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1、2025版新高考版高考总复习数学3.2函数的单调性与奇偶性考点1.函数的单调性1.(2023新课标,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()A.(-,-2B.-2,0)C.(0,2D.2,+)答案Df(x)=2x(x-a)=2(xa2)2a24,由复合函数的单调性知函数y=xa22-a24在(0,1)上单调递减,所以a21,解得a2,即a的取值范围是2,+),故选D.2.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=e(x1)2.记a=f 22,b=f 32,c=f 62,则()A.bcaB.bacC.cbaD.cab答案Af(x)=
2、e(x1)2是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的,f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,又知f(2-x)=e(2x1)2=e(1x)2=e(x1)2=f(x),f(x)的图象关于直线x=1对称,f 62=f 262,又222-62321,f 22f 262f 32,即acb,故选A.3.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A. f(x)=-ln xB. f(x)=12xC. f(x)=-1xD. f(x)=3|x-1|答案C对于A, f(x)=-ln x在(0,+)上单调递减,不符合题意;对于B, f(x)=12x在(0,
3、+)上单调递减,不符合题意;对于C, f(x)=-1x在(0,+)上单调递增,符合题意;对于D, f(x)=3|x-1|=3x1,x1,13x1,x0,则函数在R上单调递增;若k0且a1)单调性的判断:若a1,则函数在R上单调递增;若0a0,则函数在(0,+)上单调递增;若0,则函数在(0,+)上单调递减.5.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+4|sinxC.y=2x+22-xD.y=ln x+4lnx答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y
4、=x2+2x+4=(x+1)2+33,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则00),则y=2x+22-x=t+4t,t0,易知y=t+4t在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,tR且t0,则y=ln x+4lnx=t+4t,显然t0,所以幂函数y=x12在(0,+)上单调递增.B选项,指数函数y=2-x=12x在(0,+)上单调递减.C选项,因为012f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1 B.,13(1,+)C.13,13 D.,1313,+答案A当
5、x0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f (x)=11+x+2x(1+x2)20,f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得13x0,函数f(x)=x+2,xa.给出下列四个结论:f(x)在区间(a-1,+)上单调递减;当a1时, f(x)存在最大值;设M(x1, f(x1)(x1a),N(x2, f(x2)(x2a),则|MN|1;设P(x3, f(x3)(x3-a),Q(x4, f(x4)(x4-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是0,12.其
6、中所有正确结论的序号是.答案解析f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)在(-,-a)上单调递增,在-a,0)上单调递增,在0,a上单调递减,在(a,+)上单调递减.对于,当12a1时,f(x)在(a-1,0)上单调递增,故错误.对于,当x-a时, f(x)a时, f(x)|MN|=a+11,故正确.对于,若|PQ|存在最小值,则点(0,0)到直线x+2=y的距离大于a,且直线y=-x与y=x+2的交点(-1,1)在射线y=x+2(xa,且-10,所以0a1,故错误.综上,所有正确结论的序号是.12.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx1(x2)的最大值为.答案2解析解法一:f (
7、x)=1(x1)2,x2时, f (x)0恒成立,f(x)在2,+)上单调递减,f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2.解法二:f(x)=xx1=x1+1x1=1+1x1,f(x)的图象是将y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.y=1x在2,+)上单调递减,f(x)在2,+)上单调递减,故f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得 f(x)=1+1x1.x2,x-11,01x11,11+1x12,即11,则f(f(-2)=, f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2)=f(4)=4+64-6=-12.当x1
8、时, f(x)=x20,当x1时,f(x)=x+6x-626-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6f(-2),则a的取值范围是.答案12,32解析由题意知函数f(x)在(0,+)上单调递减.因为f(2|a-1|)f(-2), f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)f(2),所以2|a-1|212,解之得12a32.考点2 函数的奇偶性1.(2023新课标,4,5分,易)若f(x)=(x+a)ln2x12x+1为偶函数,则a=()A.-1B.0C.12D.1答案B解法一:f(x)为偶函数,f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln 13=-(a+1)ln 3, f(-1)=(a
9、-1)ln 3,-(a+1)=a-1,a=0.解法二:f(-x)=(-x+a)ln 2x12x+1=(-x+a)ln 2x+12x1=(x-a)ln 2x12x+1,f(x)为偶函数,f(x)=f(-x),x+a=x-a,即a=0.2.(2023全国乙理,4,5分,中)已知f(x)=xexeax1是偶函数,则a=()A.-2B.-1C.1D.2答案D解法一(特值法):f(x)的定义域为(-,0)(0,+).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即eea1=1e(ea1),化简得e=ea-1,a-1=1,所以a=2.解法二: f(x)=xexeax1的定
10、义域为(-,0)(0,+).由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),即xexeax1=xexeax1,即exeax1=1ex(eax1),化简得e2x=eax,所以a=2.3.(多选)(2023新课标,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点答案ABC令x=y=0,则f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确.令x=y=1,则f(1)=1f(1)+1f(1),所以f(1)=0,故B正确.令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所
11、以f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,故C正确.取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选ABC.4.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.5.(2014课标,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(
12、x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|
13、,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.7.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为
14、(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A, f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=2x2x+2,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=2x+2,此函数为非奇非偶函数,故选B.8.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+2为偶函数,则a=.答案2解析解法一:由题意知f(x)的定义域为R,f(x)=(x-1)2
15、+ax+sinx+2=x2+(a-2)x+cos x+1,f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1.f(x)为偶函数,f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-(a-2)x,a-2=0,a=2.解法二:由题意知f(x)的定义域为R.函数f(x)是偶函数,f(-1)=f(1),4-a+cos 1=a+cos 1,a=2.9.(2021新高考,13,5分)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求
16、出a的值.解析f(x)=x3(a2x-2-x)为偶函数,f(1)=f(-1),2a-12=12a2,a=1.当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.10.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=lna+11x+b是奇函数,则a=,b=.答案 -12;ln 2解析f(x)是奇函数,f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x1,x-1,即当x=-1时,a+11x=0,a+12=0,a=-12,此时f(x)=ln1+x2(1x)+b,f(
17、x)为奇函数且在x=0处有意义,f(0)=0,即ln1+02(10)+b=ln12+b=0,b=-ln12=ln 2.综上可知,a=-12,b=ln 2.11.(2017课标文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=-(-12)=12.12.(2015课标理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),则ln(x+a+x2)+ln(a+x2-x)=0,ln(a+x2)2-x2=0,得ln a=0,a=1.13.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=2x+sinxx2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.