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1、2025版新高考版高考总复习数学专题六 平面向量与复数6.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点1 平面向量的概念及线性运算1.(2023北京,3,4分)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()A.-2B.-1C.0D.1答案B由题知a+b=(2,3),ab=(2,1),则a=(0,2),b=(2,1),所以|a|2-|b|2=4-5=-1.2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.5答案D由题意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=42+(3)2=5,
2、故选D.3.(2022新高考,3,5分)在ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n答案B由题意可知,DA=CACD=m-n,又BD=2DA,所以BD=2DA=2(m-n),所以CB=CD+DB=n-2(m-n)=3n-2m,故选B.4.(2015课标理,7,5分)设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)
3、=-13AB+43AC.故选A.5.(2014课标文,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案A设AB=a,AC=b,则EB=-12b+a,FC=-12a+b,从而EB+FC=12b+a+12a+b=12(a+b)=AD,故选A.6.(2015课标理,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于1=12,即=12.7.(2015北京理,13,5分)在ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.
4、若MN=xAB+yAC,则x=,y=.答案12;-16解析由AM=2MC知M为AC上靠近C的三等分点,由BN=NC知N为BC的中点,作出草图如下:则有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23AC=12AB-16AC,又因为MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-16.8.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC,DE=1AB+2AC,1=-16,
5、2=23,故1+2=12.考点2 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A根据题意得AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.3.(2014广
6、东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案Bb-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B设a=k1e1+k2e2,A选项,(3,2)=(k2,2k2),k2=3,2k2=2,无解.B选项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),k
7、1+5k2=3,2k12k2=2,解之得k1=2,k2=1.故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(,4),若ab,则=.答案85解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2=x2y1”解题.解析由已知ab得24=5,=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.答案-3解析本题考查向量平行的条件.a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3.7.(2016课标文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.答案-6解析因为ab,所以m3=42,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设02,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若ab,则tan =.答案12解析ab,sin 21-cos2=0,2sin cos -cos2=0,00,2sin =cos ,tan =12.