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1、高二下学期期末考试【数学】【考前10天热身训练】02计数原理【知识点总结】1.分类加法计数原理1. 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法. 2. 推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理1. 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法. 2. 推广：完成一件事需要
2、n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较与选择1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事)相同点两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事 注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整4.排列、排列数与排列数公式1. 一般地，从n个不同元素
3、中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示. 3. 排列数公式： Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1) (m，nN*，且mn). 5.全排列、阶乘的概念及相关结论1. 把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记作Anm. 2. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示. 3. 阶乘的相关结论(1)规定：0!=1. (2) Anm=n!(nN*). (3) Anm=n(n-1)(n-2)
4、(n-m+1)= n!(n-m)! (n，mN*，且mn). 6.排列数及其运算1. Anm=n(n-1)(n-m+1)= n!(n-m)! (m，nN*，且mn)；Anm=nAn-1m-1=mAn-1m-1+An-1m. 7.组合与组合数1. 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示. 组合数还可以用符号 Cnm表示. 8.组合数公式与组合数性质1. 组合数公式： Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n
5、-m+1)m!=n!m!(n-m)! (n，mN*，且mn). 2. 规定： Cn0=1. 3. 组合数的性质： Cnm=Cnn-m；Cn+1m=Cnm+Cnm-1. 9.二项式定理1. 概念：公式(a+b)n= Cn0an+ Cn1an-1b1+ Cnkan-kbk+ Cnnbn，nN*叫做二项式定理2. (a+b)n的二项展开式：Cn0an+ Cn1 an-1b1+ Cnkan-kbk+ Cnnbn3. 二项式系数：展开式中各项的系数Cnk (k=0，1，2，n)4. 通项：展开式的第k+1项：Tk+1= Cnkan-kbk5. 备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式：(1+
6、x)n= Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ Cnkxk+ Cnnxn10.二项式系数的性质1）对称性与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即 。2）单峰性， 是单峰序列。（1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值。（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。3）二项式系数的和【专项练习】一、单选题1截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（）A120B410C335D4552甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A156B210
7、C211D21635名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（）A种B种C种D种4书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有种（）ABCD5在的展开式中，常数项为（）A960B20C120D1606展开式中含项的系数为（）ABC5D1257的展开式中，的系数是（）ABCD8的展开式中的系数为（）ABC3D27二、填空题9若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .10的展开式中的系数是 .11已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配
8、对如果个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为 12把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种3学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】由所有的选法总数减去不含常任理事国的选法数即可.【详解】15个国家中选取3个国家，有种选法，其中没有常任理事国的选法有种，所以从这15个国家中选取3个国家，至少包含一个常任理事国，共有种选法.故选：C.2D【分析】共有三种情况，3人站一个台阶，或2人站一个台阶另1人站另一个台阶，或3人各站一个台阶，然后根据分类计数加法原理即可求解【详解】若三人站在一个台阶
9、上，有种站法，若三人站在两个台阶上，有种站法，若三人站在三个台阶上，有种站法，所以，一共有种站法.故选：D.3A【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解.【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，所以甲乙都不站两端的不同站法共有种.故选：A.4D【分析】根据分步乘法计数原理，结合插空法，即可求解【详解】人物传记有种放法，这样五本书之间有个空，将两木不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有种方法，故选：D5D【分析】利用二项式定理得到通项公式，得到常数项.【详解】的通项公式为，令，解得，
10、故的展开式中，常数项为.故选：D6B【分析】法1：是5个之积，分类求解可得含项的系数.法2：，利用二项展开可得，进而可求含项的系数.【详解】法1：是5个之积，展开后得到有两种可能：1个取，4个取，得到含有的项为2个取，2个取，1个取，得到含有的项为因此含项的系数为法2：，二项展开得二项展开得由得，或因此含项的系数为故选：B.7C【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，即可求解.【详解】因为二项式展开式的通项为，当时，可得的系数是.故选：C.8C【分析】先求出的展开式的通项公式，再令和，可求出展开式中的系数，即可得出答案.【详解】的展开式的通项公式为当时，；当时，因此的展开式中
11、的系数为，故选：C9280【分析】先由二项式系数和为128，求出，再求出展开式的通项，令，即可得出答案.【详解】展开式的二项式系数之和为，解得：，所以展开式的通项为：，令，解得：，所以展开式中的系数为：.故答案为：280.10【分析】首先变形，再利用二项式定理的通项公式，即可求解.【详解】，的通项公式为，中的系数，即的展开式中的系数，当时，即为，中的系数，即的展开式中的系数，当时，即为，所以的展开式中的系数是.故答案为：11【分析】因为一个碱基对是由，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对，依题意解出碱基对个数即可.【详解】因为一个碱基对是由，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对，所以碱基对有共有个，若个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为.故答案为：.1236【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法，不同的安排方案共有种；故答案为：3学科网（北京）股份有限公司