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1、1 第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类,2018 年 3 月)一、一、填空题填空题(满分满分 30 分，每小题分，每小题 6 分分)：(1)极限20tansinlimln(1 sin)xxxxx=+1 2.(2)设一平面过原点和点设一平面过原点和点(6,3,2)，且与平面，且与平面428xyz+=垂直，则此平面方垂直，则此平面方程为程为2230 xyz+=.(3)设函数(,)f x y具有一阶连续偏导数，满足d(,)d(1)dyyf x yyexxy ey=+，及(0,0)0f=，则(,)f x y=.yxye(4)满满足足10d()()()ddu tu tu ttt
2、=+及及(0)1u=的可微函数的可微函数()u t=21 3teee+.(5)设,a b c d是互不相同的正实数，,x y z w是实数，满足xabcd=，ybcda=，zcdab=，wdabc=，则行列式111111111111xyzw=0 .二、二、(本题满分本题满分 11 分分)设函数()f x在区间(0,1)内连续，且存在两两互异的点1234,(0,1)x x x x，使得 34121234()()()()=f xf xf xf xxxxx=，证明：对任意(,)，存在互异的点56,(0,1)x x，使得5656()()f xf xxx=.【证】不妨设1234,xxxx，考虑辅助函数
3、24132143(1)(1)()(1)()()ft xtxft xtxF ttxxt xx+=+，4 分 则()F t在闭区间0,1上连续，且(0)(1)FF=.根据连续函数介值定理，存在0(0,1)t，使得0()F t=.3 分 2 令50103(1)xtxt x=+，60204(1)xtxt x=+，则56,(0,1)x x，56xx；(2)求()H x满足条件1nx=的最小值.【证】(1)二次型12111()nniiiiiH xxx x+=的矩阵为 1121112212112112A=，3 分 因为A实对称，其任意k阶顺序主子式0k，所以A正定，故结论成立.3 分(2)对A作分块如下1T
4、1nAA=，其中T11(0,0,)R2n=，取可逆矩阵11101nnIAP=，则11TT1100010nnnAAP APAa=，其中 4 T111naA=.3分 记T0(,1)xP x=，其中T10121(,)Rnnxx xx=，因为 10TTTT11T00100()(1)()01nnAxH xx AxxPPP Px Axaa=+，且1nA正定，所以T010()nH xx Axaa=+，当TT0(,1)(0,1)xP xP=时，()H xa=.因此，()H x满足条件1nx=的最小值为a.3 分 六、(本题满分本题满分 12 分分)设函数(,)f x y在区域222(,)Dx y xya=+上
5、具有一阶连续偏导数，且满足2222(,)xyaf x ya+=，以及222(,)maxx yDffaxy+=，其中0a.证明：44(,)d d3Df x yx ya.【解】在格林公式(,)d(,)dd dCDQPP x yxQ x yyx yxy+=中，依次取(,)Pyf x y=，0Q=和取0P=，(,)Qxf x y=，分别可得(,)d d(,)dd dDCDff x yx yyf x yxyx yy=，(,)d d(,)dd dDCDff x yx yxf x yyxx yx=.两式相加，得 2121(,)d dddd d22DCDafff x yx yy xx yxyx yIIxy=+
6、=+4 分 对1I再次利用格林公式，得2241ddd d2CDaIy xx yax ya=+=，2 分 对2I的被积函数利用柯西不等式，得 2222211d dd d22DDffffIxyx yxyx yxyxy+5 2241d d23Daxyx ya+=，4 分 因此，有 44414(,)d d33Df x yx yaaa+=.2 分 七、(本题满分本题满分 12 分分)设01na时级数1nna=收敛，当1q，则pR,s.t.1qp.根据极限性质，+NZ，s.t.nN，有1lnlnnapn，即1npan时11pnn=收敛,所以1nna=收敛.3 分 若1q，则pR，s.t.1qp，有1lnlnnapn，而1p 时11pnn=发散,所以1nna=发散.3 分(2)当1q=时，级数1nna=可能收敛，也可能发散.例如：1nan=满足条件，但级数1nna=发散；3 分 又如：21lnnann=满足条件，但级数1nna=收敛.3 分