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1、空间角的计算方法1空间直线与平面所成的角有三类,分别为异面直线所成的角、直线与平面所成的角与二面角，通常称为“线线角”、“线面角”与“面面角”，统称为“空间角”，其中异面直线所成角的范围为（思考为什么取不到0？），直线与平面所成角的范围为，二面角的范围为，在求前两类“空间角”的余弦值时，若求得负值，应把负号舍去2.求“空间角”的一般步骤如下：“一作、二证、三求”第一步，在图形中根据定义作出所求的角；第二步，(做解答题时，用规范的语言说明该角即为所求的角；第三步，根据题目所给数据计算所求角的三角函数值（一般前两步最难）.1.异面直线【例1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面
2、直线与所成的角的正弦值为（ ）ABCD思考如何通过平移等效出合适的线段？答案注意观察所给的异面直线相关的公共区域（往往是某条线段），以此为方向将异面直线进行平移，至于平移后是向外补出图形还是向内等效线段，完全看个人喜好和方便程度.（注意平移之后，线段容易形成平行四边形或梯形，可以借此特点判断自己思路是否方便后续计算）【解析】连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，则，由平面，可得，则，因为，为的中点，所以，【练习1】如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点，则异面直线AN与CM所成角
3、的余弦值是_【提示】平移AN至与CM相交，从而作出异面直线所成的角是解决本题的关键.通常，平移直线需要一条“轨道”，即AN要沿着另一条直线平行“滑动”至与CM相交.【例2】在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）A B-C2 D思考如何避免向外延伸（偷懒），又使得异面直线同在一个三角形？答案经典物理学相对运动的思路告诉你可以尝试“双向奔赴”【解析】如图所示，分别取，的中点，则，或其补角为异面直线与所成角设，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A【练习2-1】如图
4、，四面体中，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）A BC D【练习2-2】在正方体中，和分别为，和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）A B C D2.线面角【例3】如图，在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC,PA=3,则直线AC与平面PBC所成角的正弦值为_思考作“线面角”的关键是找到直线AC在平面PBC内的射影，而找射影的关键是过点A作平面PBC的垂线，又该如何作垂线呢？答案作平面的垂线通常运用面面垂直的性质定理,即需要找到一个过点A且垂直于平面PBC的平面，通常用平面PBC内的一条直线垂直于两条相交直线来得到这样的平面.【练习3】如图，已
5、知四棱锥P-ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点则直线CE与平面PBC所成角的正弦值为_同样的练习，倘若改成如下格式，阁下又会觉得有怎样的不同？如图，已知四棱锥P-ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）证明：CE平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【提示】增强基本功的训练（刷题且总结），不仅提升了对知识点的熟练程度，还可以提高自身对立体图形的“敏感性”，也就是很多教辅资料解析中的“注意到”、“显然”、“易证”、“不妨设”、“不难看
6、出”.【例4】如图，已知多面体ABCDE中，AB面ACD，DE面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1求直线BD与CDE所成角的正弦值.【提示】作“线面角”时，若直接作平面的垂线较为困难，可以先在容易作垂线的位置作出一条垂线，再将之平移到需要的位置.【练习4】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值.3.面面角【例5】如图，已知多面体ABCDE中，AB面ACD，DE面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1求二面角C-BE-D的平面角的正切值.【提示】作二面角的一般方式是作出一个三角形,该
7、三角形的两条边所在直线均与二面角的棱垂直，则其第三条边所在的直线也与二面角的棱垂直.【练习5】如图所示，在三棱锥中，平面，且，是的中点. 求二面角的正切值.【解析】由题可知二面角A-BE-C的平面角与二面角A-BE-D的平面角互补.在平面BCD内作直线DGBE于G，连接AG，AD平面BCD，BE平面BCD，BEAD，同理可得ADDG，BEDG，ADDG=D，BE平面ADG，AG平面ADG，AGBE，所以，二面角A-BE-D的平面角为AGD，在DBE中，由余弦定理得BE=BD2+DE2-2BDDEcos120=7，由等面积法可得SBDE=12BDDEsin120=12BEDG，DG=BDDEsi
8、n120BE=217，在RtADG中，tanAGD=ADDG=213二面角A-BE-C的正切值为-213.【例6】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求二面角C-PB-D的大小.【提示】有时候根据题目中的暗示不妨大胆一些，先画后证（作EFPB交PB于点F.）证明：如图，作EFPB交PB于点F.因为侧棱平面，平面，所以，又，所以平面，由可得，又，所以平面，因为，DEEF=E，所以平面；由（2）知，所以为二面角的平面角，不妨设，则，在DEF中，由余弦定理得，所以二面角的大小为60.【例7】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
9、正方形，PA平面ABCD,且PA=AD.若E为PD的中点,则平面EAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值为_【提示】延伸几何体作二面角的作出平面EAC与平面PBC的交线，是进一步作出二面角的平面角的关键.思考可否不对几何体做延伸呢？答案构造面面平行，使得二面角转化为容易计算的平面角.反思感悟：(1) 求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.(2) 求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.（
10、即构造线面垂直）(2)连接垂足和斜足，进一步得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.（中间证明过程不充分容易造成扣分）(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形（结合正余弦定理），求出该角.有关概念斜线一条直线与平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面上的射影为直线AO(3) 二面角的平面角的作法常有三种： 定义法：在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线（或者线段），即两射线夹角为所
11、求二面角的平面角. （推理过程一定要伴随相应的证明过程！） 三垂线法：三垂线法则利用三垂线定理，通过构造与射影垂直的线来找到平面角.垂面法：垂面法直接构造一个垂直于棱的平面，通过该平面与二面角两个面的交线来确定平面角.巩固练习1(越秀区2021-2022学年高一下T22) 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，O是的中点（1）求证：平面PAC平面POB；（2）点M在棱PC上，满足PM=PC(01)，且三棱锥P-ABM的体积为33，求的值及二面角M-AB-D的正切值【答案】（2）=14，二面角M-AB-D的正切值为343.2(广州市三校联考2021-2022学年高一下T8)如图（1）所示
12、，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A. CD与BE是异面直线B. 异面直线AB与CD所成角的大小为45C. 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为D. 球面上的点到底座底面DEF的最大距离为【答案】C3(2023邯郸市高三开学考) 棱长为3的正方体的顶点A在平面内，三条棱AB、AC、AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的距离分别为2、3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为【答案】234(广州市三校联考2021-2022学年高一下T21)如图，在三棱台A
13、BC-A1B1C1中，A1B1与A1C、都垂直，已知，A1A=AC=5（1）求证：平面A1BC平面ABC；（2）直线A1B与底面ABC所成的角的大小为多少时，二面角A1-AC-B的余弦值为2114？（3）在（2）的条件下，求点C到平面A1ABB1的距离【答案】（2）=3； （3）23.5(华南师范大学附属中学2021-2022学年高一下T21)已知平面四边形，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.(1)求证：BP平面ACD；(2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P-BM-D的平面角的余弦值.【答案】(2)；(3).6(越秀区202
14、1学年高一下T22)在如图所示的圆台中， ABCD 是圆台的轴截面， O1 ， O 分别是上、下底面圆的圆心， E 是下底面圆周上异于 A ， B 的一点，设圆台的上、下底而圆的半径分别为 r与 RRr ，高为 h ，体积为 V . （1）若 M ， N 外别是 AD 与 CE 的中点，试判断直线 MN 与平面 ABE 的位置关系，并加以证明； （2）若 ABE=BAC=30，求二面角 E-AC-B 的正切值； （3）在估测圆台的体积时，常用近似公式 V估=S中截面h 来计算，其中圆台的中截面是指与上、下两个底而平行，且到两个底面距离相等的截而，试判断与 V估 与 V的大小关系，并说明理由.
15、【答案】（2） E-AC-B 的正切值为 23 . （3）VV估 .7(荔湾区2022-2023学年高一下T21)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，PA=PB=2，PAD=PBC，（1）证明：平面POE平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小【答案】（2）3.8(白云区2022-2023学年高一下T21)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC平面ABB1A1， （1）求证：BC平面ABB1A1；（2）若直线AC与平面A1BC所成角为，二面角A1-BC-A 的大小
16、为，试判断，的大小关系，并予以证明.【答案】（2） 9(番禺区2022-2023学年高一下T12) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E,F,P,M,N分别是AB,CC1,DD1,AD,CD的中点，则（ ）【答案】ACD A. EF/平面PMNB. 直线PM与EF所成的角是3C. 点E到平面PMN 距离是233D. 存在过点E,F且与平面PMN平行的平面，平面截该正方体得到的截面面积为3310(广州市三校联考2021-2022学年高一下T11)如图，在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1M，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，则（ ）【答案】ABDA. 平面B1MC平面AMCDB. 线段CN的长为定值C. 当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积为12D. 二面角B1-AD-M的最大值为3011(天河区2021学年高一下T21)直四棱柱 ABCDABCD中， ABCD 是等腰梯形， ADBD ， AD=1 ， AB=AA=2 ， P 为 AB的中点. （1）求证： BD面 AAD； （2）求直线 AP 与直线 BC 所成角的余弦值. 【答案】余弦值为 510 . 27 / 27学科网（北京）股份有限公司