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1、函数的基本性质培优训练题1（2016义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2|x2ax2|在区间（，1）和（2，+）上单调递增，则a的取值范围为（）A1，8B3，8C1，3D1，8【解答】解：令函数g（x）=x2ax2，由于g（x）的判别式=a2+80，故函数g（x）一定有两个零点，设为x1 和x2，且 x1x2函数f（x）=x2|x2ax2|=，故当x（，x1）、（x2，+）时，函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x（x1，x2 ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2ax2下凹的一部分，且各段连在一起由于f（x）在区间（，1）和（2，+）上单调递增，a0且函数g（x）较
2、小的零点x1=1，即a+2，平方得a2+4a+4a2+8，得a1，同时由y=2x2ax2的对称轴为x=，若且12，可得4a8综上可得，1a8，故实a的取值范围为1，8，故选：A2（2016江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x1）f（x+1）0的解集为（）A（，）（2，+）B（，2）C（，）（2，+）D（，2）【解答】解：定义域为R的函数f（x）在（2，+）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+）上为减函数，由f（2x1）f（x+1）0得f（2x1）f（
3、x+1），即f（2x3+2）f（x1+2），即|2x3|x1|，平方整理得3x210x+80，即x2，即不等式的解集为（，2），故选：D3（2016四川模拟）设f（x）满足：任意xR，有f（x）+f（2x）=0；当x1时，f（x）=|xa|1，（a0），若xR，恒有f（x）f（xm），则m的取值范围是（）A（0，+）B（4，+）C（3，+）D（5，+）【解答】解：任意xR，有f（x）+f（2x）=0，f（2x）=f（x），则函数关于（1，0）点对称，当x=1时，f（1）+f（21）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，当x1时，f（x）=|xa|1，f（1）=|1a|1=0，则|a1|=1，
4、则a1=1或a1=1，则a=2或a=0，a0，a=2，即当x1时，f（x）=|x2|1当x1时，x1，2x1，即f（x）=f（2x）=（|2x2|1）=1|x|，x1，作出函数f（x）的图象如图：若f（x）f（xm），则由图象知，将函数f（x）向右平移m个单位即可，由图象知，m4，故选：B4（2016广安模拟）已知f（x）=32x（k+1）3x+2，当xR时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A（，1）B（，21）C（1，21）D（21，21）【解答】解：令3x=t （t0），则g（t）=t2（k+1）t+2，若xR时，f（x）恒为正值，则g（t）=t2（k+1）t+20对t0恒成立 或
5、解得：1k1+；解得：k1综上，实数k的取值范围是（，21）故选：B5（2016通州区一模）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：xD，点（x，g（x） 与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”已知g（x）=，f（x）=3x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（）A（，B，C3，D，+）【解答】解：作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b0，且原点到直线y
6、=3x+b的距离d1，即d=1，即|b|，则b或b（舍），即实数b的取值范围是，+），故选：D6（2016春普宁市校级月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x2），当x（1，3）时，f（x）=1+（x2）2，则（）Af（sin）f（sin）Bf（sin）f（cos）Cf（cos）f（cos）Df（tan）f（tan）【解答】解：由f（x）=f（x2）得函数的周期是2，x（1，3）时，f（x）=1+（x2）2，则函数关于x=2对称，当x（1，2）时，函数单调递减，则x（2，3）时，函数单调递增，即当x（0，1）时，函数单调递增，由f（x）=f（x+2）=f（2x）=f（x），即函数f（
7、x）同时也是偶函数，Af（sin）f（sin）等价为f（）f（），当x（0，1）时，函数单调递增，不等式f（）f（），成立，故A正确，Bf（sin）f（cos）等价为f（）f（）=f（），当x（0，1）时，函数单调递增，不等式f（）f（），不成立，故B错误，Cf（cos）f（cos）等价为f（）f（），当x（0，1）时，函数单调递增，不等式f（）f（），不成立，故C错误，Df（tan）f（tan）等价为f（）f（）=f（），则不等式不成立，故D错误，故选：A7（2015南昌校级二模）设xR，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有ff（x）ex=e+1（e是自然对数的底数），则f（l
8、n2）的值等于（）A1Be+lC3De+3【解答】解：设t=f（x）ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，函数f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：C8（2016春温州期中）已知函数f（x）在R上满足f（x）+f（x）=0，且x0时，f（x）=（|x+sin|+|x+2sin|）+sin（）对任意的xR，都有f（x3）f（x）恒成立，则实数的取值范围为（）A0，B，C，D，【解答】解：设t=sin，则t1，1；当x0时，f（x）=（|x+t|+|x+2
9、t|）+t，若t0，则当x0时，f（x）=x+3t，当x0时，f（x）=f（x）=（x+3t）=x3t，由f（x3）f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x3）的图象上方，则sin0；当t0时，当x0时，f（x）=，由f（x）=x+3t，x2t，得f（x）t；当tx2t时，f（x）=t；由f（x）=x，0xt，得f（x）t当x0时，f（x）min=t函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）max=t对xR，都有f（x3）f（x），3t3t3，解得t，综上可得sin，解得+2k2k+，kZ又，故选：D9（2015衡水校级模拟）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对
10、任意的xM，存在常数x0M，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x）=g（x0，则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=2x2+ax+b与g（x）=x+在1，上是“相似函数”，则函数f（x）在区间1，上的最大值为（）A4BC6D【解答】解：利用导数可知g（x）=x+在1，上的最小值为4，最大值为5，对任意的xM，存在常数x0M，使得g（x）g（x0），则g（x0）=g（x）min=4，此时x0=2根据题意知f（x）min=f（2）=4，二次函数f（x）=2x2+ax+b的顶点坐标为（2，4），a=8，b=12f（x）=2（x2）2+4，f（x）在1，上的最大值
11、为f（x）max=f（1）=6故选C10（2015莆田校级模拟）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意xI（IA），有x+lA，且f（x+l）f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）A0a1BaC1a1D2a2【解答】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2=图象如图，f（x）为R上的1高调函数，当x0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）f（x），1大于等于区间长度3a2（a2），13a2（a2），a故选
12、B11（2014湖北）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x23x，则函数g（x）=f（x）x+3的零点的集合为（）A1，3B3，1，1，3C2，1，3D2，1，3【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x23x，令x0，则x0，f（x）=x2+3x=f（x）f（x）=x23x，g（x）=f（x）x+3g（x）=令g（x）=0，当x0时，x24x+3=0，解得x=1，或x=3，当x0时，x24x+3=0，解得x=2，函数g（x）=f（x）x+3的零点的集合为2，1，3故选：D12（2014安徽模拟）已知f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如
13、果f（ax+1）f（x2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，1B5，0C5，1D2，0【解答】解：由题意可得|ax+1|x2|对恒成立，得x2ax+12x对恒成立，从而且对恒成立，a2且a0，即a2，0，故选D13（2014濮阳二模）已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，则不等式f（1x）0的解集为（）A（1，+）B（0，+）C（，0）D（，1）【解答】解：由不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数 又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（
14、x+1）过点（0，0）；故函数f（x）过点（1，0）相结合得：x1时，f（x）0故不等式f（1x）0转化为1x1x0故选C14（2014渭南二模）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x0时g（x）=ln（1x），函数若f（2x2）f（x），则实数x的取值范围是（）A（2，1）BC（1，2）D【解答】解：奇函数g（x）满足当x0时，g（x）=ln（1x），当x0时，g（x）=ln（1+x）=g（x），得当x0时，g（x）=g（x）=ln（1+x）f（x）的表达式为，y=x3是（，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+）上的增函数，f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2x2）f（x）
15、等价于2x2x，解之得2x1故选A15（2014张掖模拟）已知函数y=f（x）的周期为2，当x0，2时，f（x）=（x1）2，如果g（x）=f（x）log5|x1|，则函数y=g（x）的所有零点的个数是（）A2B4C6D8【解答】解：由题意可得g（x）=f（x）log5|x1|，根据周期性画出函数f（x）=（x1）2的图象以及y=log5|x1|的图象，根据y=log5|x1|在（1，+）上单调递增函数，当x=6 时，log5|x1|=1，当x6时，y=log5|x1|1，此时与函数y=f（x）无交点再根据y=log5|x1|的图象和 f（x）的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点
16、，则函数g（x）=f（x）log5|x1|的零点个数为 8，故选D16（2014山东模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），当0x1时，则使的x的值是（）A2n（nZ）B2n1（nZ）C4n+1（nZ）D4n1（nZ）【解答】解：f（x）是奇函数且f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x）函数f（x）的周期T=4当0x1时，f（x）=x，又f（x）是奇函数，当1x0时，f（x）=x，令x=解得：x=1而函数f（x）是以4为周期的周期函数，方程f（x）=的x的值是：x=4k1，kZ故选D17（2013屯溪区校级模拟）已知函数f（x）=lg（ax
17、bx）+x中，常数a、b满足a1b0，且a=b+1，那么f（x）1的解集为（）A（0，1）B（1，+）C（1，10）D（10，+）【解答】解：由axbx0即1解得x0，所以函数f（x）的定义域为（0，+），因为a1b0，所以ax递增，bx递增，所以t=axbx递增，又y=lgt递增，所以f（x）=lg（axbx）+x为增函数，而f（1）=lg（ab）+1=lg1+1=1，所以x1时f（x）1，故f（x）1的解集为（1，+）故选B18（2013北京校级一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x1，3时，f（x）=2|x2|，则（）ABf（sin1）f（cos1）Cf（tan3
18、）f（tan6）Df（sin2）f（cos2）【解答】解：设x1，1，则x+21，3f（x）=f（x+2）=2|x+22|=2|x|即f（x）=f（）f（）=22+=0，排除A1sin1cos10，f（x）在0，1上单调减f（sin1）f（cos1），排除B1tan6tan30，f（x）在1，0上单调增f（tan3）f（tan6），排除C故选D19（2013泰安一模）设奇函数f（x）在1，1上是增函数，f（1）=1若函数f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，则当a1，1时，t的取值范围是（）A2t2BCt2或t=0或t2D【解答】解：奇函数f（x）在1，1上是增函数，f（1）=1x=1
19、时，函数有最大值f（1）=1若函数f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，1t22at+12att20，设g（a）=2att2（1a1），欲使2att20恒成立，则t2或t=0或t2故选C20（2013梅州一模）若不等式x2+2xya（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（）A2BCD【解答】解：x0，y0，x2+2xya（x2+y2）2xy（a1）x2+ay2（a1）2+a0，令t=（t0），f（t）=（a1）t22t+a，依题意，即，解得a实数a的最小值为故选D21（2012南溪县校级一模）已知函数是（，+）上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A1a2Ba1或a
20、2C1a2Da1或a2【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）=x2，易得f（x）为增函数，当x0时，f（x）=x3+a23a+2，也为增函数，若f（x）在（，+）上的增函数，必有0203+a23a+2，即0a23a+2，解可得1a2，故选A22（2012沙坪坝区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2x）=2f（1），当x1时，且x2，2时，nf（x）m恒成立，则mn的最小值是（）ABC1D2【解答】解：当x1时，f（1）=1+4=5，f（x）+f（2x）=2f（1）=10，令x=0，可得f（0）+f（2）=10，可得f（0）=6，f（2）+f（4）=10，可得f（2）=5
21、，画出f（x）的草图：f（x）在（0，2）上为减函数，f（x）在2，0上是增函数，f（x）在x2，2上最小值为：f（2）=4，最大值为f（0）=6，m的最小值为6，n的最大值为4，mn的最小值是64=2，故选D；23（2012浉河区校级模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当xa，b时，f（x）的值域为，则a+b=（）A1BCD【解答】解：设x0，有x0，则f（x）=2x+x2，又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）=f（x），则x0时，f（x）=2xx2，对于a、b分三种情况讨论：、当a1b时，f（x）=2xx2的最大
22、值为1；得=1，即a=1，不合题意，舍去，、当ab1时，f（a）1，f（b）1且在a，b上单调增，而1，不合题意，舍去，、当1ab时，f（x）在a，b上单调减，可得，解可得a=1，b=，符合题意，则a+b=；故选D24（2012城区校级模拟）xR，函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（x），当时，那么在上方程f（x）=0的所有根的和是（）A3B5C7D10【解答】解：函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（x），函数是奇函数，且周期为2，且f（0）=0即f（2）=f（0）=0，f（1）=f（3）=f（1）=0在上方程f（x）=0的所有根为1、1、3，2，0在上方程f（x）=0的所有根的和是5故选A