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1、北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 数学试卷（理工类） 2017.11 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知实数满足条件则的最大值为 A. 12 B. 10 C. 8 D. 63.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来
2、的倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度4. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：数列中的最大项为 数列的公差 其中正确的序号是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在直角梯形中，,是的中点,则A. B. C. D. （7. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这
3、两个球的编号. 甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球8. 已知函数与函数在区间都为减函数，设，且，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出的值为 .开始i=1，S=2结束i=i+1S14?输出i是否S=S+2i （第9题图） 10. 已知，且，则的最小值是 . 11.
4、已知函数若的图象与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 .12. 已知函数同时满足以下条件： 定义域为； 值域为； .试写出一个函数解析式 . 13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S. 若罐头盒的底面半径为，则罐头盒的体积与的函数关系式为 ；当 时，罐头盒的体积最大. 14. 将集合表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合的5个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分1
5、3分)已知数列的前项和为( )，满足.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和. 16. (本小题满分13分)已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求函数的取值范围.17. (本小题满分13分)在中，. （）试求的值；（）若，试求的面积. 18. (本小题满分14分)已知函数，.（）求函数的单调区间；（）设，其中为函数的导函数.判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19. (本小题满分14分)已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：；（）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.20. (本小题满分13分)数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：；当时，().记
6、这样的数列个数为.（I）写出的值；（II）证明不能被4整除. 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 数学答案（理工类） 2017.11 一、 选择题：题号12345678答案CBCABDDC二、 填空题： 9. 5 10. 3 11. 12. 或或（答案不唯一）13. ； 14. 24;, ,（答案不唯一）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)解：（）当时，.当时，,，即所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.故, . 8分（）由已知得. 因为， 所以是首项为0，公差为的等差数列.故的前项和. 13
7、分16. (本小题满分13分)解：因为， 所以 . （）函数的最小正周期为. 8分（）因为，所以. 所以. 所以. 13分17. (本小题满分13分) 解：（）因为，所以. 所以. 所以. 所以. 所以.所以. 7分（）因为，由余弦定理得 .所以，.所以的面积. 13分18. (本小题满分14分)解：（）函数的定义域为. 当时，令，解得：或，为减函数；令，解得：，为增函数. 当时，恒成立，函数为减函数； 当时，令，解得：或，函数为减函数；令，解得：，函数为增函数.综上，当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；当时， 的单调递减区间为 ；当时，的单调递减区间为；单调递增区间为. 8分（）在定义域
8、内不为单调函数，以下说明：.记，则函数为开口向上的二次函数.方程的判别式 恒成立.所以，有正有负. 从而有正有负.故在定义域内不为单调函数. 14分19. (本小题满分14分)解：函数的定义域为，（），又，曲线在处的切线方程为.即. 4分（）“要证明”等价于“”.设函数.令，解得. 因此，函数的最小值为.故.即. 9分（）曲线位于轴下方. 理由如下：由（）可知，所以.设，则.令得；令得.所以在上为增函数，上为减函数.所以当时，恒成立,当且仅当时，.又因为， 所以恒成立. 故曲线位于轴下方. 14分20. (本小题满分13分)（）解：. 3分（）证明：把满足条件的数列称为项的首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或3.（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；（3）若则或. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前项应该是，是或，即与是相邻整数.由条件，这数列在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：，.由此递推关系和（I）可得，各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成14为周期的数列，又，所以被4除的余数与被4除的余数相同，都是1，故不能被4整除. 13分