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1、解析几何系列小专题解析几何系列小专题 4：面积定值背后的秘密：面积定值背后的秘密【典型模型】【典型模型】详情见公众号扫码详情见公众号扫码或者微信搜索公众号：或者微信搜索公众号：海滨拾数学生，教师学生，教师 WORD 版全集获取请关注公众号，避免麻烦，专题结束将统一整理列序版全集获取请关注公众号，避免麻烦，专题结束将统一整理列序，并在公众号统一给出全部资料的获取方式，请喜欢的同仁私用。并在公众号统一给出全部资料的获取方式，请喜欢的同仁私用。模型规律：模型规律：直线直线:l ykxm与椭圆与椭圆2222:10 xyCabab相交于相交于,A B两点且两点且22OAOBbkka.则一定有则一定有AO
2、B的面积为定值的面积为定值ab21.模型模型 1：已知椭圆已知椭圆C：22143xy，若直线若直线:l ykxm与椭圆与椭圆C相交于相交于,A B两点且两点且43OBOAkk，求证：求证：AOB的面积为定值的面积为定值.变式变式 1：已知椭圆已知椭圆C：22143xy，设点设点A、B是轨迹是轨迹C上两个动点，直线上两个动点，直线OA、OB与与轨迹轨迹C的另一交点分别为的另一交点分别为1A、1B，且直线且直线OA、OB的斜率之积等于的斜率之积等于34，问四边形问四边形11ABAB的面积的面积S是否为定值？请说明理由是否为定值？请说明理由.变式变式 2：已知椭圆已知椭圆C：22143xy，四边形四
3、边形EFGH的四个顶点都在椭圆的四个顶点都在椭圆E上上，且对角线且对角线EG，FH过原点过原点O，若，若34EGFHkk，求证：四边形，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值的面积为定值，并求出此定值变式变式 3：已知椭圆已知椭圆C：22143xy，直线直线l：ykxt交椭圆于交椭圆于A，B两点两点，OMOAOB ，且点且点M在椭圆在椭圆C上上，试探究四边形试探究四边形OAMB的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由是，请说明理由.【典型模型】【典型模型】例例 1：（2019凤城市第一中学高二月考（文凤城市第一中学高二月考（文）已知
4、椭圆）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心的离心率为率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1（1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2）设点）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，为椭圆上位于第一象限内一动点，,A B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与与x轴交于点轴交于点C，直线，直线MA与轴交于点与轴交于点D，求证：四边形，求证：四边形ABCD的面积为定值的面积为定值例例 2：（2020江西高三期末江西高三期末（理理）已知椭圆已知椭圆2222:10 xyCabab过点过点(2,0)A，离心离心率为率为22，O为
5、坐标原点为坐标原点（1）求椭圆）求椭圆C的标准方程；的标准方程；（2）设）设,P Q R为椭圆为椭圆C上的三点，上的三点，OQ与与PR交于点交于点M，且，且3OQOMuuu ruuur，当，当PR的中点的中点恰为点恰为点M时，判断时，判断OPR的面积是否为常数，并说明理由的面积是否为常数，并说明理由例例 3：（2019山西高考模拟（文山西高考模拟（文）已知椭圆）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别的左、右焦点分别是是1F，F，其离心率为，其离心率为12，点，点P是椭圆是椭圆C上任一点，且上任一点，且12PFF面积的最大值为面积的最大值为3.（1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方
6、程；（2）若斜率不为若斜率不为 0 的直线与椭圆的直线与椭圆C相交于相交于M，N两个不同点两个不同点，且且OMPN是平行四边形是平行四边形，证明：四边形证明：四边形OMPN的面积为定值的面积为定值.例例 4：（2019浙江高三月考）已知椭圆浙江高三月考）已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的焦距为）的焦距为2 3，且过，且过点点(2,0)A（）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（）若点）若点(0,1)B，设，设P为椭圆为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线上位于第三象限内一动点，直线PA与与y轴交于点轴交于点M，直线直线PB与与x轴交于点轴交于点N，求证：四边形，求证：四边形ABNM的面积为定
7、值，并求出该定值的面积为定值，并求出该定值【课后习题】【课后习题】1.（2019河南南阳中学高三开学考试（文河南南阳中学高三开学考试（文）已知椭圆）已知椭圆22221(0)xyabab）的离心率为的离心率为2 23，一个焦点在直线一个焦点在直线24yx上上，直线直线l与椭圆交于与椭圆交于PQ，两点两点，其中直线其中直线OP的斜的斜率为率为1k，直线，直线OQ的斜率为的斜率为2k。（1）求椭圆方程；）求椭圆方程；（2）若若1219kk，试问试问OPQ的面积是否为定值的面积是否为定值，若是求出这个定值若是求出这个定值，若不是请说明若不是请说明理由。理由。2.（2019陕西高二月考陕西高二月考）已知
8、椭圆已知椭圆222210 xyabab的四个顶点围成的菱形的面积为的四个顶点围成的菱形的面积为4 3，椭圆的一个焦点为圆，椭圆的一个焦点为圆2220 xyx的圆心的圆心(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)若若 M，N 为椭圆上的两个动点，直线为椭圆上的两个动点，直线 OM，ON 的斜率分别为的斜率分别为12,k k，当，当1234k k 时，时，MON 的面积是否为定值的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由3（2020山东高三期末）已知椭圆山东高三期末）已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率的离心率 e 满足满足223
9、 220ee，右顶点为，右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B，点，点 C(0，2)，过点，过点 C 作一条与作一条与 y 轴不重轴不重合的直线合的直线 l，直线，直线 l 交椭圆交椭圆 E 于于 P，Q 两点，直线两点，直线 BP，BQ 分别交分别交 x 轴于点轴于点 M，N；当直；当直线线l 经过点经过点 A 时，时，l 的斜率为的斜率为2(1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程；(2)证明：证明：BOMBCNSS为定值为定值4（2019湖南高考模拟湖南高考模拟（文文）已知椭圆已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为的离心率为22，椭圆椭圆C截直线截直线1y 所得的线段的长度为所得的线段的长度为2 2.（）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（）设直线）设直线l与椭圆与椭圆C交于交于,A B两点，点两点，点D是椭圆是椭圆C上的点，上的点，O是坐标原点，若是坐标原点，若OAOBOD ，判定四边形判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值的面积是否为定值？若为定值，求出定值求出定值；如果不是如果不是，请说明理由请说明理由.