相关量对这个偶极子对的合力和合力
11、矩贡献。并最终以质心速度?,?和?为参数写出。（2）回到题中的模型，引入?。(提示，对任意的?，有?0?sin?晦?，?0?cos?)（2.1）导出 x,y,方向上以及转动的的动力学方程。（2.2）导出?的微分方程。并以为参数，写出?，说明在?0满足何种条件下，环可以不停的旋转下去。（2.3）在不停旋转的条件下，求 C 的 y 方向最大偏移。（2.4）当初始角速度很大时，试讨论圆环质心的轨迹。八、(45 分)考虑真空中的如下系统：一个固定的无限大接地导体平面，和一个带电量为?、半径为?质量为?的绝缘体球，其上质量与电荷均匀分布，球心与导体板的距离为?R。以下各问均不考虑电磁波的辐射带来的影响。
12、建立如图所示的坐标系，x?y 轴正方向如图所示。（1）试求出导体板上的电荷面密度分布。（2）从静止释放球体，选取坐标原点使得球体的初始坐标为?0?d?。为简化表达式的计算，令 A?0?，?0?，?0?0?；（2.1）试求出球的运动方程，即球的坐标?与?方向加速度?的关系。（2.2）试求出球从释放到与导体板碰撞的时间间隔?。你可能用到以下积分公式（当然，你也可以利用一些技巧来避免积分的计算）：?arcsin?，?（3）在（2）的条件下，进一步设导体板表面的滑动摩擦系数和静摩擦系数均为，令球在初始时刻以0的角速度顺时针转动，从静止释放球体，此时 t?0，选取坐标原点使得球体的初始坐标为?0?d?。
13、（3.1）设 d?R，球体与导体板的碰撞在一瞬间完成，恢复系数为 e，求从释放到第一次碰撞用时?，以及第一次碰撞后，球的速度与转动角速度。（3.2）在上一问的条件下，试讨论 e?0?R?的取值，求发生第 n 次碰撞后的瞬间球体的速度?、转动角速度?以及此时的时刻?。4清北学堂高中物理竞赛模拟题答案解析及评分细则清北学堂高中物理竞赛模拟题答案解析及评分细则一、(40 分)解：（1）记两环分别为环 1 和环 2，设圆心分别为?和?，设 M、N 两点的速度分别为?和?。取随环1 运动的转动参考系，在其中分解速度有?t?t?(1)(2)?t?t?其中?t?和?t?分别为两点相对该参考系的速度，?t?和
14、?t?分别为两点的牵连速度。取随环 2 运动的转动参考系，在其中分解速度有(3)?t?t?t?t?(4)各量物理意义同上类似，则有(5)?t?t?t?t?t?t?t?t?(6)各量方向如图 1 所示，其中?t?t?(7)?t?t?(8)?t?和?t?与环 1 相切，?t?和?t?与环 2 相切。将(5)式分别在 x 方向和 y 方向上投影得?t?t?(9)?t?t?(10)解得?t?t?(11)故 M 点的速度为?(12)同理解得?t?t?(13)故 N 点的速度为?(14)（2）先求 M 点加速度?，分别取随环 1 和环 2 运动的转动参考系，在其中分解加速度有?t?t?t?t?(15)其中
15、，?t?t?t?t?(16)?t?t?t?(17)?t?(18)?t?t?t?t?(19)?t?t?t?(20)?(21)?t?在环 1 参考系里的分解如图所示。对(15)式点乘矢量?，解得?t?(22)5故 M 点加速度为?(23)再求 N 点加速度?，分别取随环 1 和环 2 运动的转动参考系，在其中分解加速度有?t?t?t?t?(24)其中，?t?(25)?t?t?t?t?t?t?(26)?t?(27)?t?t?t?t?(28)?t?t?t?(29)?(30)?t?在环 2 参考系里的分解如图所示。对(24)式点乘矢量?，解得?t?(31)故 N 点加速度为?(32)评分参考：第一问 1
16、0 分：(12)(14)式各 5 分；第二问 30 分：(15)到(22)式共 12 分，(23)式 3 分，(24)到(31)式共 12 分，(32)式 3 分。不同解法参考以上标准根据实际解答给分。二、(35 分)解析：由题意可得太阳假设为理想黑体，故其热辐射满足斯特藩定律：dPdS?Ts?F?由太阳热辐射均匀且能量守恒可得地球可接受到的太阳辐射功率为：Ts?R?r?d?由于地球表面冰川的反射率为 Q,则单位时间真正被地球吸收的能量为：F?Ts?R?d?r?Q?地球的辐射能力假设为黑体，则达到辐射平衡时应满足单位时间内吸收的能量等于辐射出的能量，可得:Ts?R?d?r?Q?TE?r?由此可
17、解得：?Q?R?d?Ts?5?TE?带入题中所给数据可得：TE?65K?6?(2)考虑大气的影响，由于大气对太阳的短波辐射不反射也不吸收，故达到地球表面且被地球吸收的短波辐射功率仍为：F?Ts?R?d?r?Q?7?假设地球的温度为T?,大气的温度为T?,则地球和大气的辐射功率分别满足：8对地球有：dP?/dS?T?对大气有：dP?/dS?PT?9由于大气是球壳状，有内外两个表面，故大气既向内辐射又向外辐射。达到辐射平衡时地球和大气应满足吸收的能量与辐射出的能量平衡：F?PT?S?T?S?PT?S?PT?S其中 S?r?为地球的表面积6带入数据并求解上述方程可得：T?98K T?5?K（?）（3
18、）由于温室效应导致温室气体的增多且分布在不同高度，即形成了两层大气，同样设地球的温度为T?,第一层大气的温度为T?,第二层大气的温度为T?,同样达到辐射平衡时地球和大气应满足吸收的能量与辐射出的能量平衡：F?WT?S?P?W?T?S?T?S?WT?S?WPT?S?WT?S?W PT?S?WPT?S?PT?S?5?联立上述方程并带入数据可得;T?K?6?升温为T?T?T?6K?7?评分标准：（1）（2）（3）（4）（5）（6）式各 2 分；（7）（8）（10）（11）式各 2 分（12）式 4 分；（13）（14）（15）（17）式各 2 分（16）式 3 分。三、(40 分)（1）体系能量不守
19、恒，分上升和下降部分进行讨论。在上拉过程中，由于小球牵动绳子上拉的时候，只有离开了地面的部分才具有速度。设想没有摩擦的理论情况，绳元之间满足速度牵连关系，即一端牵动后面也会被牵动，从而反推出系统一定是有摩擦、碰撞之类的作用在维持这个机制，而这些作用就会导致体系能量的损失。损失部分能量用于发热、发声等。下降过程中，地面以上的部分自由落体运动，进行的是机械能内部转化，能量不变。但每个与地面接触的单元受到完全非弹性碰撞，速度瞬间降为 0，这个过程带来了能量损耗。损失部分的能量用于发热、发声等。（2）上升过程中，由密舍尔斯基方程直接写出：?将右边微分合并，两边同时乘上?，注意到 vdx=dt,有：?两
20、边积分，得：?最高点 v=0,代入得到：最大高度 H 为：?（3）注意到小球的下落过程是自由落体，考虑它的时间反演，即上升过程，考虑反自由落体的上升过程和带着链子上升过程的时间比较。注意到带着链子的整个上升过程中，加速度一直大于 g，只有在到最顶点的时候，加速度等于 g。并且要求两个曲线与 xoy 轴围成的面积相等，从而可以作如下简图。7由图可见，下落的时间更长。评分标准：（1）满分 10 分。写出不守恒、能量去向以及上下过程分别讨论的拿满分；（2）满分 20 分。中计算出结果满分；（3）满分 10 分。中大小判断正确、解释清楚满分；四、(35 分)（1）由于是自然光入射，透过第一张偏振片的光
21、强：210I I（2 分）由马吕斯定律，透过中间的偏振片的光强：212I I cos（2 分）由几何关系，中间的偏振片透振方向与第三张偏振片透振方向夹角：-2（2 分）故：cos2cos2(cos)2022231II I（1 分）要求I3最大，即要求coscos(2)最大。而：2)coscoscos(2212212212cos(cos(2)（2 分）故：4（2 分）时最大，其最大值为：80I I（1 分）（2）同理，此时透射光强：).21202Ncos2cos2.cos2cos2(12NI1I（3 分）i其中为第 i+1 张偏振片透振方向与第 i 张偏振片透振方向的夹角。.要求I最大，即要求c
22、oscos.coscos(2121N2N)最大，即要求：).lncos(.lncoslncoslncos21221NN（3 分）最大。要求此式对i求导等于零，得：)0.tan(-tan212Ni（2 分）即要求：Ni.221（2 分）因为此式对任意 i 均成立：(2N 2)i（2 分）此时光强取最大值：222202cosNNI1I（1 分）8（3）在“偏振片正面朝向眼睛”和“偏振片反面朝向眼睛”两种情况下，相对远离眼睛的偏振片上所标的箭头，靠近眼睛的偏振片上所标的箭头的角度分别为1和2。故靠近眼睛的偏振片的透振方向分别为：010与2-（4 分）而两次均满足透过光强为 0。因此两次靠近眼睛的偏振
23、片的透振方向重合，即：0102002-或1-（4 分）解得：2210（-）或-2120（）（2 分）五、(40 分)解析：本题前三问属于原创题，最后一问根据以前练习过的某套试卷改编，前三问引入了电磁学中的一个重要物理量磁场强度矢量，根据安培环路定理可以推导出磁路定理，题的难度不是中等，但是对于之前没有学过磁场强度的同学来说理解起来可能需要少许时间。题干虽然长，但是根据题目一步步走下去依然能够顺利解答本题，最后一问涉及到了相对论性粒子在磁场中的运动，千万不要忽视相对论效应。（1）根据式子?我们可以得到，对于这个环形细铁芯有：NI?Hl?t?t?（2 分）所以?t?NI?（4 分）（2）由于 B
24、在两种不同介质的表面上连续不变，所以磁通量无论是在铁芯中还是在空气间隙中也都是不变的，我们统一设为?。NI?t?t?（2 分）解得：?t?t?（4 分）（3）设电流为 I，那么，两个线圈中的磁通量为：?t?（2 分）?t?t?（2 分）电感分别是：?t?（2 分）?t?t?（2 分）总电感L?t?t?t?（2 分）对于电路而言：?iR?Ldidt?（2 分）9解得：i?t?将 L 表达式代入i（t）?t?t?t?t?（4 分）（4）由于是极端相对论性粒子其动质量：m?（2 分）由于洛伦兹力不做功，动质量 m 不发生变化洛伦兹力：?t?d m?dt?（2 分）经过处理：?t?cos?t?t?co
25、s?t?由此可以得出：?再利用：?（2 分）得到：?t?tsin?t?（2 分）利用：?得到：?t?t?sin?t?（2 分）综上：?t?tsin t?t?t?sin?t?（2 分）1011六、（35 分）解答：（1）定态假设、跃迁假设、量子化假设（写出主要内容也给分）（1 分）玻尔半径就是基态半径。记电子质量为 m，基态氢原子有?t?t?（此方程组完全正确 1 分）得到?t?8?t?电离?8?（得到此结果 1 分）（2）根据玻尔的假设，有方程组mvr?h?t?t?t（此方程组 1 分）解出t?h?t?t?h量子数为 n 时的总能量?t?t?=?ht?8?（得到此结果 2 分，酌情给）跃迁时光
26、子能量来自原子能量的变化h?=8?t?（?）（1 分）故132041.0973738107mh cmeRH（1 分）（3）在原子理论中假定氢核是静止的，而氢核只比电子重约 1800 倍，这样的处理显然不够精确。实际情况是核与电子绕它们共同的质心运动，因此会有偏差和修正（1 分，类似即可）将以上方程组中的 m 换为折合质量=?，得到 R=?，偏小（2 分，结果对即可，给出推导过程酌情给分）（4）对于同一条谱线，由里德伯公式，有?得?9997?7?（2 分，结果对即可）12七、(50 分)（1）注意到洛伦兹力是线性的，满足叠加原理，从而可以根据图示，由牛顿定律直接写出三者独立的贡献：?：合力为 0
27、，贡献 z 方向力矩：-2q?BR?：合力为 0，贡献矩为 0?：合力沿着-q 到 q 方向，大小为 2q?BR，合矩为 0注意到?香?，则力矩为 2qBR(?香?)（2）(2.1)回到原题的模型。则圆环可以看作是 n 对初始位置不同的偶极子固定在一起的集合。引入求和指标 i 从 0n 1，?，可以写出，i 编号上的?cos?sin?，从而有：合力矩：?cos?sin?，方向 z合力：?sin?，方向始终沿?方向带入牛顿定律和提示中的数学公式，则动力学方程为：(?是质心 C 的速度)?nm?nm?香?香?(2.2)前两式消去 dt 并积分，得：?香?代入第三式，有：?注意到?，带入解得：?香?
28、不停旋转要求对于，?，从而有：?(2.3)由?，把?用?表达带入并积分得：（以?为参数）?(?)注意到由前式可得：?代入有：?最大偏移为：?。(2.4)?很大时，洛伦兹力矩对它的影响几乎不记，则有：?代入圆心 C 的 x,y 满足的微分方程，积分得：?香?这是一条摆线。评分标准：（1）15 分。三个方向贡献各 5 分。（2.1）15 分。（2.2）10 分。（2.3）5 分。（2.4）5 分。小题内部按照表达式线性给分即可。13八、(45 分)解答：本题综合考察电像法、天体运动、刚体运动，计算量较大，模型较为基本。（1）利用静电电像法，可以得出上半空间的电场分布实际上是两个相距为?d 的，带电
29、量相反的绝缘球体的电场分布（1）因此，距坐标原点距离为 r 处的电场大小为?r?t?（2）做一个很小的高斯面，由高斯定理易得 r?t?（3）（1）1 分，（2）（3）各 2 分。（2）由牛顿第二定律，有m?（4）利用?，化简为?（5）可见，球体将在平方反比的力的作用下运动，而且等效为 y?处的中心的作用力。（6）在平方反比力的作用之下，物体一般的运动轨道是一个椭圆，在本题条件下，是一个非常“扁”的椭圆，要求的时间是从?到?所用的时间为此，先考虑一个半长轴为，偏心率为 t的椭圆（这里的 e 与后面的恢复系数没有任何关系）。解法一：本题的关键是要求出阴影区域的面积，而阴影区域由两部分组成，一部分是
30、椭圆冠，一部分是三角形，三角形面积可以直接求出：?/?t/?t?/?/?（7）为了求第一部分的面积，我们先求出对于一个圆来说斜线部分的面积，再利用面积投影定理即可求出椭圆冠的面积。圆冠(斜线区域)的面积为?arccos?/?/?/?/?（8）?进而得到?t?，灰色区域的总面积?t?t?/?t?arccos?/?/?，（9）面积速度易得为?/?t?，（10）算出时间为?/?t?/?arccos?/?/?（11）本题目考虑的是 t?的情形，因此有?arccos?arccos?（12）（4）3 分，（5）（6）（7）（8）（9）（11）各 1 分，（10）（12）3 分。若能够类比天体运动进行求解（
31、6）的分数即可获得，若能够正确计算出结果即可得全部分数，若计算结果错误可根据情况酌情给分。解法二：直接积分方法为简化计算，设椭圆的半长轴为?，半短轴为?，半焦距为?。?椭圆的方程为?，解出?（7）由能量守恒可得?t?，其中 t?解得?（8）取椭圆上的微元，有?dy（9）14因此有?（10）积分得到?arcsin?arcsin?arccos?（11）带入?d?/?易得?arccos?（12）（7）（9）1 分，（8）（10）（11）（12）2 分。（3）（3.1）利用上一题的结论，代入 d?R 可得?（13）利用能量守恒易得，此时的速度?（14）球体对球心的转动惯量为 J?5?（15）假设摩擦系
32、数很小，即碰撞完成后，球体与导体板之间依然不能达到相对静止，在碰撞过程中，?方向的冲量大小为?e m?（16）摩擦力带来的水平方向的冲量改变为?e m?（17）由此带来的角速度的改变量为?5?e m?R?5?5?t?（18）得到?e?（19），?t?（20），?（21）若在碰撞的过程中球体与导体板的接触点达到了相对静止，则利用对接触点的角动量守恒，可得?7?（22），?7R?（23），综上所述，当?57?时，?e?t?（24）；?，?t?，?；当?57?时，?7?，?7R?，?t?（25）（14）2 分，（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）各 0.5
33、 分，（13）（24）1 分。（3.2）若第 n 次碰撞时，球体与导体板交界点处不能实现相对静止，则有对前 n 次碰撞有?t?tt?e m?（25）t?t?e m?t?tt?t?t?em?（26）计算得出?e?t?tm?，?t?，?5?t?t?t?t?t（27）；若第?次碰撞时球体与导体板交界点恰好实现相对静止，?t?t?57?t?57?且?t?（28）则有计算得出?7?，?7R?，?t?（29）综上有：若?t?57?，则有不能达到相对静止，?e?t?m?，?t?，?5?t?t?t?t?t（30）若?t?57?t?，则若 n?，有?e?t?tm?，?t?，?5?t?t?t?t?t；（31）若 n?，有?7?，?7R?，?t?，?满足?t?且?t?57?t?t?57?。第 n 次碰撞前球心 y 坐标的最大值满足?t?（32）?，得到?t?（33）第 n 次碰撞前下落用时?arccos?（34）进一步可得?（35），代入即可。（25）（26）（27）（28）（29）1 分，（30）（31）（32）2 分，（33）（34）2 分，（35）1分。若（30）（31）（32）讨论结果正确，（25）（26）（27）（28）的分数亦可以得到。